等边三角形的培优.docx

等边三角形培优讲义
1、等边三角形的性质：
（1） 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;
（2） 等边三角形每个角的平分线和所对的中线，高线互相垂直;
（3） 等边三角形的每条边上的中线、高线以及所对角的平分线相等.
2、等边三角形的判定:
（1）三条边相等的三角形是等边三角形;
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;
（3）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。
例题讲解：
1.下列三角形：①有两个角等于；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2.如图，△为等边三角形，且，和相交于点P，则∠（ ）
A 70 B 60 C 50 D不确定

3.如图，C为线段上一点，在的同侧作等边△和等边△，连接、，若∠40°，则∠的大小是（ ）
A 60 B 65 C 70 D 80

4、如图2，在线段同侧作两个等边三角形△和△(∠＜120°)，点P和点M分别是线段和的中点，则△是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.非等腰三角形

5、如图，在△中，2，3.6，∠60°，将△绕点A按顺时针旋转一定角度得到△，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．
第二题 第三题
6、如图，已知△是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则∠．

7、如图，在等边三角形中，6，D是上一点，且3，△绕点A旋转后得到△，则的长度为.

8.将宽为2的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是

9.如图，等边△的三条角平分线相交于点O，∥交于D，∥交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有个。

10.如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图（②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，…，则得到的第七个图中，共有个正三角形．

11、在等边△中，是∠的角平分线，D为上一点，以为一边且在下方坐等边△，连接
（1）求证：△≌△；
（2）延长至Q，P为上一点，连接、使5，若8时，求的长。

12、在等边△中的延长线上取一点E,以为边做等边△，使它和△位于直线的同一侧，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求证：（1）△为等边三角形；（2）若让△绕C旋转，下列结论会发生变化吗？①；②和交角的度数；③三角形为等边三角形。

13、已知O是等边△内的一点，∠、∠∠的角度之比为6：5：4，求在以、、为边的三角形中，此三边所对的角度之比

14.如图，在等边中，相交于点于点.
求证：.

15、如图，△是等边三角形，△是顶角∠120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠，角的两边分别交、边于M、N两点，连接．试探究、、之间的数量关系，并加以证明．

16、如图，△是等边三角形，△是顶角∠120°的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，且∠60°，试探究、、之间的数量关系，并给出证明

17、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形经过平移或轴对称或旋转都可以得到△．
（1）△沿x轴向右平移得到△，则平移的距离是 个单位长度；△和△关于直线对称，则对称轴是 ；△绕原点O顺时针旋转得到△，则旋转角度可以是 度；
（2）连结，交于点E，求∠的度数．

18.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1,求六边形的周长。

19.如图，过边长为1的等边△的边上一点P，作⊥于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，求的长

20、如图，△是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（和A、C不重合），Q是延长线上一动点，和点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不和B重合），过P作⊥于E，连接交于D.
（1）当∠＝30°时，求的长；
（2）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由.

21．如图，点E是等边△内一点，且，△外一点D满足，且平分∠求∠的度数．

22.如图， 已知等边三角形中，点D，E，F分别为边，，的中点，M为直线上一动点，△为等边三角形（点M的位置改变时，△也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断和有怎样的数量关系？点F是否在直线上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在上时，其它条件不变，（1）的结论中和的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中和的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
图①
图②
图③

A
·
B
C
D
E
F

·
·

·

23、（1）操作发现：如图①，D是等边△边上一动点（点D和点B不重合），连接，以为边在上方作等边△，连接．你能发现线段和之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△边的延长线上时，其他作法和（1）相同，猜想和在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△边上运动时（点D和点B不重合）连接，以为边在上方、下方分别作等边△和等边△′，连接、′，探究、′和有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边的延长线上运动时，其他作法和图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

24、阅读和理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片和C′叠放在一起（C和C′重合）的图形．
操作和证明：
（1）操作：固定△，将△C′绕点C按顺时针方向旋转30°，连接，，如图2；在图2中，线段和之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接，，如图3；在图3中，线段和之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想和发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段的长度最大是多少？当α为多少度时，线段的长度最小是多少？

25.基本问题：已知等边△，。
（1）写出、之间数量关系；

（2） 当点M运动到延长线上时，其余条件不变，则（1）的结论是否成立？

变式问题：1。如图等边△和等边△，点P为射线一动点，∠60°，交直线于K。
(1)试探索、之间的数量关系；

(2)当点P运动到延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。

26．已知等边△和点P，设点P到△三边、、的距离分别为h1，h2，h3，△的高为h．“若点P在一边上［如图（1）］，此时h3＝0可得结论：h1＋h2＋h3＝h．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△内［如图（2）］，以及点P在△外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3和h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．

（1） （2） （3）