2022年自贡市蜀光中学高中自主招生数学试题及答案.doc

自贡市 蜀 光中学高中自主招生考试
数 学 试 题
注意事项
1、全卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2、试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为客观题（选用题），答案用铅笔涂在机读卡上；第Ⅱ卷为主观题，答在试题相应位置上。

第Ⅰ卷（共３０分）

一、选用题：（共10小题，每题3分，共30分）
1、
A. B. C. D.
2、已知某商品涨价x成（即1成即10%），销量减少成,若要获得最大销额，则需涨价（ ）成。
A. 1 　　　 B.2 　　　　C.3 　　　　D .4
3、如图AC⊥BC于C，BC＝a，CA=b， AB=c，⊙O与直线AB、BC、AC都相切，则⊙O半径为（ ）
A. B. C. D.
4、如果,那么m取值范畴是( )
A m>－3 B m－3 C m－3 D m<－3
5、如图线段AB,CD将大长方形提成四个小长方形，
其中，，，则（ ）
A. 　 B. C.10 　 D.
第6题
6、如图，矩形ABCG（ABP个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7、已知抛物线y=ax2+2ax+4(0 y2 D. y1与y2大小不能拟定
8、假期里王教师有一种紧急告知，要用电话尽快告知给她所教两个班90个同窗,假设每告知一种同窗 需要1分钟时间，同窗接到电话后也可以互相告知，那么要使所有同窗都接到告知最快需要时间为( )
A. 8分钟 B.7分钟 C.6分钟． D.5分钟
9、已知：二次函数y=+x+a(a为不不不小于0常数)，当x=m时函数值y<0；
则当x=m+1时函数值y2与0大小关系为( )
A. y2>0 B. y2<0 C. y2=O D. 不能拟定
10、如图，点A是函数y=图象上点，点B、C
坐标分别为B(-，-)、C(，)。
试运用性质：“函数y=图象上任意一点A
都满足|AB-AC|=2”求解下面问题：
“作∠BAC内角平分线AE，过B作AE垂线交AE于F，当点A在函数y=图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为( )
A. 直线 B. 抛物线 C. 圆 D. 反比例函数曲线

学校 姓名 考号：

密
封
线
蜀光中学自主招生考试数学试题
第Ⅱ卷(共１２０分)
题 号

二
三
总分
1
2
3
4
5
6
7
得 分

阅卷人

二．填空题：（共6题，每题4分，共24分）
1、将分别标有数字0,1,2,3,4五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。随机地抽取一张作为千位上数字（不放回），再抽取一张作为百位上数字（不放回），再抽取一张作为十位上数字，而个位已经为0,这样构成四位数正好是“”概率为_____________。
2、直角坐标系中，点A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，若有一三角形与△ABC全等，且有一条边与BC重叠，那么这个三角形另一种顶点坐标是 。
3、小明设计了一种电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t(t＞0)P1点开始，按点横坐标依次增长1规律，在抛物线＞0)上向右跳动，得到点P2、P3，这时△P1P2P3面积为 。
4、实数x、y满足x2－2x－4y＝5，记t＝x－2y，则t最大值为______________。
5、如图，已知二次函数y=(a)图象，
①>0②③9a3b+c<16a+4b+c
④< (m1实数)
则以上结论对旳序号是 　　　　 （只填序号）。
6、已知AB=10,P是线段AB上任意一点，在AB同侧
分别以AP和PB为边做等边三角形△APC和等边三角形△BPD,
则线段CD长度最小值为 　　　 。
三、解答题：（共7个小题，1、2题每题11分，3题12分，4、5题每题14分，6题16分，7题18分，共96分）
1、解答下列两题
（1）（5分）计算：+3+
（2）（6分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=AD=2，∠A=60°，BC=5，求CD长。

2、如图，一次函数图象过点P（1，2），交x轴正半轴与A，交y轴正半轴与B，求△AOB面积最小值．

3..如图,在Rt△ABC内有矩形DEFG,点D在边AB上，G在边AC上，EF在斜边BC上，已知AB=3,AC=4，矩形DEFG面积为，求线段BE长

4、如图，已知⊙和⊙相交于,两点，过点作⊙切线交⊙于点，过点作两圆割线分别交⊙,⊙于,,与相交于点。
（1）求证：；
（2）求证： ；
（3）当⊙面积与⊙面积相等且时，求与面积比值。

5、已知有关x方程有两个正整数根（m是整数）。
△ABC三边a、b、c满足，，。
求：⑴ m值；⑵ △ABC面积。

6、在直角中，，直角边与直角坐标系中轴重叠，其内切圆圆心坐标为，若抛物线顶点为A。求：
⑴ 求抛物线对称轴、顶点坐标和开口方向；
⑵ 用体现B点坐标；
⑶ 当取何值时，

7、在平面直角坐标中，边长为1正方形OABC两顶点A、C分别在轴、轴正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线于点M，BC边交轴于点N（如图1)。
（1）求边AB在旋转过程中所扫过面积；
（2）设△MBN周长为p，在旋转正方形OABC过程中，p值与否有变化？请证明你结论；
（3）设MN=，当为什么值时△OMN面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆半径。
图1
y=x
x
y
O
C
B
A

自贡市蜀光中学高中自主招生考试
数学试题答案
一． BABCD CABAC
二．1. 2. (2，2)或(3，)或(-1，)．3.a 4. 5.①②④ 6. 5
三．
1．解：连结BD，作DE⊥BC于点E．（如图2）- - - - 1分
图
∵ AB=AD =2 ，∠A=60°，
∴ △ABD为等边三角形，BD =2，∠ADB=60°．
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
∵ AD∥BC ，
∴ ∠DBC=60°．- - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=60°，
∴ ． - - - - - - - -- - - - - 4分
在Rt△CDE中，∠CED=90°，，
∴ ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
2．解：设一次函数解析式为，-------1分

则，得，------2分
令得>0，则OA＝．
令得>0，k<0，则OB＝．-----4分

3．解：设DE=x，由△BDE～△BCA知:，则BE=---------3分
又由△CFG～△CAB知：,则FC=--------5分
EF=BCBEFC=5=5------7分
DEEF=x(5)=,化简得---------10分
从而x=2或x=---------11分
因此BE=------12分
4．解：（1）证明：连结，切⊙于，
----------2分

①-----4分
（2）证明：在⊙中， ②------6分
①×②得
----------8分
（3）连结，由（1）知∽，而
-------9分
设，PA=3y,FA=4y,PF=5y
--10分
为⊙直径，为⊙直径
当⊙面积与⊙面积相等 -------11分
即

------12分
即
----------14分
5．解：（1）方程有两个实数根，则，解方程得
，．--------2分
由题意，得 即-------4分
故．---------5分
（2）把代入两等式，化简得，，
当时，．-----6分
当时，、是方程两根，而△＞0，由韦达定理得，
＞0，＞0，则＞0、＞0．------7分
①，时，由于
故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．------9分
②，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去----------11分
③，时，因＞，故能构成三角形．
S△ABC＝13分
综上，△ABC面积为1或．-------14分
6．解：⑴ ∵ ∴对称轴，-----1分
抛物线是以直角边所在直线为对称轴，由题易得，
又当时，即抛物线过，-----4分
故开口向下。-----5分
⑵ 如图，，

在在直角中由勾股定理得-----8分
-----10分
⑶ ∵，∴
又在直角中
·
A
B
C
E
D
O
P
y
x

∴
∴，
又∵ ∴-----16分
7．解：（1）如图，
=--------------6分
（2）p值无变化----------------------------8分
证明延长BA交y轴于E点，
在中，

因此，≌
因此，OE=ON，AE=CN--------------------------9分
在中
因此，≌
因此，MN==ME=AM+AE=AM+CN------------------------10分
因此，P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2--------------------11分
（3）设，
又≌，∴-----------------------12分
在中，
因此，
因此，（舍去）
m最小值为--------------15分
因此，当时，面积最小-------------------16分
内切圆半径为----------------18分