2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答避免漏解的奥秘.doc

第二十八讲 避免漏解奥秘
“会而不对，对而不全”，这是许多同窗在解题时无法避免而又屡犯不止错误，提高解题周密性，避免漏解奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．
分类讨论就是按照一定原则，把研究对象提成几种某些或几种状况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论思想措施，其实质是化整为零、各个击破转化方略．
解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题涉及因素发生变化，问题成果也相应发生变化，我们就需要对这一核心因素分类讨论，如何进行对旳分类?分类基本规定是不反复、不漏掉，每次分类必要保持同一分类原则，多级讨论，逐级进行．
【例题求解】
【例1】 四条线段长分别为9，51(其中为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中两条线段(如图)，则可取值个数为 ．

思路点拨 AB是四条线段中最长，故AB=9或AB=，又CD长不定，因此应就AB、CD取值作全面讨论．

注：初中数学常用分类措施有：
(1)按定义、性质、法则、公式分类；
(2)对参数分类；
(3)按图形位置分类；
(4)按图形特性分类；
(5)按余数分类．
注：参数是较为常用分类对象，由于参数不同取值，也许导致不同运算成果，或者必要使用不同措施去解决，这一分类措施在方程、不等式、函数中有广泛应用．
【例2】 方程所有整数解个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5

思路点拨 这是一种特殊幂指数方程问题，根据幂指数意义，可将原问题提成三个并列简朴问题求解：(1)非零实数零次幂等于1；(2)1任何次幂等于1；(3)偶次幂等于1．

【例3】 试拟定一切有理数，使得有关方程有根且只有整数根．

思路点拨 根据方程定义，与否为零影响方程次数，这是质不同，解法也不同，因此，应对r=0及≠0两种状况分类求解．

【例4】 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边长为10，∠B和∠C都为锐角，M为AB边上一动点(M与点A、B不重叠)．过点M作MN∥BC，交AC于点N．设MN=．
(1)用体现△AMN面积S△AMN；
(2)用△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在平面内)，设点A落在平面BCNM内点为A′，△A′MN与四边形BCNM重叠某些面积为．①试求出有关函数关系式，并写出自变量取值范畴；②当为什么值时重叠某些面积最大，最大为多少?

思路点拨 折叠△AMN，A点位置不拟定，也许在△ABC内或在BC边上或在△ABC外，故需按以上三种状况分别求出有关函数关系式，进而求出最大值．

注：有关平面几何问题，常常按图形互相之间位置进行分类，由于图形存在不同位置关系，其解答成果也许不同，也也许需要使用不同措施解决，初中平面几何按位置关系分类，最后一般都归结为点、直线和圆之间位置关系．
【例5】 已知⊙Ol与⊙O2外切，⊙Ol半径R=2，设⊙O2半径是r．
(1)如果⊙Ol与⊙O2圆心距d=4，求r值；
(2)如果⊙Ol、⊙O2公切线中有两条互相垂直，并且r≤R，求r值．

思路点拨 题中没有给出图形，题设中外切两圆公切线中有两条互相垂直，状况不惟一，故应分类讨论．

注：中考压轴题分类讨论有如下常用情形：
(1)由点不拟定定引起分类讨论；
(2)由图形全等或相似相应关系不拟定性引起分类讨论；
(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起分类讨论．

学力训练
1．已知m为实数，如果函数图象与轴只有一种交点，那么m取值为 ．
2．若实数、满足，，则值为 ．
3．若半径为5和4两个圆相交，且公共弦长为6，则它们圆心距等于 ．
4．已知⊙O和不在⊙O上一点P，过P直线交⊙O于A、B点，若PA·PB=4，OP=5，则⊙O半径为 ．
5．和抛物线只有一种公共点(-1，-1)直线解析式为( )
A． B． C．或 D．
6．若线段AB两端点到直线距离分别为4和8，则AB中点到直线距离是( )
A．2 B．4 C．6 D．2或6
7．点A(-4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C是图象上动点，则满足上述条件直角△ABC可以画出( )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
8．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上点P使得以P、A、D为顶点三角形和以P、B、C为顶点三角形相似，那么这样P点有( )
A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个

9．已知有关方程．
(1)求证：无论是取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC一边长，另两边长为、正好是这个方程两个根，求此三角形周长．

10．已知：如图，抛物线C1通过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴另一种交点为E．
（1）求抛物线C1解析式；
（2）求四边形ABCD面积；
（3）△AOB与△BDE与否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请阐明理由；
（4）设抛物线C1对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2通过点E（抛物线C2与抛物线C1不重叠），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点三角形与以D，E，F为顶点三角形全等，求a，b值（只需写出成果，不必写出解答过程）

11．以O为圆心两个同心圆半径分别为9cm和5cm，⊙O′与这两个圆都相切，则⊙O′半径是 ．
12．在△ABC中，AB=AC，AB中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角B大小为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作圆与斜边AB只有一种公共点，则R取值范畴是 ．

14．已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M为圆心，MC为半径作圆，那么当m= 时，⊙M与直线AB相切．
15．有关方程有有理根，求整数是值．

16．华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；
(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
(3)若一次购物超过500元，其中500元某些予以九折优惠，超过500元某些予以八折优惠．
小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元，目前小亮决定一次去购买小明分两次购买同样多物品，她需付款多少?

17．如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重叠)，Q点在BC上．
(1)当△PQC面积与四边形PABQ面积相等时，求CP长；
(2)当△PQC周长与四边形PABQ周长相等时，求CP长；
(3)试问：在AB上与否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要阐明理由；若存在，祈求出PQ长．

18．已知有关方程(q≥0)两个实数根为，且≤．
(1)试用品有，代数式体现和；
(2)求证：≤1≤
(3)若以，为坐标点M(，)在△ABC三条边上运动，且△ABC顶点坐标分别为A(1，2)，B(，1)，C(1，1)，问与否存在点M使+=，若存在，求出点M坐标；若不存在，请阐明理由．

19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图甲一条折线体现；西红柿种植成本与上市时间关系用图乙体现抛物线段体现．
(1)写出图甲体现市场售价与时间函数关系；写出图乙体现种植成本与时间函数关系式．
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本单位：元／102㎏，时间单位：天)

参照答案