《现代控制理论》课后习题答案.doc

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《现代控制理论》第 4章习题解答
4.1 古典控制理论中的系统稳定性与李雅普诺夫意义下的稳定性有什么区别?
答: ( 1) 古典控制理论中的稳定指的是指输入输出稳定性, 与系统状态无关; 而李雅普诺夫
意义下的稳定性是指系统的内部稳定性, 反映了系统状态在偏离平衡状态后, 是否仍能保持
在平衡状态附近、 甚至回到平衡状态的系统能力。
( 2) 对于古典控制理论中的稳定性是利用系统的传递函数定义的, 因此必须要假定系统
的初始条件为零。对象是线性时不变单输入单输出系统, 采用的方法是判断系统的
极点位置等, 仅适用于系统稳定性分析。
( 3) 李雅普诺夫意义稳定性理论适合于线性和非线性系统, 时变和时不变系统, 多变量
系统; 经过分析系统能量的变化来判断系统的稳定性; 方法不但适合于分析, 而且
更重要的是可用于控制系统的设计。
4.2 请说出李雅普诺夫意义下稳定、 渐近稳定、 大范围渐近稳定的区别和联系, 并说明它
们的几何意义。
答: 李雅普诺夫意义下稳定、 渐近稳定、 大范围渐近稳定的区别在于:
( 1) 李雅普诺夫意义下稳定指的是当系统初始状态在平衡状态的一个小范围内时, 其之
后的状态也一定在平衡状态附近。
( 2) 渐近稳定性首先要求是稳定的, 而且随着时间的推移, 系统的状态回复到平衡状态。
( 3) 大范围渐近稳定不再要求初始状态在平衡状态附近, 而能够是任意的。因此, 对任
意初始状态出发的轨线都逼近于平衡状态, 当然, 系统的平衡状态也是惟一的。
李雅普诺夫意义下稳定、 渐近稳定、 大范围渐近稳定的联系是: 大范围渐近稳定 ⇒渐
近稳定⇒李雅普诺夫意义下稳定。
它们的几何意义能够从下图中看出。李雅普诺夫意义下稳定指的是, 当时间无限增加时,
从球域S(δ )内出发的状态轨线不会超出球域S(ε ); 李雅普诺夫意义下的渐近稳定指的是,
当时间无限增加时, 从球域 S(δ )内出发的状态轨线不但不会超出球域 S(ε ), 而且最终收
敛到原点; 大范围渐近稳定指的是, 当S(δ )为整个状态空间时, 系统的状态都会随着时间
的推移趋向于原点。
x2
x2
S(δ )
S(δ )
S(ε )
S(ε)
(x0,t0 )
(x0,t0 )
x1
x1
x(t)
x(t)
李雅普诺夫意义下稳定
渐近稳定

4.3 李雅普诺夫稳定性的定义是什么? 它适用于哪些系统?
答: 考虑系统 x = f (x,t)的平衡状态 xe = 0, 如果对任意给定的ε > 0, 存在一个δ > 0 (与
ε 和初始时刻t0有关), 使得从球域S(δ )内任一初始状态出发的状态轨线始终都保持在球域
S(ε )内, 则平衡状态 xe = 0称为是李雅普诺夫意义下稳定的。进一步, 如果平衡状态 xe = 0
是李雅普诺夫意义下稳定的, 而且当t → ∞时, 始于原点邻域中的轨线 x(t) → 0, 则平衡
状态 xe = 0称为在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的。
它既适用于线性系统, 也适用于非线性系统, 既适用于时变系统, 也适用于时不变系统,
既适用于连续系统, 也适用于离散系统。
4.4 怎样判别二次型函数的正定、 负定、 半正定、 半负定?
答: 二次型函数的一般表示式为:
n
n
pijxixj
∑∑
V (x) =
i=1 j=1
⎡ p11 p12
"
p1n ⎤⎡x ⎤
1
⎢
⎥⎢ ⎥
p
p22 " p
x
2
= x Px =[x1
T
"
xn]
⎢
⎢
⎢
⎣
12
2n
⎥⎢ ⎥
x2
# # % # #
⎥⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥
p1n p2n " pnn
x
⎦⎣
n
⎦
能够经过判断对称矩阵 P的定号性来确定二次型函数的定号性。
记Δi(i =1,2,",n)为矩阵 P的各阶顺序主子式:
⎛⎡ p11 p12 " p1n ⎤⎞
⎜⎢
⎥⎟
⎥⎟
Δi = p11, Δ2 = det⎛⎡ p11 p12 ⎤⎞
"
p
⎜⎢ # # % # ⎥⎟
p22
p2n
, ", Δ = det⎜⎢
12
⎜⎢
⎝⎣
⎥⎟
⎦⎠
n
p12
p22
⎜⎢
⎥⎟
⎟
⎜
"
⎝⎣p1n
p2n
pnn ⎦⎠
则:
( 1) 矩阵 P 正定的充分必要条件是所有的顺子主子式都是正的, 即 Δi > 0 ,
(i =1,2,",n);
( 2) 矩阵 P负定的充分必要条件是Δ ⎨⎧> 0 i为偶数
;
i
⎩< 0 i为奇数
⎧≥ 0 i =1,2,",n −1
( 3) 矩阵 P半正定的充分必要条件是Δ ⎨=
;
i
⎩ 0 i = n
⎧≥ 0 i为偶数
( 4) 矩阵 P半负定的充分必要条件是Δi ⎪⎨≤ 0 i为奇数。
⎪
= 0 i = n
⎩
4.5 试确定下列二次型是否为正定的。
( 1) V (x) = x1
2
+ 4x2
−10x2
+ 4x2
+ 4x2 + x3
2
+ x3
− 4x3
+ x3
+ 2x1x2 − 6x2x3 − 2x1x3
2
+ 2x1x2 − 6x2x3 − 2x1x3;
+ 6x1x2 + 2x3x2;
+ 2x1x2 − 2x3x2 − 4x1x3
( 2) V (x) = −x1
( 3) V (x) = 10x1
2
2
2
2
2
2
答: ( 1) V (x) = x1
2
2
2

二次型V (x)可写成
V (x) = x
⎡ 1
1
4
−1⎤⎡x ⎤
1
⎢
⎥⎢ ⎥
Px =[x1 x2 x3 ⎢
]
1
−3 x
T
⎥⎢ ⎥
2
⎣⎢−1 −3
⎥⎢ ⎥
1
x
3
⎦
⎦⎣
由于矩阵 P的三个顺序主子式分别是
⎛⎡ 1
1
−1⎤⎞
Δ1 =1> 0, Δ2 = det⎜⎛⎢⎡1 1⎤⎞ > 0, Δ = det⎜⎢
⎥⎟
⎥⎟
1
4
−3 < 0
⎜⎢
⎥⎟
⎦⎠
⎝⎣1 4⎦⎠
3
⎜
⎟
⎢−1 −3
⎝⎣
⎥
1
根据塞尔维斯特准则, V (x)不是正定的。
( 2) V (x) = −x1
2
−10x2
2
− 4x3
2
+ 6x1x2 + 2x3x2
二次型V (x)可写成
⎡−1
3
−10
1
0 ⎤⎡x ⎤
1
⎢
⎥⎢ ⎥
V (x) = x
T
Px =[x1 x2 x3 ⎢
]
3
0
1
− ⎥⎢ ⎥
4 x
x
2
⎥⎢ ⎥
⎢
⎣
⎦⎣
3
⎦
由于矩阵 P的三个顺序主子式分别是
Δ1 = −1< 0, Δ2 = det⎛⎡−1 3 ⎤⎞
⎛⎡−1
3
0 ⎤⎞
⎜⎢ 3 −10
⎥⎟ = −3 < 0
⎥⎟
⎟
⎜⎢ 3 −10⎥⎟ =1> 0, Δ = det
1
⎜⎢
3
⎝⎣
⎦⎠
⎜
⎢
−4⎥

0
1
⎝⎣
⎦⎠
根据塞尔维斯特准则, V (x)不是正定的, 而是负定的。
+ 4x2 + x3 + 2x1x2 − 2x3x2 − 4x1x3
二次型V (x)可写成
( 3) V (x) =10x1
2
2
2
⎡10
1
4
−2⎤⎡x ⎤
1
⎢
⎥⎢ ⎥
V (x) = x
T
Px =[x1 x2 x3 ⎢
]
1
⎣⎢−2 −1
−1 x
⎥⎢ ⎥
2
⎥⎢ ⎥
1
x
3
⎦
⎦⎣
由于矩阵 P的三个顺序主子式分别是
⎛⎡10
1
4
−2⎤⎞
⎛⎡10 1⎤⎞
⎜⎢
⎥⎟
Δ1 =10 > 0, Δ2 = det⎜⎢
⎥⎟ = 39 > 0, Δ = det
⎦⎠
−1 =17 > 0
1
⎜⎢
⎥⎟
1
4
3
⎝⎣
⎜
⎟
⎥
⎦⎠
⎢−2 −1
1
⎝⎣
根据塞尔维斯特准则, V (x)是正定的。
4.6 试确定下列二次型是否为负定的:
V (x) = −x1 − 3x2 − 11x3 + 2x1x2 − 4x2x3 − 2x1x3
2 2 2
答: 二次型V (x)可写成
⎡−1
1
−1 ⎤⎡x ⎤
1
⎢
⎥⎢ ⎥
V (x) = x
T
Px =[x1 x2 x3
]
1
−3 −2 ⎥⎢ ⎥
x
2
⎢
⎢−1 −2 − ⎥⎢ ⎥
11 x
⎦⎣ ⎦
3
⎣
由于矩阵 P的三个顺序主子式分别是

⎛⎡−1
1
−1 ⎤⎞
Δ1 = −1< 0, Δ2 = det⎛⎡−1 1 ⎤⎞
> 0, Δ = det⎜⎢ 1 −3 −2 ⎥⎟ < 0
⎜⎢ 1 −3⎥⎟
⎜⎢
⎜
⎥⎟
3
⎝⎣
⎦⎠
⎝⎣
⎢−1 −2 −11⎥⎦⎟⎠
根据塞尔维斯特准则, V (x)是负定的。
4.7 李雅普诺夫稳定性定理的物理意义是什么?
答: 李雅普诺夫稳定性定理的物理意义是: 针对系统引入一个虚拟的能量函数( 即李雅普
诺夫函数) , 其本身要求是正定的。该能量函数沿系统轨线关于时间的导数是负定的表明了:
当系统运动时, 其能量随时间的推移而持续地减少, 直至消耗殆尽, 则系统的状态就回到平
衡状态, 从而系统是渐近稳定的。
4.8 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在, 那么是否能断定此系统不稳定? 为什
么?
答: 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在, 我们也不能断定此系统不稳定, 因为李雅
普诺夫稳定性定理给出的稳定性条件仅仅是充分的, 而非必要。当系统是线性是, 其条件就
是充分必要的。
4.9 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
x1 = −x1 + x2 + x1(x1
+ x2 )
2
x 2 = x1 − x2 + x2(x1
+ x2
2
2
2
)
考虑下列二次型函数是否能够作为一个可能的李雅普诺夫函数:
V (x) = x1
2
+ x2
2
答: V (x) = x
2
1 + x 2不能作为李雅普诺夫函数, 理由在于: 虽然 V (x) = x 1 + x 2是正定
2
2 2
的, 但
V(x) = 2x1x1 + 2x2x2
= 2x1[−x1 + x2 + x1(x
= 2x 1 + 2x 2 + 4x 1x
= 2(x1 + x2 − 2(x1 − x2)
2
2
1 + x
2
2)]+ 2x2[x1 − x2 + x2(x 1 + x 2)]
2 2
− 2x 2 + 4x1x2
4
4
2
2
2 − 2x 1
2
2
2
2
)
2
是不定的。
4.10 试写出下列系统至少两个李雅普诺夫函数

x
⎣ ⎦ ⎣
⎡x ⎤ ⎡−1 1⎤ ⎡x ⎤
1
=
1
⎢ ⎥ ⎢ 2 −3⎥ ⎢ ⎥

x
⎦ ⎣ ⎦
2
2
并确定该系统在原点处的稳定性。
答: 原点是系统的唯一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫方程:
T
A P + PA = −Q
其中, 未知对称矩阵具有以下形式
⎡P P ⎤
P =
11
12
⎥
⎢
P
P
22
⎦
⎣
12

代入得:
⎡−1 2 ⎤ ⎡P11 P12 ⎤ ⎡P11 P12 ⎤ ⎡−1 1 ⎤
⎣ 1 −3⎦ ⎣P P ⎦ ⎣P P ⎦ ⎣ 2 −3⎥⎦ = −Q
+
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
22
12
22
12
分别取Q = ⎢⎡1 0⎥⎤和Q = ⎢⎡2 1⎤⎥代入上式, 可解出对应的矩阵 P为
⎣0 1⎦
⎣1 2⎦
⎡ 1.75 0.625⎤
⎡5 2⎤
和 P = ⎢
⎣2 1⎦⎥
P1 =
⎢
0.625 0.375⎥⎦
2
⎣
经验证, 矩阵 P1和 P2都是正定的。因此, 系统在在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
利用矩阵 P1和 P2可得到系统的两个李雅普诺夫函数, 分别为:
V1(x) = x
T
Px =1.75x1
2
+1.25x1x2 + 0.375x2
2
+ 4x1x2 + x2
V2(x) = x
T
Px = 5x1
2
2
4.11 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性。

x1 = −x1 − 2x2 + 2

x2 = x1 − 4x2 −1
⎛ 5 1 ⎞
答: 由 x = 0可得系统的平衡点为⎜ , ⎟, 且该平衡点为孤立平衡点, 经过坐标变换将该
⎝ 3 6 ⎠
平衡点平移到新坐标中的原点, 进而经过求解李雅普诺夫方程分析变换后的系统在原点处的
稳定性:
原系统状态方程为:

⎡x ⎤ ⎡−1 −2⎤⎡x ⎤ ⎡ 2 ⎤
1
=
1
+
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
1 −4 x
−1

x
2
⎣
⎦ ⎣
2
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
取 x1 = x1 − 5 , x2 = x2 − 1进行坐标变换, 可得变换后的状态方程为:
3
6

⎡ ⎤ ⎡−1 −2⎤ ⎡ ⎤
x
x
1
=
1
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥

⎣ 1 −4⎦ ⎣x ⎦
2
x
2
⎣
⎦
原点是该系统的平衡点, 以下讨论该系统在原点处的稳定性。
因为 A = ⎢⎡−1 −2⎤
⎣ 1 −4⎥⎦, 考虑李雅普诺夫方程:
A P + PA = −I
T
即,
⎡−1 1 ⎤ ⎡ p11 p12 ⎤ ⎡ p11 p12 ⎤ ⎡−1 −2⎤ ⎡−1 0 ⎤
+
=
⎢
−2 −4⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎥ ⎢
⎥ ⎢ 1 −4⎥ ⎢ 0 −1
⎥
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣
p12
p22
⎦ ⎣
p12
p22
解此方程可得:
⎡ 23 − 7 ⎤
⎢
⎥
⎥
⎥
60
7
60
11
P = ⎢
⎢
−
⎢
计算该矩阵的顺序主子式, 可得:

Δ1 = 6023 > 0 , Δ2 = 204 > 0
3600
因此矩阵 P是正定的, 故由线性系统稳定性的李雅普诺夫定理得出, 系统在原点这个平衡
⎛ 5 1 ⎞
点处是渐近稳定的, 从而变换前的系统在⎜ , ⎟点处也是渐近稳定的。
⎝ 3 6 ⎠
4.12 系统的状态方程为
⎡−1 0⎤
x =
x
⎥
⎦
⎢
−1 −1
⎣
+ x2
试计算状态轨线从 x(0) = [1 0]T 出发到达 x1 = (0.1)2区域内所需要的时间。
2 2
解: 选取李雅普诺夫函数
⎡1 0⎤
V (x) = x1
2
+ x2
2
= x
T
⎥ x = xTPx
0 1⎦
⎢
⎣
则沿系统轨线, V(x)关于时间的导数是
⎡2 1⎥⎤ x = −x
dV dt = x
T
(A
T
P + PA)x = −x
T
T
Qx
⎢
⎣1 2⎦
根据式( 4.4.6) , 可得ηmin = λmin(QP−1) =1。进一步, 根据式( 4.4.4) 及问题要求, 须有
V (x) = x1
2
+ x2
2
≤V (x0)e−ηmint = e−
≤ 0.1
t 2
有上式可得t > 4.6052。
4.13 设线性时不变离散系统的状态方程是
⎡ 0 1⎥⎤ x(k)
x(k + 1) = ⎢
⎣0.5 0⎦
试分析系统在原点处的稳定性。
答: 选取Q = I, 则离散李雅普诺夫矩阵方程是
⎡0 0.5⎤⎡ p11 p12 ⎤⎡ 0 1⎤ ⎡ p11 p12 ⎤ ⎡−1 0 ⎤
⎥
−
=
⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣1 0 ⎦⎣p12 p22⎦⎣0.5 0⎦ ⎣p12 p22⎦ ⎣ 0 −1⎦
从上式可解出
⎡5
⎤
⎥
⎥
⎥
0
8
3⎥⎦
⎢
3
P = ⎢
⎢
0
⎢
⎣
由于 P是正定的, 因此由定理 4.5.3可知, 该系统在原点处是渐近稳定的。