小学奥数数论讲义1数列专题讲义适合二到六年级.docx

数列专题
知识目标：
1. 认识数列概念以及数列在数学中的位置
2. 掌握各类数列的规律以及在此根底上学会找规律的方法
3. 能将实际问题转化为数列问题
4. 等差数列
5. 通过等差数列掌握分析数列规律的方法
6. 在分析等差数列的根底上，会分析其他数列的通项以及求与问题
学习目标：
A类学生：掌握以上6点，尤其是第6点
B类学生：掌握1-4点，掌握等差数列通项与求与的推延过程，能解决其他简单数列的通项问题
C类学生：会分析各类数列的规律，以及等差数列的公式，根据公式解题。
附言：
数列是研究数学中数字以及数字间规律的途径，推而广之，也是研究事物以及事物见规律的途径
数列大幅度提升观察能力，所谓分析问题，分析核心就是观察，观察-收集信息-整理信息-联系\创造-解决。观察可以从两点去看，内与外。对内，分解事物本身，看事物本身的规律；对外，跟前后左右未来过去的数据联系起来，看事物在宇宙中的规律。
数列大幅度提升归纳思想，归纳思想是研究所有问题的思想，解决陌生问题，创造新的规律、新的定义、新的公式、全靠归纳。要全面认识归纳思想，建议对数学归纳法有深入的了解。
二年级
1. 认识简单数列
二年级没那么高的要求，感性上认识各类数字规律，以及数字规律发现的过程就好，根本上所有的学生都可以掌握。
目标：
1、认识什么叫数列，一列有规律或没有规律的数
2、认识各类数列
【问题分类】
概念：按一定规律排列起来的一列数叫数列.
例 〔等差数列〕找出下面各数列的规律，并填空.
　　 〔1〕1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.
　　 〔2〕1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.
　　 〔3〕2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.
　　 〔4〕1，4，7，10，□，□，19，22，25.
〔5〕 5，10，15，20，□，□，35，40，45.
例 〔斐波那契数列〕找出下面的数列的规律并填空.
1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.
例 〔等比数列〕找出下面数列的生成规律并填空.
　　1，2，4，8，16，□，□，128，256.
例 〔递增变化数列〕找出下面数列的规律，并填空.
　　1，2，4，7，11，□，□，29，37.
例 〔平方数列〕找出下面数列的生成规律，并填空.
1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.
小结：数字规律主要还是通过数字+加减乘除实现
2.数列实际应用题
例 〔累加数列〕一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？
例 〔幂数数列〕一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？〞
例 自2开场，隔两个数写一个数：2，5，8，……，101.可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数？
例 如图4－1所示，“阶梯形〞的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形〞的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形？
例 图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔〞，求这个小宝塔共包括多少个小立方体？
例 细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？
3.找规律
目的：
1、找规律的方法，还是观察，对数与形有高度的认识
2、通过掌握几类典型的规律图形
【问题分类】
例 〔数量变化规律〕观察下面由点组成的图形〔点群〕，请答复：
　　〔1〕方框内的点群包含多少个点？
　　〔2〕第〔10〕个点群中包含多少个点？
　　〔3〕前十个点群中，所有点的总数是多少？
解答提示：看图，看图
例 “宝塔〞，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后，请你答复：
　　〔1〕五层的“宝塔〞的最下层包含多少个小三角形？
　　〔2〕整个五层“宝塔〞一共包含多少个小三角形？
　　〔3〕 从第〔1〕到第〔10〕的十个“宝塔〞，共包含多少个小三角形？
例 〔大小变化规律〕仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？
例 〔位置变化规律〕细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？
例 〔形状变化〕按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？〞处应填什么图？
4、找规律法-数学归纳法
A类学生，可在类比规律中深入探索数学归纳法的全过程。
B类学生，感性上体会数学归纳思想，由特殊到一般的转化思维
C类学生，会处理数列规律的问题
例 〔数列规律〕找出下面数列的生成规律并填空.
1，2，4，8，16，□，□，128，256.
例 细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？
例 〔周期规律〕观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？
　　12345，23451，34512，45123，…
例 把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四个人，你知道第73号牌子会落到谁的手里？
例 〔类比规律〕先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式：
　　①1×9+2= ②9×9+7=
　　12×9+3= 98×9+6=
　　123×9+4= 987×9+5=
　　1234×9+5＝ 9876×9+4=
例 先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些算式：
　　1×1=
　　11×11=
　　111×111=
　　1111×1111=
11111×11111=
三年级
5、找简单数列的规律
这局部内容在于培养学生化归与转化思维，把其他有规律的问题转化为数列与数列规律问题。
例 〔数字数列规律〕观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上适宜的数.
　　①2，5，8，11，〔〕，17，20。
　　②19，17，15，13，〔〕，9，7。
　　③1，3，9，27，〔〕，243。
　　④64，32，16，8，〔〕，2。
　　⑤1，1，2，3，5，8，〔〕，21，34…
　　⑥1，3，4，7，11，18，〔〕，47…
　　⑦1，3，6，10，〔〕，21，28，36，〔〕.
　　⑧1，2，6，24，120，〔〕，5040。
　　⑨1，1，3，7，13，〔〕，31。
　　⑩1，3，7，15，31，〔〕，127，255。
　　(11)1，4，9，16，25，〔〕，49，64。
　　(12)0，3，8，15，24，〔〕，48，63。
　　(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，〔〕
(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，〔〕.
例 〔数组数列规律〕下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：
〔1，3，5〕，〔2，6，10〕，〔3，9，15〕…问：第100个数组内3个数的与是多少？
例 〔图像相关数列〕按下列图分割三角形，即：①把三角形等分为四个一样的小三角形〔如图〔b〕〕；②把①中的小三角形〔尖朝下的除外〕都等分为四个更小的三角形〔如图〔C〕〕…继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40…请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.
四年级
6.等差数列
A类学生，在数列通项公式与前n项与中提升对数学归纳法全过程的认识。
B类学生，掌握数列通项公式与前n项与的综合运用
C类学生，掌握数列通项公式与前n项与的根本问题
目标：
1.等差数列的根本概念
与
【知识讲解】
例 〔公差〕
①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…
②1，3，5，7，9，11，13.
③ 2，4，6，8，10，12，14…
④ 3，6，9，12，15，18，21.
⑤100，95，90，85，80，75，70.
⑥20，18，16，14，12，10，8.

即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示
例 〔通项公式〕求等差数列1，6，11，16…的第20项.
一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：
例 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
例 〔求前n项与〕计算 1+5+9+13+17+…+1993.
等差数列前n项与公式：
例 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？
例 求从1到2000的自然数中，所有偶数之与与所有奇数之与的差.
五年级
7.递推方法
目标：
1.认识an与an+1的关系，且由an与an+1之间关系，能推算出递推公式
2.由此衍生出数学归纳法。
A类：掌握数学归纳法的来龙去脉
B类：能够推算出递推公式，感性认识数学归纳法
C类：能够推算出an与an+1之间的关系，并能解答简单的递推公式
【问题分类】
例 〔叠加数列〕平面上5条直线最多能把圆的内局部成几局部？平面上100条直线最多能把圆的内局部成几局部？
解答提示：数形结合，然后数数。要找到规律，看你怎么放数学式子哦，有规律，整齐的把数学式子放一放，特征才能看出来。
解：
小结：般来说，如果一个与自然数有关的数列中的任一项an可以由它前面的k〔≤n-1〕项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推关系式
例 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？平面上1993个圆最多能将平面分割成多少个区域？
解答提示：归纳是小，难在怎么分割
例 〔兔子数列〕假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔，此后每月生下一对小兔.如果养了初生的一对小兔，问满一年时共可得多少对兔子？
解答提示：会画图，会列式，会分析数字前后左右与本身的特点，找规律
例 将自然数1，2，3，…，按图排列，在“2〞处转第一个弯，“3〞处转第二个弯，“5〞处转第三个弯，….问哪个数处转第二十个弯？
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