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分数的意义和性质重难点突破
一、理解分数的意义
突破建议：
1．多角度了解与揭示分数的来源，促进学生对分数本质的理解。在小学数学里，认识分数是学习数的概念的一次重要扩展。因此，教学中要从揭示产生分数的现实背景出发，帮助学生领会分数的含义，理解分数的意义。
从现实的角度来看，数是用来表示量的。如6支笔、8个人等这些量的共同特征，可以用自然数6、8来表示。但除了上面列举的有一些单位量合成的，可以用自然数表示的量之外，还存在许多可以分割的、无法用自然数来表示的量。历史上，分数正是为了比较精确地测量这类需要分割的量而引入的。另外，从数学的角度来看，分数的引入是为了解决整数集合里除法不是总能实施的矛盾。比如，2÷3在整数范围内不能计算，引入分数就能记作2÷3=。再引出分数概念之后，又通过分蛋糕、分月饼的实例，抽象出分数与除法的关系，使学生初步感悟：利用分数，可以解决整数除法除不尽的矛盾。即从数学内部发展的角度，揭示了分数的来源。
总之，教学通过多角度呈现分数的来源，使学生感悟到分数是为了适应客观实际需要而产生的。同时，为学生提供了较为丰富的理解分数意义的教学素材，从而为学生理解分数的本质意义提供了牢固的学习平台。
2．充分利用学生已有知识基础与学习经验，在学习活动中及时抽象概括分数的意义。本单元的教学是学生在三年级学习“分数的初步认识”的基础上展开的，即学生已有将一个图形、实物等平均分可以得到分数的认知基础。因此，本节课的研究对象是将一些物体看成一个整体。但在实际的教学中，分数单位“1”的相对性与自然数“1”的确定性，在学生已有的知识经验中是相互矛盾的，进而导致分数的意义不为他们已有的认知结构所接受和同化。也就是说，单位“1”它不仅表示一个物体，也可以表示由多个物体所组成的一个整体，如一个物体、一个图形、一个计量单位可以称作单位“1”，一些物体所组成的一个整体也可以称作单位“1”，即与单位“1”相对应的量是动态的，具有相对性。当单位“1”表示为一个物体（如一个苹果、一个圆形、一米线段）时，与学生已有经验中所确定不变的自然数“1”相一致，当单位“1”表示为多个物体（如10个苹果、23个圆形、35条1米长的线段）时，与自然数“1”就有了冲突，学生的理解也随之产生偏差。因此，本单元教学的主要任务是在帮助学生重构与拓展单位“1”的含义，进而揭示分数的本质。由此，教学不妨如下展开：
（1）重温旧知，导入新课
揭题：分数。板书： ，对这样的分数有哪些认识？（各部分名称、产生过程等。）
你能想办法表示吗？
预设三类表示方式：

（前两类）为什么不同的图形都可以表示？
概括：把一个图形平均分成4份，这样的1份用表示。（板书）
那这第三类能不能用表示呢？引发思辩。
（2）操作体验，概括意义
用这幅图表示，和之前用图形表示有什么区别？（看成一个整体，完善表示方法。）

如果有更多的圆，怎么表示？你能画一画吗？（一个学生到黑板上用磁铁摆）形成：

三种表示方法有什么不同？（整体数量不同，表示的数量也不同）；为什么数量不同都可以表示？（板书：一个整体）。
归纳：1个是4个的，2个是8个的，3个是12个的。
 更多的圆，怎样表示？（平均分成4份，用一份表示）形成：

小结：部分是整体的。如之前的平面图形、线段、圆看成的整体等等，这些都可以称为单位“1”。（板书）问：为什么1要带上引号？（区别自然数1，表示特定称谓）
观察下面的图形，你看到了哪些分数？

你是怎么想到这些分数的？整体是12个，部分是4个，为什么可以用不同的分数表示？
总结：把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。
显然，该环节教学对学生的思维、认知无疑是一个很好地提升。在创造分数的过程中，学生不但可以更加深刻地理解分数意义，还可以尝到探索活动的趣味，树立良好的学习信心。
3．在练习纠错中不断积累数学经验，正确表征分数内涵。分数概念的多重意义性意味着学生必须要跟随教学进度，不断激发已有的分数学习经验，由浅入深，分步扩展，主动建构新的分数经验，不断扩充、完善对分数内涵和分数概念的认知与把握。在此基础上，要善于引导学生从不同的角度，在不同意义情境下，全方位地认识分数，了解其各种不同的表征方式，理解其不同的内涵，正确地建立分数概念否则，学生难以运用知识灵活解决有关分数的实际问题。
【错例1】在下面的数轴上，和之间，可以找到（A）个分数。

【错例2】虚线框中代表的是根小棒，请你估计一下，选项（B）代表的是1根小棒。

错例1反映出学生缺乏分数的数感，分数稠密性知识掌握不牢，他们只是把数轴上和之间能看到的，已经标记出来的3个刻度线，作为可以找到的分数，其实，无论哪两个分数之间，都存有无数个分数。错例2中学生没有选A，说明他们已经意识到“1根小棒”的长度肯定比“根”要长，实际调查中还发现，有的学生通过计算，知道要长“根”，但究竟“根”是谁的他们很模糊，于是就把已知的根小棒，作为需要估计的“”的单位“1”，认为要求的一根小棒就是比已知的小棒多，从而出现错误。
因此，只有牢牢把握分数概念的不同表征方式，深刻理解分数概念的多重意义，才能达到触类旁通、举一反三的学习效果，才能真正将所学知识用于解决学习和生活中遇到的相关问题，提升数学素养，发展数学能力。
二、运用公因数（公倍数）、最大公因数（最小公倍数）解决实际问题
突破建议：
1．引导学生经历知识的探索过程，培养学生自主解决问题的能力。教材改变了原实验教材将解决问题与概念引入结合在一起的编排，主要是考虑到学生理解起来难度较大。所以，新版教材将这部分的编排改为先给出最大公约数、最小公倍数的概念，突出概念的本质，然后探索它们的求法，最后在解决问题的应用中体会它们的现实意义，加深对概念的理解。虽然这部分内容与生活联系紧密，但实际由于学生缺乏必要的生活经验与知识经验，在运用公因数（公倍数）、最大公因数（最小公倍数）解决实际问题时，还是有相当的困难。因此，如何实现生活的实际问题转化为抽象的数学问题，进而解决实际生活问题。在教学时一方面应尽可能加强与实际生活的联系，激发学生的生活认知；另一方面应引导学生经历知识的探索过程，重视所学知识解决实际问题的意识与能力的训练，培养学生自主解决问题的能力。例如，阅读与理解题意，通过交流，收集有关信息，使学生明白，在储藏室的长方形地面上铺正方形，要求是既要铺满、又要都用整块的方砖。进而思考：边长是多少的整块正方形地砖正好铺满？接着在“分析与解答”环节，通过操作实践，合作交流，使学生明白，要符合用正方形方砖铺地，满足既要铺满、又要都用整块的方砖的条件，只要使正方形地砖的边长同时符合长方形地面长与宽的要求，即正方形地砖的边长既能整除长方形地面的长，又能整除长方形地面的宽，即地砖的边长必须既要是16的因数，又要是12的因数，进而认识到可以用公因数和最大公因数的方法解决问题，帮助学生将生活问题转化为数学问题。最后，通过可以让学生再画一画、相互验证交流，使学生明白：要使所用的正方形地砖都是整块数，地砖的边长必须既是16的因数，又要是12的因数。形成解决此类问题的方法与策略。
2．充分关注操作与想象相结合，发展学生的空间观念。运用公因数（公倍数）、最大公因数（最小公倍数）解决实际问题的关键，就是帮助实现将生活问题转化为数学问题。如何帮助学生理解，实现这一转化，既是教学的重点，也是教学的难点。要在教学上实现这一突破，引导学生展开操作与想象，是一个行之有效的方法。例如，在用公倍数、最大公因数解决实际问题时，在让学生猜想的基础上，让学生利用学具摆一摆，说一说，在不断的试误中理解要铺的一个正方形（要用整块的墙砖）的边长必须既是长3的倍数，又是宽2的倍数，最终得出只要找到3和2的公倍数与最小公倍数，就能知道所铺的正方形的边长。更进一步，在解决问题之后，可让学生进一步反思，在所求的边长是6 dm的正方形上画一画，想一想，看看找得对不对，以进一步加深对问题解决方法与策略的认识。