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基本初等函数教学分析
丰南二中高一数学组 张艳玲
指数函数、对数函数和幂函数是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型，是高中阶段学习的三类重要且常用的基本初等函数，也是进一步学习数学的基础。本章中，学生将在第一章学习函数概念的基础上，通过三个具体的基本初等函数的学习，进一步理解函数的概念与性质，学习用函数模型研究和解决一些实际问题的方法。
在自然条件下，细胞的分裂，人口的增长与物体内Ｃ－１４的衰减变化规律可用指数函数的模型来研究．地震震级变化规律、溶液ＰＨ值的变化可用对数函数的模型来研究。正方体的体积与边长的关系，理想状态下的气体的压强与体积的关系可用幂函数的模型来研究。
一、教学目标的分析：
本章主要学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的概念和性质，通过本章学习，使学生达到以下目标：
1．了解指数函数模型的实际背景；
2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；
3．理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
4．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型；
5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
6．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
7．知道指数函数与对数函数互为反函数；
8．通过实例，了解幂函数的概念，根据几种幂函数的图象，了解它们的变化情况。
全章分为三节，教学时间约需15课时，以适当的问题带动学生的学习，使他们在解决问题的过程中自主地建构知识。
二、教材内容分析：
与以往教材比较，本章在内容、要求以及处理方式上都发生了许多变化，归纳起来有如下几点：
　　（1）以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数幂逼近无理指数幂；本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有理数逼近无理数”的思想。
　　（2）以往教材在对数换底公式上没有要求；这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
　 （3）以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质；这里要求能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
　　（4）以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；这里对反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a > 0,a≠1），不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。
　　（5）以往教材不要求学习幂函数；这里要求通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。
（6）以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；这里要求学生在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
三、初、高中衔接问题分析：
二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用，根式的化简与运算；代数式运算与变形如分子(母)有理化，多项式的除法(竖式除法)，分式拆分，分式乘方等，这些知识或者在初中教材中已被删掉，或者在教学要求上降低了标准，但高中在幂函数一节的例题中出现，本节内容若既要讲授幂函数的概念与相关性质，又要加强有理化的训练，则教学任务将会非常繁重，因此有必要分解为两节课，对有理化作一深入探讨，因为在函数的某些练习中也曾出现有理化的问题。
四、教学建议：
教学中要切实关注上述变化，把主要精力用在让学生通过具体实例了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，通过实例体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义，以及了解这些函数模型的广泛应用上，而不要过分地追求那些细枝末节（如求定义域、值域，讨论复合函数的单调性、奇偶性等）。
在“指数”与“指数函数”的内容中，教科书先给出了两个实际例子：GDP的增长问题、碳-14的衰减问题。前一个问题是为了让学生回顾初中已经学习过的整数指数幂，体会其中的函数模型；后一个问题是为了让学生进一步感受到指数函数的实际背景，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的强烈欲望，为新知识的学习作铺垫。引导学生一步步地把正整数指数幂推广为有理指数幂。每一步推广都要指出它的合理性。通过具体实例，说明有理指数幂运算法则的合理性。对无理指数幂，要使学生理解它的存在性。在学生理解各种指数运算的基础上，还要通过实例，验证指数运算所要满足的运算法则。教材是通过两个具体实例引出指数函数的一般定义的。一定要根据研究函数的一般步骤研究指数函数的性质：分析指数函数的定义域、值域和单调性，直观分析指数函数的变化率。指数函数的性质大多是从直观归纳出来的。教参中给出的指数函数单调性证明，不用给学生证明。
在“对数”与“对数函数”的内容中，教材是从指数函数引入对数运算的。主要考虑是把运算与函数关系联系起来，运算不过就是求函数值。对数运算和对数函数可一次性引入，对数运算法则可作为对数函数的性质处理。在指数函数中，指数为自变量，在实数集任意给定一个指数，可算出唯一的幂值y（y＞0）；同样，如果把幂作为自变量x，对正实数集内任一个x值，相应的指数值y也是唯一确定的，即。这就是说，以指数幂为自变量，指数为因变量，它们之间同样存在函数关系。指数y又叫做以2为底, 幂x的对数。这种函数关系，叫做对数函数。我们常用符号“log”(logarithen的缩写)表示对数。则上述以2为底的对数函数，记做，。一般地，把“数y是数x以a为底的对数”记作：，读做“y等于x以a为底的对数”。当x当作自变量，在区间（0，+∞）内任取一个x值，都唯一确定一个函数值y，则以正实数集为定义域的函数称为对数函数。引入对数和对数函数后，接着就可研究对数函数的性质和图象，对数的运算法则等。
对于指数函数与对数函数的关系，应向学生说明，当且仅当一个函数关系是一一映射时，它才存在反函数。以具体的指数函数和对数函数为例引入反函数概念：
（1）检验指数函数在定义域到值域内是不是一一映射；
（2）对换函数中x与y的位置，即或，再分析图象特征；
（3）给出反函数的定义；
（4）再举例子说明。
在幂函数的内容中， 降低教学要求，只要求了解幂函数的一般性质。记住如下一些幂函数的性质与图象：

对学习较好的学生介绍凸函数，引导他们学习本节的探索与研究，研究函数的凸性。
课程内容“问题化”，实际上是将那种从定义到概念到定理，再用概念和原理解决问题的“演绎式”教材体系，转化为问题引导的，体现知识发生发展过程的，从大量的、丰富的具体事例中通过归纳概括而获得数学的概念与法则的“归纳式”教材体系。这样的转化有利于学生学习方式的改进，能促使他们积极主动学习。本章充分关注高中学生的心理发展和分析能力、思维能力明显增强的特点，强调以问题激发学生的学习动机和兴趣，引起学生的“认知冲突”，使他们带着问题学习。
培养逻辑推理能力也是高中的重要任务，但不能一开始就用高标准来要求，只能慢慢来，有计划分阶段分步骤，通过高中三年的学习逐步培养和提高。加强对数学思想方法的提升，如配方法在高中有着相当重要的地位与作用，初中虽也涉及，但还需使学生能熟练掌握配方法的基本过程。换元法也是最基本的数学方法之一，在数学解题中有着不可估量的作用，初中对该方法的训练已大大弱化，高中数学却经常在应用，可设计专题内容进行系统讲授；分离系数法、待定系数法，作为基本的数学方法初中要求明显降低，高中教学可进行系统的讲授与训练；数形结合思想、分类讨论思想是数学重要的思想方法，仅靠新课讲授时的教学显然不够，在专门的课时下进行不断的渗透，让学生逐步理解并接受，从而能自觉应用于数学解题中。