2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答统计的思想方法.doc

第十五讲 记录思想措施
20世纪90年代，美国麻省理工学院专家尼葛洛庞帝写过一本畅销全球《数字化生存》一书．事实上，我们生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人基本规定．
记录学是一门研究如何收集、整顿、分析数据，并在此基本上作出推断科学．
随机抽样与记录推断是记录中最重要思想措施，也是结识客观世界事物和现象措施之一．即用样本某种特性去估计总体相应特性，用样本平均水平、波动状况、分布规律等特性估计总体平均水平、波动状况和分布规律．
【例题求解】
【例1】 既有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参与一次测验．每名参与者可获得0，12，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同分值中一种．测试成果A班成绩如下表所示，B班成绩如图所示．
(1)由观测所得， 班原则差较大；
(2)若两班合计共有60人及格，问参与者至少获 分才可以及格．
A班
分数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数
1
3
5
7
6
8
6
4
3
2

思路点拨 对于(2)，数一数两班在某一分数以上人数即可，凭直觉与估计得出答案．

注： 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势特性数，但是它们描述集中趋势侧重点是不同：
(1)平均数易受数据中少数异常值影响，有时难以真正反映“平均”；
(2)若一组数据有数据多次反复浮现，则常用众数来刻画这组数据集中趋势．

【例2】 已知数据、、平均数为，、、平均数为，则数据、、平均数为( )
A．2a+3b B． C．6a+9b D．2a+b

思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据平均数．

【例3】 某班同窗参与环保知识竞赛．将学生成绩(得分取整数)进行整顿后提成五组，绘成频率分布直方图(如图)．图中从左到右各小组小长方形高比是1：3：6：4：2，最右边—组频数是6．结合直方图提供信息，解答下列问题：
(1)该班共有多少名同窗参赛?
(2)成绩落在哪组数据范畴内人数最多，是多少?
(3)求成绩在60分以上(不含60分)学生占全班参赛人数百分率．

思路点拨 读图、读懂图，从图中获取频率、组距等有关信息．

【例4】 为估计，一次性木质筷子用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0
(1)通过对样本计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；
(2)又刘该县一次性木质筷子用量以同样方式作了抽样调查，调查成果是l0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县、这两年一次性木质筷子用量平均每年增长百分率(该县饭店数、全年营业天数均与1999年相似)；
(3)在(2)条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3，求该县使用一次性筷子木材可以生产多少套学生桌椅．计算中需用有关数据为：
每盒筷子100双，每双筷子质量为5克，所用木材密度为0.5×103 公斤／米3；
(4)如果让你记录你所在省一年使用一次性筷子所消耗木材量，如何运用记录知识去做，简要地用文字表述出来．
思路点拨 用样本平均水平去估计总体平均水平．

注：（1）运用数学知识解决实际问题过程是：从实际问题中获取必要信息——分析解决有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题．
（2）通过图表获取数据信息，收集、整顿分析数据，再运用记录量意义去分析，这是用记录思想措施解决问题基本方式．
思路点拨
【例5】 编号为1到2525个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移到篮子B中，这时篮子A中弹珠号码数平均数等于原平均数加，B中弹珠号码数平均数也等于原平均数加，问本来在篮子A中有多少个弹珠?

思路点拨 用字母分别体现篮子A、B弹珠数及相应平均数，运用方程、方程组等知识求解．

学历训练
1．某校初二年级全体320名学生在电脑培训先后各参与了一次水平相似考试，考分都以同一原则划提成“不合格”、“合格先进”三个级别．为了理解电脑培训效果，用抽签方式得到其中32名学生两次考试考分级别，所绘制记录图如图所示．试结合图示信息回答问题：
(1)这32名学生培训前考分中位数所在级别是 ，培训后考分中位数所在级别是 ．
(2)这32名学生通过培训，考分级别“不合格”比例由 下降到 ．
(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分级别为“合格”与“先进”学生共有 名．
(4)你觉得上述估计合理吗?理由是什么?
答： ，理由 ．

2．某商店3、4月份发售同一品牌多种规格空调销售台数如下表：
根据表中数据回答：
(1)商店平均每月销售空调 (台)；
(2)商店发售多种规格空调中，众数是 (匹)；
(3)在研究6月份进货时，商店经理决定 (匹)空调要多进； (匹)空调要少进．

3．为了理解某中学初三年级250名学生升学考试数学成绩，从中抽取了50名学生数学成绩进行分析，求得．下面是50名学生数学成绩频率分布表：
分 组
频数合计
频数
频率
60．5～70．5
正
3

70．5～80．5
正正
6
0．12
80．5～90．5
正正
9
0．18
90．5～100．5
正正正正
17
0．34
100．5～110．5
正正

0．2
110．5～120．5
正
5
0．1
合 计

50
1
根据题中给出条件回答问题：
(1)在这次抽样分析过程中，样本是 ；
(2)频率分布表中数据= ，= ；
(3)估计该校初三年级这次升学考试数学平均成绩约为 分；
(4)耷这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90．5～100．5范畴内人数约为 人．

4．小明测得一周体温并登记在下表（单位：℃）
星期
日
一
二
三
四
五
六
周平均体温
体温
36.6
36.7
37.0
37.3

36.9
37.1
36.9
其中星期四体温被墨迹污染，根据表中数据，可得此日体温是( )
A．36．?℃ B．36．8℃ C．36．9℃ D．37．0℃

5．甲、乙两班举办电脑中文输入速度比赛，参与学生每分钟输入中文个数经记录计算后填入下表：
班级
参与人数
中位数
方差
平均字数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同窗根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相似；②乙班先进人数多于甲班先进人数(每分钟输入中文数≥150个为先进)；③甲班成绩波动状况比乙班成绩波动大，上述结论对旳是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
6．今年春季，国内某些地区SARS流行，党和政府采用坚决措施，防治结合，不久使病情得到控制．下图是某同窗记载5月1日至30日每天SARS新增确诊病例数据图，将图中记载数据每5天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，下列说法：①第一组平均数最大，第六组平均数最小；②第二组中位数为138；③第四组众数为28；其中对旳有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．某风景区对5个旅游景点门票价格进行了调节，据记录，调价先后各景点游客人数基本不变．有关数据如下表所示：

（1）该风景区称调节先后这5个景点门票平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是如何计算？
（2）另一方面，游客觉得调节收费后风景区平均日总收入相对于调价前，事实上增长了约9.4%．问游客是如何计算？
（3）你觉得风景区和游客哪一种说法较能反映整体实际？

8．甲、乙两人在相似条件下各射靶10次，每次射靶成绩状况如图所示．

（1）请填写下表:

平均数
方差
中位数
命中9环以上次数
甲
7
1．2

1
乙

5．4

（2）请从下列四个不同角度对这次测试成果进行分析.
①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁成绩好些）；
③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁成绩好些）；
④从折线图上两人射击命中环数走势看（分析谁更有潜力）．

9．明湖区一中对初二年级女生仰卧起坐测试成绩进行记录分析，将数据整顿后，画出如下频率分布直方图，已知图中从左到右第一、第二、第三、第四、第六小组频率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小组频数是36，根据所给图填空：
(1)第五小组频率是 ，请补全这个频率分布图；
(2)参与这次测试女生人数是 ；若次数在24(含24次)以上为达标(此原则为中考 体育原则)，则该校初二年级女生达标率为 ．
(3)请你用记录知识，以中考体育原则对明湖区十二所中学初二女生仰卧起坐成绩达标率作一种估计 ．

10．国内于11月1日起进行了第五次人口普查登记工作，据第五次人口普查，国内每10万人中拥有多种受教导限度人数如下：具有大学限度为3611人；具有高中限度为11146人；具有初中限度为33961人；具有小学限度为35701人．
(1) 根据以上数据填写下表：
受教导限度
每10万人中所占比例(％)( 精确到0.01)
大学限度

高中限度

初中限度

小学限度

(2)如下各示意图中对旳是( )．(将对旳示意图数字代号填在括号内)

11．新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目，既有6个项目可供选用(每个项目或者被所有投资，或者不被投资)，各项目所需投资金额和预测年均收益如下表：
项目
A
B
C
D
E
F
投资(亿元)
5
2
6
4
6
8
收益(亿元)
0．55
0．4
0．6
0．4
0．9
l
如果规定所有投资项目收益总额不得低于1．6亿元，那么，当选用投资项目是 时，投资收益总额最大．

12．新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局记录信息；1月至2月共发生事故17万多起，各类事故发生状况具体记录如下：
事故类型
事故数量
死亡人数(单位：人)
死亡人数占各类事故总死亡人数比例
火灾事故(不含森林草原火灾)
54773
610

铁路路外伤亡事故
1962
1409

工矿公司伤亡事故
1417
1639

道路交通事故
115815
17290

合计
173967
20948

(1)请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数比例，填入上表(精确到0.01)；
(2)为了更清晰地体现出问题(1)中比例，请你完毕下面扇形记录图；
(3)请根据你所学记录知识提出问题(不需要作解答，也不要解释，但所提问题应是运用表中所提供数据能求解)．

13．将最小31个自然数提成A、B两组，10在A组中，如果把10从A组移到B组，则A组中各数算术平均数增长，B组中各数算术平均数也增长．问A组中原有多少个数?
14．某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对 (=0，1，2…15)道题人数一种记录，如果又知其中做对4道题和4道以上学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题如下学生每人平均做对4道题，问这个表至少记录了多少人?
n
0
1
2
3
…
12
13
14
15
做对n道题人数
7
8
10
2l
…
15
6
3
l

参照答案