2022年乐清市初中数学竞赛试题及答案.doc

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乐清市初中数学竞赛试题及答案
注：本卷共四页，共14题，满分120分；考试时间：8:30～10:30
题号
1～5
6～10
11
12
13
14
总分
得分

评卷人

一、选用题(共5小题，每题6分，满分30分)
1、设M＝ b，其中a、b为相邻两个整数，c＝ab，则M( )
(A) 必为偶数 (B) 必为奇数
(C) 必为无理数 (D) 以上三种均有也许
2、等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P为BC上一点，且PA＝4，则PB·PC值等于( )
(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25
3、若x－1＝2(y＋1)＝3(z＋2)，则x2＋y2＋z2可获得最小值为( )
(A) 6 (B) (C) (D)
4、已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB，BC中
点，AF分别交DE，DB于G，H两点，则四边形BEGH
面积是( )
(A) (B) (C) (D)
5、如图，边长为12正三角形ABC内接于圆，弦DE∥BC分别交AB，AC于F，G，若AF长x，DF长y都是正整数，则y值为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
二、填空题(共5小题，每题6分，满分30分)
6、己知方程x2－x－1＝0根是方程x６－px２＋q＝0根，则p＝________，q＝________.
7、已知：如图，凸五边形ABCDE中，S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝1，则S五边形ABCDE＝__________.
8、如图，把10个两两互不相等正整数，a1a2…a10写成下图表形式，其中两个箭头所指数等于这两个箭头始点两个数和，例如 体现a2＝a1＋a5，那么，
满足该图表a4最小也许值为___________.
9、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝mx＋n图象交点为(-1，2)，(2,5)，且二次函数最小值为1，则这个二次函数解析式为_________________________.
10、将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到持续排列八个数，它们和不不不小于A，则A最大值等于_____________.
三、解答题(共4题，每题15分，满分60分)
11、已知正实数a、b、c满足方程组
a＋b2＋2ac＝29
b＋c2＋2ab＝18
c＋a2＋2bc＝25
求a＋b＋c值
12、设计一套邮票，设计规定如下：该套邮票由四种不同面值邮票构成，面值数为正整数，并且对于持续整数1，2…，R中任一面值数，都可以通过恰当选用面值互相不同且不超过三枚邮票实现。试求出R最大值，并给出一种相应设计.

13、已知：如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A圆分别交AB，AC于点P和Q，交BC于点D和E，若BP＋CQ＝PQ，求∠DAE度数.

14、试求出所有满足下列条件正整数a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd－1是(a－1)·(b－1)·(c－1)·(d－1)整数倍.

乐清市初三数学竞赛
试题参照答案及评分原则
一、选用题(共5小题，每题6分，满分30分)
1
2
3
4
5
B
C
D
C
C
二、填空题(共5小题，每题6分，满分30分)
6、p＝8，q＝3 7、 8、20
9、y＝x2＋1或y＝(x2＋8x＋25) 10、164
三、解答题(共4题，每题15分，满分60分)
11、解：三式相加，得：
(a＋b＋c)＋(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝72 (5分)
∴ (a＋b＋c)2＋(a＋b＋c)－72＝0
∴ 〔(a＋b＋c)＋9〕〔(a＋b＋c)－8〕＝0 (5分)
∵ a，b，c都是正实数
∴ a＋b＋c＋9＞0
∴ a＋b＋c＝8 (5分)
12、解：从四种不同面值邮票中选用面值互不相似且不超过三张不同取法共有4＋6＋4＝14(种)。
不同取法所获得邮票总面值也许相似，也也许不同，至多只有14种不同总面值， ∴ R≤14 (5分)
又若设计四种邮票面值数分别为1，2，4，8。 (5分)
∵ 1＝1，2＝2，3＝1＋２，4＝4，5＝1＋4，6＝2＋４，7＝1＋2＋4，
8＝8，9＝1＋8，10＝2＋8，11＝1＋2＋8，12＝4＋8，13＝1＋4＋8，14＝2＋4＋8，∴ R≤14
从而R最大为14，上述四种面值数作为一套，即是符合题意设计。 (5分)
13、解： ∵ ∠CAB＝90° ∴ PQ是直径，PQ中点O是过点A圆圆心。连OE，PE，作PF⊥AB交BC于点F 　　∵AB＝AC 　　∴ ∠B＝45°　
∵ PF⊥AB 　 ∴ PF＝PB，PF∥CQ 　　
∵ BP＋CQ＝PQ 　　∴ FP＋CQ＝PQ＝2OE
∴ OE＝ (FP＋CQ) 　(5分)
若取梯形CQPF边CF中点M，连OM，则OM∥CQ∥PF，
OM＝ (（FP＋CQ) ∴ OE＝OM ∴ 点M即FC与·OO交点E (5分)
∴ OE∥CQ 又∵CQ⊥AB ∴ OE⊥AB ∴EA＝EP ∴∠EAP＝∠EPA
∵ ∠EAP＝∠EAD＋∠DAB ∠EPA＝∠B＋∠PEB
∴ ∠EAD＋∠DAB＝∠B＋∠PEB ∴ ∠DAB＝∠PEB
∴∠EAD＝∠B＝45° 　　 (5分)
14、解：设k＝ ，
则由题意，k为正整数 ∴ a、b、c、d都是奇数或都是偶数 (1分)
且1＜k＜
又易证：对于任意正整数m，n且m＞1，有 ＜ (1分)
∵ 1＜a＜b＜c＜d ∴ 当a≥5时，
∴ 即1＜k＜2
这是不也许 ∴1＜a≤4 (3分)
当a＝4时，则b、c、d都是偶数，从而k为奇数
∴ b≥6，c≥8，d≥10，k≥3 ∴
即3≤k＜3，这是不也许。
当a＝3时，则b、c、d都是奇数 ∴ b≥5，c≥7，d≥9
∴ ∴ k＝2
若b＝7，则k＝ 于是分子不是3倍数而分母是3倍数
从而k不是整数 ∴ b≠7
若b≥9 则由于c－1，d－1都不能是3倍数
∴ 这是不也许
∴ a＝3时，k＝2，b＝5　　 ∴ 2＝ ，cd-16c-16d+17=0
∴ (c－16)(d－16)＝239为质数 ∴ c－16＝1 d－16＝239
∴ a＝3，b＝5，c＝17，d＝255是符合题意一组值。 (5分)
当a＝2时，b、c、d为偶数，k为奇数 ∴
∴ k＝3 ∴ 2bcd－1＝3(b－1)·(c－1)·(d－1) ∴ bcd不是3倍数
若b≠4，则b≥8，c≥10，d≥14，于是 与k＝3矛盾 ∴ a＝2时，b＝4，k＝3 ∴ 3＝　
∴ (c－9)·(d－9)＝71为质数 ∴ c－9＝1，d－9＝71
∴ a＝2，b＝4，c＝10，d＝80是符合题意另一组值。 (5分)
综上所述，所有满足条件正整数a、b、c、d有两组：

意：没有推理过程，猜出一组给2分，猜出两组给5分。