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两条直线的位置关系知识点梳理及其典型练习题讲解
一、知识点梳理
〔一〕、直线平行
1、直线平行的条件；
2、运用直线平行的条件解答相关问题〔判断两条直线是否平行，能运用条件确定两平行直线的方程系数〕.
直线的方程为：，直线的方程为：
，那么；及重合；及相交.
；〔适用于取任意值的情况〕
及重合；〔适用于取任意值的情况〕
及相交〔适用于取任意值的情况〕.
〔二〕、直线相交
1、两条直线的交点坐标：解两条直线的方程所组成的方程组，就可以得到两条直线交点的坐标．
2、两条直线的夹角：两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角，记作．两条直线的夹角的范围.
〔三〕、两条直线垂直的条件：
1、如果直线及直线的斜率都存在且不等于0，那么．
2、斜率不存在的直线及斜率为0的直线垂直．
两条直线的方程分别为，，那么直线的充要条件是：.
二、典型例题讲解
题型1、判断或证明直线的平行关系
例1、直线，，求证：.
证法一：把及的方程写成斜截式，，，，.
证法二：把的方程写成一般式，，， .
例2、两直线，，试确定、的值，使.
分析：.
解：，，由得，由得，，，
即，或，时.
题型2．根据平行或垂直条件求直线方程
例3、求直线的方程：
〔1〕过点且及直线平行；
〔2〕过点且及直线垂直.
解：〔1〕设直线的斜率为，直线为，斜率为.
直线方程为：，直线的斜率，，，
直线过点，直线的方程为：，即.
另解为：因直线及所求直线平行，故所求直线可设为，由点在直线上解得，故所求直线方程为.
〔2〕设直线的斜率为，直线为，斜率为.
直线方程为：，直线的斜率，，，，
直线过点，直线的方程为：，即.
另解为：因直线及所求直线垂直，故所求直线可设为，由点在直线上解得，故所求直线方程为.
题型3．求直线交点
例4．求以下两直线的交点：，.
解：解方程组得，所以两直线的交点是.
题型4．直线的位置关系，求参数值
例5．直线，，如果，求的值.
解：：假设，那么有，解得：或.
例6．直线及互相垂直，求的值.
解：利用直线垂直的充要条件：得，，解得：或.
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