1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 静矩和形心,第二节 惯性矩、极惯性矩和惯性积,第三节 平行移轴公式,第十章 平面图形的几何性质,平面图形的几何性质是影响构件承载能力的重要因素之一。如何确定平面图形的几何性质的量值，是本章讨论的内容。本章主要介绍了形心、静矩、惯性矩、惯性积等几何量，学习时要掌握其基本的概念和计算方法，同时要掌握平行移轴公式及其应用。,教学目的和要求,静矩和形心的概念和计算方法；,惯性矩、极惯性矩和惯性积的概念和计算方法；,平行移轴公式。,教学重点,组合图形的静矩和形心；,平行移轴公式的应用。,教学难点,一、静矩,面
2、积与它到轴的距离之积（用,S,表示）。,微面积,dA,对,Y,轴的静矩,微面积,dA,对,Z,轴的静矩,C,或,单位为,L,3,。,第一节 静矩和形心,d,A,y,z,z,y,形心,d,A,y,z,z,y,二、形心,平面图形的形心就是其,几何中心,。,C,形心与静矩的关系为,图形对某一轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某一轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零,。,例,10,-1,图中的曲线,OB,为一抛物线，其表达式为 。,试求该抛物线、直线,OA,和直线,AB,所围图形,OAB,的形心,C,坐标,和 。,。,解,取与,y,轴平行的窄条，宽为,dz,。故微面积,dA,=,ydz,，微面积
3、dA,的形心坐标为,z,和,y/2,，可求得图形,OAB,的形心坐标为,三、组合图形的静矩与形心,整个图形对某轴的静矩，等于组成,图形各部分对同轴静矩的代数和。,则,组合图形的形心公式为,例,10-2,求图示图形对水平形心轴,x,的形心。,解,该图形有一个对称轴，形心一定在对称轴,y,上，先建立参考坐标轴,x,1,、,、,y,，只需求出截面形心,C,距参考轴,x,1,的距离,y,c,，也就确定了该图形的形心的位置。,将该截面分解为两个矩形，各矩形截面的面积,A,1,和,A,2,，,及自身水平形心轴距参考轴,x,1,的距离,y,c1,和,y,c2,分别为,一、惯性矩、惯性半径,d,A,y,z,
4、z,y,r,图形对,y,轴的惯性矩,图形对,z,轴的惯性矩,单位为,L,4,。,第二节 惯性矩、极惯性矩和惯性积,惯性矩,面积与它到轴的距离的平方之积。,图形对,y,轴的惯性半径,图形对,z,轴的惯性半径,惯性半径,单位为,L,。,d,A,y,z,z,y,r,二、惯性积,如果,y,或,z,是对称轴，则,I,yz,=0,图形对,yz,轴的惯性积,单位为,L,4,。,极惯性矩,面积对极点的二次矩。,图形对,O,点的极惯性矩,单位为,L,4,。,惯性积,面积与其到两轴距离之积。,可正可负,例,10,-,3,求图示矩形对通过其形心且与边平行的,y,轴、,z,轴的惯性矩,I,y,、,I,z,和惯性积,I
5、yz,。,解 平行,y,轴取一窄长条，其面积为,dA,=,hdz,，则,同理可得,由于圆形对任意直径轴都是对称的，故,I,x,=,I,y,注意到,I,=,I,x,+I,y,，,得到,例,10-4,求图示直径为,d,的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩,I,x,、,I,y,及对圆心的极惯性矩,I,和惯性积,I,xy,。,d,C,x,y,d,r,r,解,首先求对圆心的极惯性矩。,在离圆心,O,为,r,处作宽度为,d,r,的薄圆环，其面积,dA,=2,pr,d,r,，则,由于轴,X,、,Y,是圆形的对称轴,O,z,y,C,dA,z,0,y,0,a,b,y,x,z,0,y,0,第三节 平行移轴公式,公式
6、推导,平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上平面图形的面积与二轴间距离平方的乘积。,平面图形对任何二互相垂直轴的惯性积，等于平面图形对平行于该二轴的形心轴的惯性积与图形面积乘以两对平行轴间距离的乘积之和。,20cm,3,17,3,例,10-5,T,字形截面,求其对形心轴的惯性矩。,解,(1),求形心,z,y,C,任选参考坐标系,如,I,II,而,y,1,(2),求,20cm,3,17,3,z,y,C,I,II,本章小结,本章给出了平面图形的几何性质的定义和计算公式，它对于研究杆件的强度、刚度都有重要的意义。,1.,微面积,dA,对某轴的静矩等于,dA,与该面积形心至该轴距离的乘积。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。计算公式为,2.,形心的,计算公式为,本章小结,3,微面积,dA,对某轴的惯性矩等于,dA,与该面积形心至该轴距离平方的乘积。惯性矩恒为正。计算公式为,4.,微面积的惯性积等于,dA,与该面积形心至两轴距离的乘积。惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零。计算公式为,本章小结,5.,平行移轴公,式主要用于求由简单图形组合的复杂图形的几何性质，注意平行移轴的二轴是相互平行的，并有一轴为形心轴，两轴的距离,a,、,b,有正有负，随取坐标位置而定。计算公式为,谢谢大家！,
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