2022年高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题).doc

一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类措施，则完毕这件事措施数等于各类措施数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完毕，则完毕这件事措施数等于各步措施数相乘。
　注：做一件事时，元素或位置容许反复使用，求措施数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素一种排列，所有排列个数记为。

四．解决排列组合应用题
1.①明确要完毕是一件什么事（审题）  ②有序还是无序   ③分步还是分类。
2．解排列、组合题基本方略
（1）两种思路：
     ①直接法：
     ②间接法：对有限制条件问题先从总体考虑，再把不符合条件所有状况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用解题措施。
分类解决：当问题总体不好解决时，常提成若干类，再由分类计数原理得出结论。
           注意：分类不反复不漏掉。即：每两类交集为空集，所有各类并集为全集。
（3）分步解决：与分类解决类似，某些问题总体不好解决时，常常提成若干步，再由分步计数原理解决。在解决排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件排列与组合逐个列举出来；
　(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
例1. 电视台持续播放6个广告，其中含4个不同商业广告和2个不同公益广告，规定首尾必要播放公
　　益广告，则共有          种不同播放方式（成果用数值体现）.  
解：分二步：首尾必要播放公益广告有种；中间4个为不同商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48．
例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
解一：间接法：即
解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

（3）相邻问题：捆邦法：
对于某些元素规定相邻排列问题，先将相邻接元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与别旳元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件元素，然后再将不相邻接元素在已排好元素之间及两端空隙之间插入。
（5）顺序一定，除法解决。先排后除或先定后插
解法一：对于某几种元素按一定顺序排列问题，可先把这几种元素与其她元素一同进行全排列，然后用总
       排列数除于这几种元素全排列数。即先全排，再除以定序元素全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素位置不参与排列，先对其她元素进行排列，剩余几种位置放定序元
       素，若定序元素规定从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不规定，则有2种排法；
例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将她们排成一行，规定从左到右，女生从矮到高排列，有多少
   种排法？
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法.剩余3个位置排女生，因规定“从矮到高”，
       只有1种排法，故共有·1=840种.
（6）“小团队”排列问题——采用先整体后局部方略
　　对于某些排列问题中某些元素规定构成“小团队”时，可先将“小团队”看作一种元素与别旳元素排  
    列，最后再进行“小团队”内部排列。
（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排问题，可归纳为一排考虑，再分段解决。
（8）数字问题（构成无反复数字整数）
①能被2整除数特性：末位数是偶数；不能被2整除数特性：末位数是奇数。
　②能被3整除数特性：各位数字之和是3倍数；
　③能被9整除数特性：各位数字之和是9倍数。
　④能被4整除数特性：末两位是4倍数。
　⑤能被5整除数特性：末位数是0或5。
　⑥能被25整除数特性：末两位数是25，50，75。
　⑦能被6整除数特性：各位数字之和是3倍数偶数。
4.组合应用题：
（1）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有
解析1：逆向思考，至少各一台背面就是分别只取一种型号，不取另一种型号电视机，故不同取法共有种.

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种状况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同取法有种.
（2）“含”与“不含” 用间接排除法或分类法:
2．从5名男生和4名女生中选出4人去参与辩论比赛
（1）如果4人中男生和女生各选2人，有几种选法；
（2）如果男生中甲与女生中乙必要在内，有几种选法；
（3）如果男生中甲与女生中乙至少要有 1人在内，有几种选法；
（4）如果4人中必要既有男生又有女生，有几种选法

5．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数阶乘。即除法解决。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合解决。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组组数阶乘。
6．分派问题：
定额分派：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分派：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数阶乘。
7．隔板法：不可辨别球即相似元素分组问题
五． 二项式定理

3.二项式定理应用
求二项展开式中任何一项，特别是常数项：变量指数为0、有理项：指数为整数；
证明整除或求余数；
运用赋值法证明某些组合恒等式；
近似计算。
4.二项式系数性质：

5．区别
（1）某一项二项式系数与系数
项系数与二项式系数是不同两个概念，但当二项式两个项系数都为1时，系数就是二项式系数。
展开式中系数就是二项式系数。
（2）二项式系数最大项与系数最大项
①二项式系数最大项是中间项
②系数最大项求法：设第k+1项系数最大，由不等式组求k。再求第k+1项值。
③系数绝对值最大项
二项展开式系数绝对值最大项求法，设第r+1项系数绝对值最大,则此项系数绝对值必不不不小于它左、右相邻两项系数绝对值，即由求r
注意：二项展开式中系数最大项及系数最小项求法:先求系数绝对值最大项第r+1项，然后再求第r+1项符号，若这一项系数符号为正，则它为展开式中系数最大项；若这一项系数符号为负，则它为展开式中系数最小项
（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。

注意：（1）二项展开式各项系数绝对值和相称于各项系数和。即令原式中x=-1即可。
　　  （2）审题时要注意区别所求是项还是第几项？求是系数还是二项式系数？
六．事件分类

七．对某一事件概率求法：

八.离散型随机变量
1.在射击、产品检查等例子中，对于随机变量X也许取值，我们可以按一定顺序一一列出，这样随机变量叫做离散型随机变量．
2.离散型随机变量分布列
　一般,设离散型随机变量X也许取值为
X取每一种值(i=1,2,）概率 ，
　则称表

为离散型随机变量X 概率分布，简称分布列
　性质：
            ③ 一般地，离散型随机变量在某一范畴内取值概率等于它取这个范畴内各个值概率之和。
　公式：盼望或平均数、均值 E(X)＝
             方差:
阐明（1）数学盼望一种特性数，它反映了离散型随机变量取值平均水平
　　  (2)算术平方根为随机变量X原则差，
        (3)随机变量方差与原则差都反映了随机变量取值稳定与波动，集中与分散限度。
       (4)性质：
4．二项分布：在n次独立反复实验中，一次实验中某事件A发生概率是p，某事件A发生次数为X，
　　则在n次独立反复实验中，这个事件正好发生k次概率为p(X=k)=
X分布列为

此时称ξ服从二项分布，记作X～B(n,p).
若X～B(n,p)，则 ,