2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答坐标平面上的直线.doc

第九讲 坐标平面上直线
一般地，若 (、是常数，)，则叫做一次函数，它图象是一条直线，函数解析式 式中系数符号，决定图象大体位置及单调性(随变化状况)。如图所示：

一次函数、二元一次方程、直线有着深刻联系，任意一种一次函数都可看作是有关、一种二元一次方程；任意一种有关、二元一次方程，可化为形如 ()函数形式。坐标平面上直线可以体现一次函数与二元一次方程，而运用方程和函数思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上直线交点坐标转化为解由函数解析式联立方程组。
【例题求解】
【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC顶点A(3，0)、B(2，7)，P为线段OC上一点，若过B、P两点直线为，过A、P两点直线为，且BP⊥AP，则= 。
思路点拨 解题核心是求出P点坐标，只需运用几何知识建立OP等式即可。

【例2】 设直线 (为自然数)与两坐标轴围成三角形面积为 (＝1，2，…)，则S1+S2+…+S值为( )
A．1 B． C． D．

思路点拨 求出直线与轴、轴交点坐标，从一般形式入手，把用含代数式体现。

【例3】 某空军加油飞机接到命令，及时给另一架正在飞行运送飞机进行空中加油．在加油过程中，设运送飞机油箱余油量为Q1吨，加油飞机加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为分钟，Q1、Q2与之间函数图象如图所示，结合图象回答问题：
(1)加油飞机加油油箱中装载了多少吨油?将这些油所有加给运送飞机需多少分钟?
(2)求加油过程中，运送飞机余油量Q1 (吨)与时间 (分钟)函数关系式；
(3)运送飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时达到目地，油料与否够用?阐明理由．
思路点拨 对于(3)，解题核心是先求出运送飞机每小时耗油量。

注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象也许是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了。
（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解有关综合题基本。
【例4】 如图，直线与轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P(，)，且△ABP面积与△A ABC面积相等，求值．
思路点拨 运用S△ABP＝S△ABC建立含方程，解题核心是把S△ABP体现到有边落在坐标轴上三角形面积和、差。

注：解函数图象与面积结合问题，核心是把有关三角形用边落在坐标轴其她三角形面 积来体现，这样面积与坐标就建立了联系．
【例5】 在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点正方形，设它在折线上侧某些面积为S，试求S有关函数关系式，并画出它们图象。

思路点拨 先画出符合题意图形，然后对不拟定折线及其中字母取值范畴进行分类讨论，取值决定了正方形在折线上侧某些图形形状。

注：我们把有自变量或有关自变量代数式涉及在绝对值符号在内一类函数称为绝对值函数．去掉绝对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值一般思路。
学历训练
1．一次函数自变量取值范畴是-3≤≤6，相应函数值取值范畴是-5≤≤-2，则这个函数解析式为 ．
2．已知，且，则有关自变量一次函数图象一定通过第 象限．
3．一家小型放影厅赚钱额(元)与售票数之间关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答问题：
(1)当售票数满足0<≤150时，赚钱额 (元)与之间函数关系式是 。
(2)当售票数满足150当售票数满足 时，放影厅要亏本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数应为
(4)当售票数满足 时，此时利润比＝150时多．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形两条边分别交于点E，F，设BP=，EF=，则能反映与之间关系图象是( )

5．下图象中，不也许是有关一次函数图象是( )

6．小李以每公斤0.8元价格从批发市场购进若干公斤西瓜到市场去销售，在销售了某些西瓜之后，余下每公斤降价0.4元，所有售完．销售金额与卖瓜公斤数之间关系如图所示，那么小李赚了( )
A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元

7．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接着逐渐衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量 (微克)随时间(小时)变化如图所示，当成人按规定剂量服用后。
(1)分别求出≤2和≥2时与之间函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效，那么这个有效时间是多长?

8．如图，正方形ABCD边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系O中，使AB在轴正半轴上，A点坐标是(1，0)
(1)通过C点直线与轴交于点E，求四边形AECD面积；
(2)若直线通过点E且将正方形ABCD提成面积相等两某些，求直线方程，并在坐标系中画出直线．
9．如图，已知点A与B坐标分别为(4，0)，(0，2)
(1)求直线AB解析式。
(2)过点C(2，0)直线(与轴不重叠)与△AOB另一边相交于点P，若截得三角形与△AOB相似，求点P坐标．
10．如图，直线与轴、y轴分别交于P、Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R坐标是 ．

11．在直角坐标系O中，轴上动点M（，0）到定点P(5，5)、Q(2，1)距离分别为MP和MQ，那么，当MP+MQ取最小值时，点M横坐标为 。

12．如图，在直角坐标系中矩形OABC顶点B坐标为(15，6)，直线正好将矩形OABC提成面积相等两某些，那么b＝ 。

13．如果—条直线通过不同三点A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直线通过( )象限。
A．二、四 B．—、三 C．二、三、四 D．一、三、四
14．一种一次函数图象与直线平行，与轴、轴交点分别为A、B，并且过点(一l，—25)，则在线段AB(波及端点A、B)上，横、纵坐标都是整数点有（ ）
A．4个 B．5个 C． 6个 D．7个

15．点A(一4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C是图象上动点，则满足上述条件直角△ABC可以画出( )
A． 1个 B． 2个 C．3个 D．4个
16．有—个附有进、出水管容器，每单位时间进、出水量都是一定，设从某时刻开始5分钟内只进不出水，在随后15分钟内既进水又出水，得届时间 (分)与水量(升)之间关系如下图．若20分钟后只出水不进水，求这时(即≥20)y与之间函数关系式。

17．如图，△AOB为正三角形，点B坐标为(2，0)，过点C(一2，0)作直线交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO面积相等，求直线函数解析式。

18．在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，当四边形ABCD周长最短时，求值．
19．转炉炼钢产生棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中氧化铁从而减少污染，该装置氧化铁回收率与其通过电流有关．现通过实验得到下列数据：
通过电流强度（单位A）
1
1.7
1.9
2.1
2.4
氧化铁回收率（%）
75
79
88
87
78
如图建立直角坐标系，用横坐标体现通过电流强度，纵坐标体现氧化铁回收率。
（1） 将实验所得数据在右图所给直角坐标系中用点体现（注：该图中坐标轴交点代表点（1，70）；
（2） 用线段将题（1）所画点从左到右顺次连接，若用此图象来模仿氧化铁回收率y有关通过电流x函数关系，试写出该函数在 1.7≤x≤2.4 时体现式；
（3） 运用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率不不不小于85%时，该装置通过电流应当控制范畴（精确到0.1A）。

20．如图，直线OC、BC函数关系式分别为和，动点P(x，0)在OB上移动(0<<3)，过点P作直线与轴垂直。
(1)求点C坐标；
(2)设△OBC中位于直线左侧某些面积为S，写出S与之间函数关系式；
(3)在直角坐标系中画出(2)中函数图象；
(4)当为什么值时，直线平分△OBC面积?
参照答案