2022年求数列通项公式的方法归纳与训练.doc

求数列通项公式措施
类型1 解法：把原递推公式转化为，运用累加法(逐差相加法)求解.
例1 已知数列满足，求数列通项公式。

变式：1.已知数列满足，求数列通项公式.

2. 已知数列满足，，求.

类型2 解法：把原递推公式转化为，运用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列满足，，求.

例3:已知， ，求.

变式：1已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}通项

2. 已知数列满足，求数列通项公式.

类型3 （其中p，q均为常数，）.
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再运用换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列中，， ，求.

变式：在数列中，若，则该数列通项__________

类型4 （其中p，q均为常数，）（或,其中p，q， r均为常数）.
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决.
例5:已知数列满足，，求数列通项公式.

变式 ：已知数列中，,，求.

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为,其中s，t满足
例6：已知数列中,，求数列通项公式.

例7:已知数列中，,,，求

变式： 1.已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列通项公式；

2.已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列通项公式及前项和.

类型6 递推公式为与关系式。(或)
解法：这种类型一般运用与消去 或与消去进行求解.
例8：已知数列前n项和.（1）求与关系；（2）求通项公式.

变式：1.已知数列中，,求通项.

2. 已知数列前n项和为,求通项.

3. 已知数列前n项和Sn满足,求通项公式.

4. 已知数列前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.

5. 已知数列中,,求通项.

6.已知数列前n项和满足,求通项.

7.已知,求通项.

8.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列求数列{an}通项an

类型7
解法：这种类型一般运用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为等比数列。
例9:设数列：，求.

例10：已知数列满足，求数列通项公式。

例11：已知数列满足，求数列通项公式。

例12： 已知数列满足，求数列通项公式。
类型8
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再运用待定系数法求解。
例13：已知数列｛｝中，，求数列

类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.
例14：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝通项公式.

变式：1.若数列递推公式为，则求这个数列通项公式.

2.已知数列{}满足时，，求通项公式.

3.若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．

类型10周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期
例15：若数列满足，若，则值为 .

变式：已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．
求数列通项公式措施
类型1 解法：把原递推公式转化为，运用累加法(逐差相加法)求解.
例1 已知数列满足，求数列通项公式。
解：由得则
因此数列通项公式为.
评注：本题解题核心是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列通项公式。
变式：1.已知数列满足，求数列通项公式.
解：由得
则因此
评注：本题解题核心是把递推关系式转化为，
进而求出，即得数列通项公式.
2. 已知数列满足，，求.

类型2 解法：把原递推公式转化为，运用累乘法(逐商相乘法)求解.
例2:已知数列满足，，求。

例3:已知， ，求。

变式:（，I,理15．）1.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}通项
解：由于 ①
因此 ②
用②式－①式得
则
故 因此 ③
由， 取n=2，则=1，代入③得.
因此，通项公式为
评注：本题解题核心是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当体现式，最后再求出数列通项公式.
2. 已知数列满足，求数列通项公式。
解：由于，因此，则，故
因此数列通项公式为
评注：本题解题核心是把递推关系转化为，进而求出，即得数列通项公式.
类型3 （其中p，q均为常数，）.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再运用换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列中，，，求.

变式:（，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列通项_____

类型4 （其中p,q均为常数）（或,其中p,q，r均为常数）
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例5：已知数列满足，，求数列通项公式。
解：两边除以，得，则，
故数列是觉得首项，觉得公差等差数列，由等差数列通项公式，得， 因此数列通项公式为。
评注：本题解题核心是把递推关系式转化为，阐明数列是等差数列，再直接运用等差数列通项公式求出，进而求出数列通项公式.
变式 ：已知数列中，,，求.

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足
例6：已知数列中， ，求数列通项公式.

例7:已知数列中，,,，求.

变式： 1.已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列通项公式；

2.已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列通项公式及前项和.

类型6 递推公式为与关系式.(或)
解法：这种类型一般运用与消去 或与消去进行求解.
例8：已知数列前n项和.（1）求与关系；（2）求通项公式.

（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））措施，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差等差数列，因此
变式：1.已知数列中，,求通项.

2.已知数列前n项和为,求通项.

3.已知数列前n项和Sn满足,求通项公式.

4.已知数列前n项和Sn=1+2an,求通项公式.求通项.

5.已知数列中,,求通项.

6.已知数列前n项和满足,求通项.

7.已知,求通项.

8. （，陕西,理,20本小题满分12分)

已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}通项an

类型7 解法：这种类型一般运用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为等比数列.
例9 ：设数列：，求.

例10：已知数列满足，求数列通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是觉得首项，以2为公比等比数列，则，故。
评注：本题解题核心是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列通项公式，最后再求出数列通项公式.
例11：已知数列满足，求数列通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得
整顿得。令，则，代入⑥式得
⑦ 由及⑦式，
得，则，
故数列是觉得首项，以3为公比等比数列，因而，则.
评注：本题解题核心是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列通项公式，最后再求数列通项公式.
例12：已知数列满足，求数列通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则

等式两边消去，得，
解方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为觉得首项，以2为公比等比数列，因而，则。
评注：本题解题核心是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列通项公式，最后再求出数列通项公式。

类型8
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再运用待定系数法求解。
例13：已知数列｛｝中，，求数列

类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为.
例14：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝通项公式.

变式：1.若数列递推公式为，则求这个数列通项公式.

2.已知数列{}满足时，，求通项公式.

3.若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．

类型10周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期.
例15：若数列满足，若，则值为 .
变式:（，湖南,文，5）已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．