黄冈中学2011年高考数学易错题二集合与简易逻辑极限与复数.doc

集合和简易逻辑、极限和复数
1．已知集合，则的非空真子集的个数是（ ）
A．30个 B．32个 C．62个 D．64个
2．不等式的解集为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知和是两个不相等的正整数，且，则=（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．设为复数集的非空子集．若对任意，都有，
则称为封闭集．下列命题：
①集合为封闭集；
②若为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；
④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．
其中的真命题是．(写出所有真命题的序号)
6．已知集合至多有一个元素，则的取值范围；
若至少有一个元素，则的取值范围．
7．对任意两个集合，定义：，，设，，则＝．
8．已知数列的前项和，其中是和无关的常数，且，若存在，则．
9．=．

10．如果是虚数，则中是虚数的有
个，是实数的有 个，相等的有 组．

11．设，，
(1)，求的值；
(2)，且，求的值；
(3)，求的值．
12．已知集合．
（1）若，求；
（2）若,求实数的取值范围．
13．设为全集，集合，,若,求实数的取值范围．
14．设集合，．
（1）当时，求；
（2）当时，问是否存在正整数和，使得，若存在，求出、的值；若不存在,说明理由．
15．已知不等式的解集中的最大解为3，求实数的值．
16．设时，不等式成立，求正数的取值范围．
17．设方程有两个不相等的正根；方程
无实根，求使或为真，且为假的实数的取值范围．
18．试判断是关于的方程在区间上有解的什么条件？并给出判断理由．
19．已知不等式①；②；③．
（1）若同时满足①、②的也满足③，求实数的取值范围；
（2）若满足③的至少满足①、②中的一个，求实数的取值范围．
20．已知数列的各项都是正数，且满足：，，证明：，．

21．试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当且a、b、c互不相等时，均有：．
22．已知函数，数列满足递推关系式：，且．
（1）求、、的值；
（2）用数学归纳法证明：当时，；
（3）证明：当时，有．
23．已知数列为等差数列，公差，由中的部分项组成的数列，…，为等比数列，其中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求．
24．已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为．
（1）求数列的首项和公比；
（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前10项之和；
（3）设为数列的第项，，求，并求正整数，使得 存在且不等于零．

25．当时，函数的极限是否存在？若存在，求出其极限．
26．设是虚数，是实数，且．
（1）求的值及的实部的取值范围；
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值．

集合和简易逻辑、极限和复数易错题（参考答案）
1．C 解：因为，又且，所以
，故，所以它的非空真子集有个．
故选C．
2．B 解：当时，不等式的解集为，不符合题意，所以，由不等式得：或，即或，则有或，又，所以，即有，故选B．
3．A 解：当时，，对一切实数，不等式恒成立；当时，要使不等式恒成立，则且即，所以，故选．
4．C解：特殊值法
由题意取，则，可见选C．
5．①②
解：∵集合为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题．
②由封闭集定义知②为真命题．
③是假命题．如符合定义，但是为有限集．
④是假命题．如，为整数和虚数构成集合，满足，但不是封闭集，
如都在中，但，所以正确的是①②．
6．，
解：当中仅有一个元素时，，或；
当中有个元素时，；
当中有两个元素时，；所以，．
7．
解：依题意有，，所以，，
故．
8．1 解：因为，
所以，
得，则，故，所以．
9．
解：=．
10．4，5，3．解：四个为虚数；五个为实数；三组相等．
11．解：(1)因为，所以，又由对应系数相等可得和同时成立，即；
(2)由于，，且，，故只可能.此时，即或，由(1)可知，当时，，此时，和已知矛盾，所以舍去，故；
(3)由于，，且，此时只可能，即，也即，或，由(2)可知不合题意，故．
12．解：（1）当时，，
，
；
（2）因为，
当时，,满足条件；
当时，，由，，得：
解得.综上，实数的取值范围为．
13．解：因为，所以．又，所以．所以方程或者无实根，或者只有负实数根．所以，或，即或，得．故实数的取值范围为．
14．解：（1），则，由方程组解得：
，即．
（2），则中的方程为.因为都是非空集合，由已知必有且，此即方程组和方程组均无解，消去整理得和，所以，
，将其看做关于的二元一次不等式，从而，，所以且成立.又，所以,此时，且，由此得，由,得，即所求，．
15．解：将代入，得，即．
当时，原不等式可化为，解得，即，所以满足要求．
16．解：因为，所以由得，由，得：
或，故，解得，
又，所以，又，无解．
综上，正数的取值范围是．
17．解：令，则由，且，
且 ，求得，∴，
，
由或为真，且为假知，、一真一假．
①当真假时，，即；
②当假真时，即．
∴的取值范围是或．
答案：
18．解：令，则方程在区间上有解的充要条件是：
或，由于第一个不等式的解集是，而第二个不等式的解集是所以关于的方程在区间上有解的充要条件是，因为集合，故而可得结论：是关于的方程在区间上有解的充分不必要条件．
19．解：由题意知，解①得；解②得或．
（1）设同时满足①、②的集合，满足③的集合为，因为，所以：
，所以为所求．
（2），所以，即方程的两根在内，所以：，所以为所求．
20．证明：用数学归纳法证明
①当时，，，
所以，命题正确
②假设当时，有，则当时，

，
而，所以．
又，所以当时，命题正确
由①②知，对一切，有．
21．证明：（1）设a、b、c为等比数列，，
所以．
（2）设a、b、c为等差数列，则，猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，由，
所以．
②假设时成立，即，
则当时，

22．解：（1）由及计算得：，，．
（2）证明：（Ⅰ），
即当时，结论成立．
（Ⅱ）假设结论对成立，即．
因为，函数在上递增，
则，所以，
即当时结论也成立．
由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式对一切都成立．
（3）因为当时，，所以．
又由，即，
即，得，且．
所以．

23．解：（1）由题意知，即．
因为，所以，数列的公比，
所以．① 又．②
由①②得．因为，所以．
（2）

，
所以．
24．解：（1）由题设可得，解得
所以数列的首项为3，公比为．
（2）由（1）知，，所以，是首项为，公差的等差数列，它的前10项之和为，即数列的前10项之和为155．
（3）因为为数列的第项，是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以．
令．
因为，
所以，
故．
所以
因为，且存在，所以当时，；
当时，，由题设，不等于0．
因此不合题意，舍去，故满足题设的正整数的值为2．
25．解：（1）当时；
（2）当时；
（3）当时．
所以．
26．解：（1）设，
则，因为是实数，所以．
由，得，即，因为，所以，所以．
由已知，即，解得．
（2）证明：．
所以是纯虚数．
（3），
因为，所以，所以，所以的最小值为1．