2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc

全国初中数学联合竞赛试题参照答案
第一试
一、选用题：（本题满分42分，每题7分）
1．已知，，，那么大小关系是 （ C ）
A. B. C. D.
2．方程整数解组数为 （ B ）
A．3. B．4. C．5. D．6.
3．已知正方形ABCD边长为1，E为BC边延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG长为 （ D ）
A． B． C． D．
4．已知实数满足，则最小值为 （ B ）
A．. B．0. C．1. D．.
5．若方程两个不相等实数根满足，则实数所有也许值之和为 （ B ）
A．0. B．. C． D．.
6．由1，2，3，4这四个数字构成四位数（数字可反复使用），规定满足.这样四位数共有 （ C ）
A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.
二、填空题：（本题满分28分，每题7分）
1．已知互不相等实数满足，则．
2．使得是完全平方数整数个数为 1 ．
3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．
4．已知实数满足，，，则＝．
第二试 （A）
一、（本题满分20分）已知直角三角形边长均为整数，周长为30，求它外接圆面积.
解 设直角三角形三边长分别为（），则.
显然，三角形外接圆直径即为斜边长，下面先求值.
由及得，因此.
由及得，因此.
又由于为整数，因此.
根据勾股定理可得，把代入，化简得，因此
，
由于均为整数且，因此只也许是解得
因此，直角三角形斜边长，三角形外接圆面积为.
二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，AD⊥OP于点D.证明：.

证明：连接OA，OB，OC.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.
又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，
∴，∴.
三．（本题满分25分）已知抛物线顶点为P，与轴正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC外接圆切线.设M，若AM//BC，求抛物线解析式.
解 易求得点P，点C.
设△ABC外接圆圆心为D，则点P和点D都在线段AB垂直平分线上，设点D坐标为.
显然，是一元二次方程两根，因此，，又AB中点E坐标为，因此AE＝.
由于PA为⊙D切线，因此PA⊥AD，又AE⊥PD，因此由射影定理可得，即，又易知，因此可得.
又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.
又由于AM//BC，因此，即.
把代入解得（另一解舍去）.
因而，抛物线解析式为.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）已知直角三角形边长均为整数，周长为60，求它外接圆面积.
解 设直角三角形三边长分别为（），则.
显然，三角形外接圆直径即为斜边长，下面先求值.
由及得，因此.
由及得，因此.
又由于为整数，因此.
根据勾股定理可得，把代入，化简得，因此
，
由于均为整数且，因此只也许是或
解得或
当时，，三角形外接圆面积为；
当时，，三角形外接圆面积为.
二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，AD⊥OP于点D，△ADC外接圆与BC另一种交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.
证明：连接OA，OB，OC，BD.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得
，.
又由切割线定理可得，
∴，∴D、B、C、O四点共圆，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，
∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴，
∴，∴.
又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC外接圆切线，∴∠BAE＝∠ACB.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相似.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相似.
二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相似.
三．（本题满分25分）已知抛物线顶点为P，与轴正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC外接圆切线.将抛物线向左平移个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线解析式.
解 抛物线方程即，因此点P，点C.
设△ABC外接圆圆心为D，则点P和点D都在线段AB垂直平分线上，设点D坐标为.
显然，是一元二次方程两根，因此，，又AB中点E坐标为，因此AE＝.
由于PA为⊙D切线，因此PA⊥AD，又AE⊥PD，因此由射影定理可得，即，又易知，因此可得.
又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.
将抛物线向左平移个单位后，得到新抛物线为
.
易求得两抛物线交点为Q.
由∠QBO＝∠OBC可得∠QBO＝∠OBC.
作QN⊥AB，垂足为N，则N，又，因此
∠QBO＝＝
.
又∠OBC＝，因此
.
解得（另一解，舍去）.
因而，抛物线解析式为.