2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答转化灵活的圆中角.doc

第十九讲 转化灵活圆中角 角是几何图形中最重要元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要波及角，而圆特性，赋予角极强活性，使得角能灵活地互相转化根据圆心角与圆周角倍半关系，可实现圆心角与圆周角转化；由同弧或等弧所对圆周角相等，可将圆周角在大小不变状况下，变化顶点在圆上位置进行摸索；由圆内接四边形对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关角互相联系起来熟悉如下基本图形、基本结论注：根据顶点、角两边与圆位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们所夹弧度数有如何关系?读者可自行作一番探讨【例题求解】【例1】 如图，直线AB与O相交于A，B再点，点O在AB上，点C在O上，且AOC40，点E是直线AB上一种动点(与点O不重叠)，直线EC交O于另一点D，则使DE=DO点正共有 个 思路点拨 在直线AB上使DE=DO动点E与O有如何位置关系?分点E在AB上(E在O内)、在BA或AB延长线上(E点在O外)三种状况考虑，通过角度计算，拟定E点位置、存在个数注： 弧是联系与圆有关角中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关角互相转化基本措施 【例2】 如图，已知ABC为等腰直角三形，D为斜边BC中点，通过点A、DO与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M，对于如下五个结论：FMC=45；AE+AFAB；2BM2=BFBA；四边形AEMF为矩形其中对旳结论个数是( ) A2个 B3个 C4个 D5个 思路点拨 充足运用与圆有关角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐个验证注：多重选用单选化是近年浮现一种新题型，解此类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作进一步探究，方能作出小对旳选用【例3】 如图，已知四边形ABCD外接O半径为5，对角线AC与BD交点为E，且AB2=AEAC，BD8，求ABD面积思路点拨 由条件出发，运用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例核心【例4】 如图，已知AB是O直径，C是O上一点，连结AC，过点C作直线CDAB于D(ADDB)，点E是AB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交O于点F，连结AF与直线CD交于点G (1)求证：AC2=AGAF；(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论与否仍然成立?若成立请画出图形并予以证明；若不成立，请阐明理由 思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明ACGAFC； （2）判断上述结论在E点运动状况下与否成立，依题意精确画出图形是核心 注：构造直径上90圆周角，是解与圆有关问题常用辅助线，这样就为勾股定理运用、相似三角形鉴定发明了条件【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF交点为P 求证：（1）；(2) 思路点拨 解本例核心在于运用与圆有关角，能发现多对相似三角形(1) 证明QDEACF；(2)易证，通过其她三角形相似并结合(1)把非常规问题证明转化为常规问题证明注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含圆，特别是能发现共圆四点，就能运用圆丰富性质为解题服务，拟定四点共圆重要措施有： (1)运用圆定义鉴定；(2)运用圆内接四边形性质逆命题鉴定学历训练1一条弦把圆提成2：3两某些，那么这条弦所对圆周角度数为 2如图，AB是O直径，C、D、E都是O上一点，则1+2= 3如图，AB是O直径，弦CDAB，F是CG中点，延长AF交O于E，CF=2，AF=3，则EF长为 4如图，已知ABC内接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，设O半径为，AB长为，用代数式体现，= 5如图，ABCD是O内接四边形，延长BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于( )A120 B136 C144 D1506如图，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160，则BOC等于( ) A20 B30 C40 D507如图，BC为半圆O直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，则D度数为( ) A60 B 120 C 135 D150 8如图，O直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重叠)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP延长线上，PD与AB交于点F给出下列四个结论：CH2=AHBH；AD=AC；AD2=DFDP； EPC=APD，其中对旳个数是( ) A1 B2 C3 D4 9如图，已知B正是ABC外接圆O直径，CD是ABC高 (1)求证：ACBC=BECD；(2) 已知CD=6，AD=3，BD=8，求O直径BE长 10如图，已知AD是ABC外角EAC平分线，交BC延长线于点D，延长DA交ABC外接圆于点F，连结FB，FC (1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FAFD；(3)若AB是ABC外接圆直径，EAC=120，BC=6cm，求AD长 11如图，B、C是线段AD两个三等分点，P是以BC为直径圆周上任意一点(B、C点除外)，则tanAPBtanCPD= 12如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=，则四边形ABCD面积为 13如图，圆内接四边形ABCD中，A60，B90，AD=3，CD=2，则BC= 14如图，AB是半圆直径，D是AC中点，B=40，则A等于( ) A60 B50 C80 D70 15如图，已知ABCD是一种以AD为直径圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们相交于P，若APD=60，则O面积为( ) A25 B16 C15 D13 (绍兴市竞赛题)16如图，AD是RtABC斜边BC上高，AB=AC，过A、D两点圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与GDE相似三角形个数为( ) A5 B4 C3 D217如图，已知四边形ABCD外接圆O半径为2，对角线AC与BD交点为E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四边形ABCD面积 18如图，已知ABCD为O内接四边形，E是BD上一点，且有BAE=DAC 求证：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADB CACBD19如图，已知P是O直径AB延长线上一点，直线PCD交O于C、D两点，弦DFAB于点H，CF交AB于点E (1)求证：PAPB=POPE；(2)若DECF，P=15，O半径为2，求弦CF长 20如图，ABC内接于O，BC=4，SABC=，B为锐角，且有关方程有两个相等实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重叠)，DE平分ADC，交O于点E，交AC于点F (1)求B度数； (2)求CE长； (3)求证：DA、DC长是方程两个实数根 参照答案