2022年湖北省黄冈中学高中数学竞赛预赛训练试题.doc

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（初赛）训练试题（二）

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、填空题（本题满分70分，每题7分）
1．方程实数解为 ．
2．函数R单调减区间是 .
3．在△中，已知，，则＝ .
4．函数在区间上最大值是 ，最小值是 ．
5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为圆与△边有公共点，
其中、、，则取值范畴为 ．
6．设函数定义域为R，若与都是有关奇函数，则函数
在区间上至少有 个零点.
（第7题）
7．从正方体条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意
两条线段所在直线都是异面直线，则最大值为 ．
8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中一种．其中镀金银概率是 ．
9．在三棱锥中，已知，
，且．已知棱长为，则此棱锥体积为 ．
10．设复数列满足，，且．若对任意N* 均有，
则值是 ．

二、解答题（本题满分80分，每题20分）
11．直角坐标系中，设、、是椭圆上三点．若
，证明：线段中点在椭圆上．

12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次
成等比数列．
(1) 求数列通项公式；
(2) 求出所有正整数，使得．

13．如图，圆内接五边形中，是外接圆直径，，垂足.
过点作平行于直线，与直线、分别交于点、．
证明： (1) 点、、、共圆；
(2) 四边形是矩形．

14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．

高中数学竞赛（初赛）训练试题（二）具体解答
一、填空题（本题满分70分，每题7分）
1．方程实数解为 ．
提示与答案：x＜0无解；当时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
2．函数R单调减区间是 .
提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|单调减区间相似， Z．
3．在△中，已知，，则＝ .
提示与答案：，得．
4．函数在区间上最大值是 ，最小值是 ．
提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．
5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为圆与△边有公共点，
其中、、，则取值范畴为 ．
提示与答案：画图观测，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．
6．设函数定义域为R，若与都是有关奇函数，则函数
在区间上至少有 个零点.
提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一种函数满足问题中条件，且
一种零点恰为，k∈Z. 因此至少有50个零点.
（第7题）
7．从正方体条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意
两条线段所在直线都是异面直线，则最大值为 ．
提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中一种．其中
镀金银概率是 ．
提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种状况，2金2银有两种，概率为 ．
9．在三棱锥中，已知，
，且．已知棱长为，则此棱锥体积为 ．
提示与答案：4面为全等等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥体积为 144 ．
10．设复数列满足，，且．若对任意N* 均有，
则值是 ．
提示与答案：由，
恒成立，即. 由于或，故，因此
．

二、解答题（本题满分80分，每题20分）
11．直角坐标系中，设、、是椭圆上三点．若
，证明：线段中点在椭圆上．
解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 ＋y12＝1，＋y22＝1．
由，得 M(x1＋x2，y1＋y2)．
由于M是椭圆C上一点，因此
＋(y1＋y2)2＝1， …………………6分
即 (＋y12)()2＋(＋y22)()2+2()()(＋y1y2)=1，
得 ()2＋()2+2()()(＋y1y2)＝1，故
＋y1y2＝0． …………………14分
又线段AB中点坐标为 (，)，
因此 ＋2()2＝(＋y12)+(＋y22)+＋y1y2＝1，
从而线段AB中点(，)在椭圆＋2y2＝1上． ………………20分
12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次
成等比数列．
(1) 求数列通项公式；
(2) 求出所有正整数，使得．
解：(1) 设数列前6项公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.
又a5，a6，a7成等比数列，因此(3d－1)2=4(2d－1)，
即 9d2－14d+5=0，得d =1. …………………6分
当n≤6时，an =n－4，
由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成等比数列公比为2，
因此，当n≥5时，an =2n-5.
故 an = …………………10分
(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
当m=3时等式成立，即 －1+0+10；
当m=2、4时等式不成立； …………………15分
当m≥5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5，
7×2m-5≠23m-12，
因此 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 .
故所求 m= 1，或A
B
C
D
E
F
H
G
m=3． …………………20分
13．如图，圆内接五边形中，是外接圆直径，，垂足.
过点作平行于直线，与直线、分别交于点、．
证明： (1) 点、、、共圆；
(2) 四边形是矩形．
证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，
又同弧圆周角 ∠BAF=∠BEC，
∴ ∠BAF=∠BHF，
∴ 点 A、B、F、H共圆；
…………………8分
(2) 由(1)结论，得 ∠BHA=∠BFA，
∵ BE⊥AD， ∴ BF⊥AC，
又AD是圆直径，∴ CG⊥AC， …………………14分
由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，
∴∠BFG =∠DAB =∠BCG， ∴ B、G、C、F共圆.
∴ ∠BGC=∠AFB=900， ∴ BG⊥GC，
∴ 因此四边形BFCG 是矩形． …………………20分
14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．
解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.
∵ x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，
∴ x2+3x= (x+1)2，∴ x=y =1. ………………5分
若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.
∵ x2+3y是完全平方数，
∴ x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.
又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且
(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，
∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，
得 k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分
若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.
综上所述，(x，y)= (1，1)，(11，16)，(16，11)． …………………20分