常数项级数的概念及性质.pptx

1,2,微积分虽然是研究函数的有力工具,本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题,.,如,工具就是,无穷级数,.,有限形式,.,导数的和,.,无穷小的和,仍是无穷小,;,限性,如,:,有限个,即一般要求问题本身具有,有限,形式,.,但也有其局,有限个函数和的导数,等于,不具有,有些函数的原函数不是初等函数,本章将借助于新的工具来研究函数,这个,3,引例：,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,边形面积为,4,无穷级数,无穷级数,常数项级数,幂级数,第九章,主要研究无限个量相加的问题，包括,无限个数和无限个函数相加的问题。,5,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第九章,6,1.,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称为（常数项）,无穷级数,.,第,n,项,叫做级数的,一般项,.,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和,.,次相加所构成的式子：,其中,几个概念：,称 为级数的部分和数列.,简记为,一,、常数项级数的概念,无穷多个数相加的含义是什么,?,7,即,则称级数,收敛，,极限,s,称为该级数的,和，,并记作：,如果,部分和数列,极限不存在，,则称级数,发散，,或者称,该级数没有和,.,2.,级数的收敛与发散：,有极限,s,如果级数,部分和,数列,注意：,(1),常数项,级数,收敛,(,发散,),存在,(,不存在,).,即数列,收敛,(,发散,),收敛与发散二者必居其一,.,(2),给定一个级数，,级数收敛时才有和，发散时就没有和,.,即数列,有,(,没有,),极限,.,数列收敛，则它的任意子数列都收敛,8,余项,(3),如果级数,收敛于,s,，,s,叫级数的和,.,即,这时：,其误差为,显然,存在,9,3.,级数的敛散性举例：,解：,所以级数的,部分和,为：,例,1.,判断级数,的敛散性,.,所以原级数,发散,.,10,例,2.,讨论等比级数,(,又称几何级数,)解：,收敛,发散,当,时，,当,时，,发散,的敛散性,.,级数变为,11,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,不存在,因此级数发散,.,综上,当,时，,当,时，,收敛，,发散，,收敛；,收敛；,发散；,发散,.,如：,其和为,1,.,级数变为,12,解,已知级数为等比级数，,13,解：,所以级数的,部分和,为：,例,3.,判断级数,的敛散性,.,所以原级数,发散,.,注意：,判断敛散性的,方法：,(1),找,(2),求极限,定义法,14,解：,例,4.,判断级数,的敛散性,.,若收敛,求其和,s.,所以级数,收敛，,和,s,=1.,即,技巧,:,利用“,拆项相消,”求和,15,解,例,5.,16,17,18,二、无穷级数的基本性质,（,常数项级数 函数项级数都使用,）,性质,1.,若级数,收敛于,s,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,证,:,令,则,这说明,收敛,其和为,c s.,即,其和为,c s.,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,发散级数没有可比性,敛散性相同,即,19,性质,2.,设有两个,收敛,级数,则级数,也收敛,其和为,证,:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,结论,:,收敛级数,可以逐项相加与逐项相减,.,20,说明,:,(2),若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散,.,但若二级数都发散,不一定发散,.,例如,(1),性质,2,表明,收敛,级数可逐项相加或减,.,也说明加法的交换律及结合律在级数,收敛,的条件下是成立的,.,(,用反证法可证,),即,收敛,+,收敛,=,收敛，收敛,+,发散,=,发散，,发散,+,发散就不一定发散,如,求级数,的和,.,21,解,由性质,1,知,22,性质,3.,在级数前面加上或去掉,有限项,不会影响级数,的敛散性,.,证,:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同,.,当级数收敛时,其和的关系为,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,时，,说明,:,(1),收敛,收敛,(2),类似地,可以证明在级数前面加上、改变有限项不影响级数,的敛散性，,但影响收敛级数的和,.,2.,级数的敛散性和前有限项没有关系,.,23,性质,4.,收敛,级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和,.,证,:,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,因此必有,例如,收敛,加括号后收敛,24,注意,即收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,收敛,发散,1,、,(,逆命题不一定成立,),加括号后的级数收敛，原,级数不一定收敛,.,25,例,7,判断级数的敛散性,:,解,:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散,.,26,例,7,证明,证明,矛盾！,（,1,）,请熟记：调和级数,是发散的,.,27,例,5.,证明调和级数 是发散的,.,解,:,考虑加括号后的级数,即加括弧后的级数发散,从而原级数发散,.,请熟记：调和级数,是发散的,.,28,证,:,性质,5,：,如,:,级数,收敛，,当,时,则有,29,注意：,1.,反之不成立,(,是级数收敛的,必要条件，不充分,),但它是发散的,.,但它是发散的,.,30,2.,如果级数的一般项不趋于零,则级数发散,.(,逆否命题,),所以是发散的.,发散.,发散.,都是发散的.,发散,此必要条件只能用于判定级数发散而不能判定收敛,.,31,判断级数发散的方法,:,解,实际上,的速度越快,，,收敛的可能性越大,32,例,8,：,判断级数 的敛散性,.,解答：,所以原级数发散.,33,解,34,常数项,级数的基本概念,基本审敛法,对收敛级数而言,.,性质,2,，性质,4,对一般级数而言,.,性质,1,，性质,3,常数项,级数,收敛,(,发散,),存在,(,不存在,),1.,由定义：,存在,(,不存在,),级数,收敛,(,发散,),；,3.,按基本性质,小结,2.,发散.,35,基本性质,性质,1,不变,.,敛散性,级数的每一项同乘一不为零的常数,性质,2,设两级数收敛,则级数,收敛，,其,和,为,在级数前面,加上,（,或去掉,）,有限项,不影响,性质,3,级数的,敛散性,但,影响收敛级数的和,.,性质,4,收敛,加括号后,收敛,.,收敛级数,加括号后所成的级数,仍然收敛,于,原来的,和,.,36,收敛的,必要条件,几个重要级数的敛散情况,1.,等比级数,收敛,发散,.,2.,调和级数,是发散的,.,作业：,P365,:4（2,3）.5（2,3,4,7,8）7,37,P366,8,证,:,有界,部分和为,有界,单调增加,存在,收敛，,