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双曲线及其标准方程
编稿: 张林娟 责编: 孙永钊
【学习目标】
1．知识与技能:
从具体情境中抽象出双曲线的模型; 掌握双曲线的定义、 标准方程及几何图形; 能正确推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法:
学生亲自动手尝试画图、 发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、 图像和标准方程．
3．情感态度与价值观:
了解双曲线的实际背景, 感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用, 进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．
【要点梳理】
要点一: 双曲线的定义
把平面内到两定点、 的距离之差的绝对值等于常数( 大于零且小于) 的点的集合叫作双曲线．
定点、 叫双曲线的焦点, 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
要点诠释:
1． 双曲线的定义中, 常数应当满足的约束条件: 常数=, 这能够借助于三角形中边的相关性质”两边之差小于第三边”来理解;
2． 若常数分别满足以下约束条件, 则动点的轨迹各不相同:
若 常数=( 常数) , 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;
若 常数=( 常数) , 则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支．
若 常数=, 则动点轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线( 包括端点) ;
若 常数=, 则动点轨迹不存在;
若 常数=, 则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
要点二: 双曲线的标准方程
1． 双曲线的标准方程
当焦点在轴上时, , 其中;
当焦点在轴上时, , 其中

2． 标准方程的推导
如何建立双曲线的方程? 根据求曲线方程的一般步骤, 可分为4步: 建系、 设点、 列式、 化简．
( 1) 建系
取过焦点F1、 F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

( 2) 设点
设M(x, y)为双曲线上任意一点, 双曲线的焦距是2c(c＞0), 那么F1、 F2的坐标分别是(-c, 0)、 (c, 0)．
( 3) 列式
设点M与F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数2a．
由定义可知, 双曲线就是集合: P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．
∵
∴
(4)化简
将这个方程移项, 得

两边平方得:

化简得:

两边再平方, 整理得:
①
( 以上推导完全能够仿照椭圆方程的推导)
由于方程①形式较复杂, 继续化简．
由双曲线定义, 　 即, 因此．
令,
代入上式得: ,
两边同除以, 得:
即, 其中．
这就是焦点在轴的双曲线的标准方程．
要点诠释: 若在第( 1) 步中以”过焦点F1、 F2的直线为y轴, 线段F1F2的垂直平分线为x轴建立平面直角坐标系”, 就能够得到焦点在y轴的双曲线方程: , 其中．
3． 两种不同双曲线的相同点与不同点

定义
平面内到两定点、 的距离之差的绝对值等于常数( 大于零且小于) 的点的集合
不
同
点
图形

标准方程

焦点坐标
,
,
相
同
点
a、 b、 c的关系

焦点位置的判断
哪项为正, 项的未知数就是焦点所在的轴

要点诠释:
1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点, 对称轴是坐标轴, 双曲线的方程才是标准方程形式． 此时, 双曲线的焦点在坐标轴上．
2．双曲线标准方程中, a、 b、 c三个量的大小与坐标系无关, 是由双曲线本身所确定的, 分别表示双曲线的实半轴长、 虚半轴长和半焦距长, 均为正数, 且三个量的大小关系为: c＞a, c＞b, 且c2=b2+a2．
3．双曲线的焦点总在实轴上, 因此已知标准方程, 判断焦点位置的方法是: 看x2、 y2的系数, 如果x2项的系数是正的, 那么焦点在x轴上; 如果y2项的系数是正的, 那么焦点在y轴上．
4．对于双曲线, a不一定大于b, 因此不能像椭圆那样经过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．

要点三: 椭圆、 双曲线的区别和联系
1． 椭圆、 双曲线的标准方程对照表:

椭圆
双曲线
图象

定义
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据||MF1|－|MF2||=2a
a、 b、 c关系
a2－c2=b2( a最大)
( a＞c＞0, b＞0)
c2－a2=b2( c最大)
( 0＜a＜c, b＞0)
标准方程
, ( 焦点在x轴)
, ( 焦点在y轴)
其中a＞b＞0
, ( 焦点在x轴)
, ( 焦点在y轴)
其中a＞0, b＞0, a不一定大于b)
标准方程的
统一形式

( 当时, 表示椭圆; 当时, 表示双曲线)

2． 方程Ax2+By2=C( A、 B、 C均不为零) 表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为, 即,
因此只有A、 B异号, 方程表示双曲线．
当时, 双曲线的焦点在x轴上;
当时, 双曲线的焦点在y轴上．

要点四: 求双曲线的标准方程
①待定系数法: 由题目条件确定焦点的位置, 从而确定方程的类型, 设出标准方程, 再由条件确定方程中的参数、 、 的值． 其主要步骤是”先定型, 再定量”;
②定义法: 由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形, 然后再根据定义确定方程．
要点诠释: 若定义中”差的绝对值”中的绝对值去掉, 点的集合成为双曲线的一支, 先确定方程类型, 再确定参数a、 b, 即先定型, 再定量． 若两种类型都有可能, 则需分类讨论．

【典型例题】
类型一: 双曲线的定义
例1．已知点F1(－4, 0)和F2(4, 0), 曲线上的动点P到F1、 F2距离之差为6, 则曲线方程为(　　)
A．
B．＝1(y>0)
C． 或
D． (x>0)
【答案】　D
【解析】　由双曲线的定义知, 点P的轨迹是以F1、 F2为焦点, 实轴长为6的双曲线的右支, 其方程为: (x>0)
【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点: 一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数, 二是这个常数要小于, 若不满足这些条件, 则其轨迹不是双曲线, 而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．
举一反三:
【变式1】已知定点F1(－2, 0)、 F2(2, 0), 平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|=±3 B．|PF1|－|PF2|=±4
C．|PF1|－|PF2|=±5 D．|PF1|2－|PF2|2=±4
【答案】A
【变式2】已知点F1(0, －13)、 F2(0, 13), 动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26, 则动点P的轨迹方程为( )
A．y=0 B．y=0( x≤－13或x≥13)
C．x=0( |y|≥13) D．以上都不对
【答案】C
【变式3】动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切, 则动圆圆心的轨迹为(　　)
A．双曲线的一支
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
【答案】A
例2． 已知P是双曲线上一点, 双曲线的两个焦点, 且求值
【解析】利用双曲线的定义求解．
【答案】在双曲线中, 故．
由P是双曲线上一点, 得．
∴或
又得
【总结升华】本题容易忽略这一条件, 而得出错误的结论或
举一反三:
【变式1】双曲线的两个焦点为, 点在双曲线上, 若, 求的面积．
【答案】16
【解析】中, a2=9, b2=16, c2=9+16=25, 因此a=3, b=4, c=5．
设, , 由题意可知,

因此,
因为是直角三角形, 因此．
【变式2】过双曲线的左焦点与左支相交的弦的长为, 另一焦点, 求的周长．
【解析】∵, 且,
∴
∴的周长为: ．
【变式3】已知点P(x, y)的坐标满足, 则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对
【答案】B

类型二: 双曲线的标准方程
例3．判断下列方程是否表示双曲线, 若是, 求出 a, b, c．
; ; ;
; ; ．
【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式, 若不能, 则不能表示双曲线; 反之, 找出相应的a2, b2, 再利用c2= a2+b2得到c的值．
【解析】( 1) 能．
该双曲线焦点在x轴上, =4, =2, =6, 因此a=2, b=, c=．
( 2) 能．
双曲线可化为: , 它的焦点在x轴上, =9, =4, =13． 因此a=3, b=2, c=．
( 3) 能．
双曲线可化为: , 它的焦点在x轴上, =, =, =4, 因此a=, b=, c=2．
( 4) 能． 该方程表示到定点( -5, 0) 和( 5, 0) 的距离为8, 由于8<10, 因此表示双曲线, 其中a=4, c=5, 则=9, 因此b=3．．
( 6) 不能表示双曲线, 这是椭圆的方程．
( 7) 不能表示双曲线, 该曲线不存在．
【总结升华】化双曲线为标准方程的步骤为:
( 1) 常数化为1:
两边同除以, 将双曲线化为 ;
( 2) 分子上的系数化为1:
利用, 将双曲线化为 ;
( 3) 注意符号:
若双曲线的焦点在x轴, 则将双曲线化为 ;
若双曲线的焦点在y轴, 则将双曲线化为 ．
举一反三:
【变式1】双曲线方程为x2－2y2＝1, 则它的右焦点坐标为(　　)
A．(, 0)　　　　　　　　　　 B．(, 0)
C．(, 0) D．(, 0)
【答案】C
【解析】将双曲线方程化为标准方程为,
∴a2＝1, b2＝, ∴=,
故右焦点的坐标为(, 0)．
【变式2】若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦距为6, 则k＝______．
【答案】
【解析】
当k>0时, 双曲线的标准方程为, 此时, 解得k=1;
当k<0时, 双曲线的标准方程为, 此时, 解得k＝－1．
因此k的值为．

例4．已知双曲线的两个焦点F1、 F2之间的距离为26, 双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24, 求双曲线的标准方程．
【解析】由题意得2a=24, 2c=26．
∴a=12, c=13, b2=132－122=25．
当双曲线的焦点在x轴上时, 双曲线的方程为;
当双曲线的焦点在y轴上时, 双曲线的方程为．
【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a2、 b2的值, 同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴, 不像椭圆那样看x2、 y2的分母的大小, 而是看x2、 y2的系数的正负．
举一反三:
【高清课堂: 双曲线的方程 357256 例1】

【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程:
( 1) 已知两焦点, 双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．
( 2) 双曲线的一个焦点坐标为, 经过点．
【答案】( 1) ; ( 2) ．
【变式2】求与双曲线有公共焦点, 且过点的双曲线的标准方程．
【答案】
【解析】
解法一: 依题意设双曲线方程为－=1
由已知得,
又双曲线过点, ∴
∴
故所求双曲线的方程为．
解法二: 依题意设双曲线方程为,
将点代入, 解得,
因此双曲线方程为．
类型三: 双曲线与椭圆
例5．讨论表示何种圆锥曲线, 它们有何共同特征．
【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x, y的二次形式, 故只可能表示椭圆或双曲线．对于:
当时, 方程表示椭圆; 当时, 方程表示双曲线．
【解析】(1)当k<9时, 25－k>0, 9－k>0, 所给方程表示椭圆,
由于25－k>9－k, c2＝a2－b2＝16, 因此这些椭圆的焦点都在x轴上, 且焦点坐标都为( -4, 0) 和( 4, 0) ．
(2)当90, 9－k<0,
所给方程表示双曲线, 其标准方程为．
此时, a2＝25－k, b2＝k－9, c2＝a2＋b2＝16, 这些双曲线也有共同的焦点(－4, 0), (4, 0)．
(3)当k>25时, 所给方程没有轨迹．
【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系, 注意它们各自定义在方程中的区别, 它们a, b, c的关系区别．
举一反三:
【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点, 且与椭圆相交, 在第一象限的交点为A, 且A的纵坐标为4, 求双曲线的方程．
【答案】
【变式2】若双曲线(M>0, n>0)和椭圆(a>b>0)有相同的焦点F1, F2, M为两曲线的交点, 则|MF1|·|MF2|等于________．
【答案】　a－M
【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得
|MF1|－|MF2|＝ ①
|MF1|＋|MF2|＝ ②
②2－①2得, 4|MF1|·|MF2|＝4a－4M,
∴|MF1|·|MF2|＝a－M．
类型四: 双曲线方程的综合应用
【高清课堂: 双曲线的方程 357256例2】
例7． 已知A, B两地相距 M, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s, 且已知当时的声速是330 M/s, 求炮弹爆炸点所在的曲线方程．
【解析】由题知爆炸点P应满足,
又因此点P在以AB为焦点的双曲线的靠近于B点的那一支上．
以直线AB为x轴, 线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
得
∴
∴点P所在曲线的方程是
【总结升华】应用问题, 应由题干抽象出数学问题即数学模型, 在解决数学问题之后, 再回归到实际应用中．
举一反三:
【变式】设声速为 米/秒, 在相距10a米的A, B两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒, 且记录B处的声强是A处声强的4倍, 若已知声速 米/秒, 声强与距离的平方成反比, 试确定爆炸点P到AB中点M的距离．
【答案】米