高三数学二轮专题复习教案数列.doc

高三数学二轮专题复习教案――数列
一、本章知识构造：
二、重点知识回忆
１．数列的概念及表示方法
　　〔１〕定义：按照一定顺序排列着的一列数．
　　〔２〕表示方法：列表法、解析法〔通项公式法与递推公式法〕、图象法．
　　〔３〕分类：按项数有限还是无限分为有穷数列与无穷数列；按项及项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列与常数列．
　　〔４〕及的关系：．
　　2．等差数列与等比数列的比拟
　　〔１〕定义：从第2项起每一项及它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项及它前一项的比等于同一常数〔不为0〕的数列叫做等比数列．
　　〔２〕递推公式：．
　　〔３〕通项公式：．
　　〔４〕性质
　　等差数列的主要性质：
　　①单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列．
　　②假设，那么．特别地，当时，有．
　　④成等差数列．
　　等比数列的主要性质：
　　①单调性：当或时，为递增数列；当，或时，为递减数列；当时，为摆动数列；当时，为常数列．
　　②假设，那么．特别地，假设，那么．
　　④，…，当时为等比数列；当时，假设为偶数，不是等比数列．假设为奇数，是公比为的等比数列．
三、考点剖析
考点一：等差、等比数列的概念及性质
例1. 〔2021深圳模拟〕数列
〔1〕求数列的通项公式； 〔2〕求数列
解：〔1〕当；、
当，
〔2〕令
当；
当
综上，
点评：此题考察了数列的前n项及数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，表达了分类讨论的数学思想．
例２、〔2021广东双合中学〕等差数列的前n项与为，且，. 数列是等比数列，〔其中〕.
〔I〕求数列与的通项公式；〔〕记.
解：〔I〕公差为d，
那么 .
设等比数列的公比为，
作差：
点评：此题考察了等差数列及等比数列的根本知识，第二问，求前n项与的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列及一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，表达了数学的转化思想。
考点二：求数列的通项及求与
例3.〔2021江苏〕将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
………………

按照以上排列的规律，第行〔〕从左向右的第3个数为
解：前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋〔n－1〕个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．
点评：本小题考察归纳推理与等差数列求与公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力与逻辑推理能力。
例4.〔2021深圳模拟〕图〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会桔祥物“福娃迎迎〞，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎〞，那么　　　　；＿＿＿＿
解：第1个图个数：1
第2个图个数：1+3+1
第3个图个数：1+3+5+3+1
第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1
第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，
所以，f〔５〕＝４１
f(2)(1)=４ ，f(３)(２)=８，f(４)(３)=１２，f(５)(４)=１６
点评：由特殊到一般，考察逻辑归纳能力，分析问题与解决问题的能力，此题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，表达了转化及化归的数学思想。
考点三：数列及不等式的联系
例5.〔２００９届高三湖南益阳〕等比数列的首项为，公比满足。又，，成等差数列。
〔1〕求数列的通项
〔2〕令，求证：对于任意，都有
〔1〕解：∵ ∴ ∴
〔2〕证明：∵ ，
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，此题中的第〔２〕问，采用裂项相消法法，求出数列之与，由n的范围证出不等式。
例６、(2021辽宁理) 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列〔〕
〔Ⅰ〕求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
〔Ⅱ〕证明：．
解：〔Ⅰ〕由条件得由此可得
猜测．
用数学归纳法证明：
①当1时，由上可得结论成立．
②假设当时，结论成立，即
那么当1时，
所以当1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．
n≥2时，由〔Ⅰ〕知．
故
综上，原不等式成立．
点评：本小题主要考察等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等根底知识，考察综合运用数学知识进展归纳、总结、推理、论证等能力．
例７. 〔2021安徽理〕设数列满足为实数
〔Ⅰ〕证明：对任意成立的充分必要条件是；
〔Ⅱ〕设，证明：;
〔Ⅲ〕设，证明：
解： (1) 必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明
当时，.假设
那么，且
，由数学归纳法知对所有成立
(2) 设 ，当时，，结论成立
当 时，
,由〔1〕知，所以 且
(3) 设 ，当时，，结论成立
当时，由〔2〕知
点评：此题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。
考点四：数列及函数、概率等的联系
例题８.. (2021福建理) 函数.
　　〔Ⅰ(n∈N*)在函数′(x)的图象上，求证：点〔〕也在′(x)的图象上；
　　〔Ⅱ〕求函数f(x)在区间〔1〕内的极值.
(Ⅰ)证明：因为所以′(x)2+2x,
由点在函数′(x)的图象上,
又所以
所以,又因为′(n)2+2n,所以,
故点也在函数′(x)的图象上.
(Ⅱ)解:,
由得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
x
(-∞2)
-2
(-2,0)
0
(0∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值.
点评：本小题主要考察函数极值、等差数列等根本知识，考察分类及整合、转化及化归等数学思想方法，考察分析问题与解决问题的能力.
　例９ 、〔２００７江西理〕将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数
列的概率为〔　　〕
　　Ａ．               Ｂ．              Ｃ．                Ｄ．
 　　解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：〔1〕公差为0的有6个；〔2〕公差为1或-1的有8个；〔3〕公差为2或-2的有4个，共有18个，
成等差数列的概率为，选B
点评：此题是以数列与概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。
考点五：数列及程序框图的联系
例１０、〔２００９广州天河区模拟〕根据如下图的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；
〔Ⅰ〕求数列的通项公式；
〔Ⅱ〕写出y1，y2，y3，y4，由此猜测出数列{}；
的一个通项公式，并证明你的结论;
〔Ⅲ〕求．
解：〔Ⅰ〕由框图，知数列
〔Ⅱ〕y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.
由此，猜测
证明：由框图，知数列{}中，1=32
∴数列{1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
∴+1=3·3n－1=3n
∴=3n－1〔〕
=1×〔3－1〕+3×〔32－1〕+…+〔2n－1〕〔3n－1〕
=1×3+3×32+…+〔2n－1〕·3n－[1+3+…+〔2n－1〕]
记1×3+3×32+…+〔2n－1〕·3n，①
那么31×32+3×33+…+〔2n－1〕×31 ②
①－②，得－23+2·32+2·33+…+2·3n－〔2n－1〕·31
=2〔3+32+…+3n〕－3－〔2n－1〕·31
=2×=
又1+3+…+〔2n－1〕2
　　点评：程序框图及数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，及数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。
四、方法总结及2021年高考预测
〔一〕方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比拟法、放缩，放缩通常有化归等比数列与可裂项的形式。
3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一局部是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。
〔二〕2021年高考预测
1. 数列中及的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意及的关系.关于递推公式，在?考试说明?中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项〞。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式〞的考察。
2. 探索性问题在数列中考察较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的根本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4. 求与问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求与问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求与.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点与热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考察.
6. 有关数列及函数、数列及不等式、数列及概率等问题既是考察的重点，也是考察的难点。今后在这方面还会表达的更突出。
７、数列及程序框图的综合题应引起高度重视。
五、复习建议
在进展数列二轮复习时，建议可以具体从
以下几个方面着手:
1．运用根本量思想(方程思想)解决有关问题；
2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；
3．注意等差、等比数列的前n项与的特征在解题中的应用；
4．注意深刻理解等差数列及等比数列的定义及其等价形式；
5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进展归纳；
6．掌握数列通项及前n项与 之间的关系；
7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；
8．掌握一些数列求与的方法
(1)分解成特殊数列的与
(2)裂项求与
(3)“错位相减〞法求与
9．以等差、等比数列的根本问题为主，突出数列及函数、数列及方程、数列及不等式、数列及几何等的综合应用．
以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进展增减，四星以下的学校应重在根底，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲．
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