1、单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,三、重积分的性质,第一节,一、引例,二、重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的概念与性质,第九章,解法,:,类似定积分解决问题的思想,:,一、引例,1.,曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体,:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求其体积,.,“,大化小,常代变,近似和,求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体
2、分为,n,个,2)“,常代变”,在每个,3)“,近似和”,则,中,任取,一点,小曲顶柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4)“,取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,平面薄片的质量,有一个平面薄片,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,度为,设,D,的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“,大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决,.,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,相应把薄片也分为小区域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)“,常代变”,中,任取,一点,3)“,近似和”,4)“,取极限”,则第,k,小块的质量
3、机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的,共性,：,(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、重积分的定义及可积性,定义,:,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上的,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例,1,中曲顶柱体体积,:,引例,2,中平面薄板的质量,:,如果 在,D,上可积,也常,在直角坐标系
4、下二重积分记作,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例,:,设在空间有限闭区域,内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“,大化小,常代变,近似和,求极限”,解决方法,:,质量,M,.,密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,.,设,存在,称为,体积元素,若对,作,任意分割,:,任意取点,则称此极限为函数,在,上的,三重积分,.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式”极限,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分存在定理,:,若函数,定理,
5、2,.,(,证明略,)(,以二元函数为例，三元函数类似,),定理,1,.,在,D,上,可积,.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积,.,在有界闭区域,D,上连续,则,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,例如,在,D,:,上二重积分存在。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、二重积分的性质（三重积分类似）,(,k,为常数,),为,D,的面积,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,由于,则,5.,若在,D,上,6.,设,D,的面积为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.,(,二重积分的中值定理,),证,:,由性质,6,可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域,D,上
6、为,D,的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在有界闭域,上连续,则存在,使得,V,为,的,体积,三重积分的中值定理,8.,设函数,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时,仍,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,则,则,有类似结果,.,在第一象限部分,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,比较下列积分的大小,:,其中,解,:,积分域,D,的边界为圆周,它与,x,轴交于点,(1,0),而域,D,位,从而,于直线的上方,故在,D,上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,估计下列积分之值,解,:,D,的面积为,由于,积分性质,5,即,:1.96,I 2,D,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,重积分的定义,2.,重积分的性质,(,与定积分性质相似,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0,y,1,则,的大小顺序为,(),提示,:,因,0,y,1,故,故在,D,上有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,2.,估计,的值,其中,D,为,解,:,被积函数,D,的面积,的最大值,的最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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