二次根式知识及典型例题.doc

二次根式知识点复习
【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
例1 下列各式（
其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2 使＋有意义的x的取值范围是（　　　）
A．x≥0 B．x≠2 C．x>2 D．x≥0且x≠2．
例3 若y=++2009，则x+y=
练习1使代数式有意义的x的取值范围是
练习2若，则x－y的值为
例4 若，则 = 。
例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X2 + 4= ________
例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）：
A、+=； B、=a2+b2；
C、（+）2= a2+b2； D、=a—b；
【知识点2】二次根式的性质：
（1）二次根式的非负性，的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即。
注：因为二次根式表示a的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如
若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
（2）（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：
（3）
例7 a、b、c为三角形的三条边，则____________.
例8 把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得
例9 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│= 。
例10 已知x、y是实数，且满足y=++1试求9x—2y的值
例11 若实数a满足+a0,则有
例12 下列命题中，正确的是（　　　）
A．若a>b，则> B．若>a，则a>0
C．若|a|=()2，则a=b D．若a2=b，则a是b的平方根
例13 是整数，则正整数的最小值是（ ）
A、4； B、5； C、6； D、7．
例14 实数、在数轴上的位置如图所示，那么的结果是什么？

例15 已知已知,则
练习1. 若，则10x＋2y的平方根为_________
练习2 若试求的值。
练习3 若，求的值
专题二 二次根式的乘除
【知识点1】二次根式的乘法法则：。将上面的公式逆向运用可得： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
例1 化简（1）＝________．（2）__________
例2 下列各式中不成立的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
例3 计算
例4若b>0，x<0，化简：
【知识点2】二次根式的除法：
（1）一般地，对于二次根式的除法规定
【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）关键： 把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
例5 +的有理化因式是________； x-的有理化因式是_________．
--的有理化因式是_______．
例6 若的整数部分为a，小数部分为b。求的值
练习：已知的整数部分为a，小数部分为b，试求的值
【知识点3】最简二次根式：
（1）被开放数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
例7 下列二次根式中，最简二次根式是（　　　）
(A)　　 （B）　　（C）　　（D）
例8 已知0，化简二次根式的正确结果为_________．
例9 设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是
专题三 二次根式的加减
【知识点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。.
例1在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有
例2 若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．
练习：若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
【知识点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开放数相同的根式进行合并。
例3 （1） （2）
例4 已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
【知识点3】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
例5计算 （1） （2）
例6 若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．
例7 已知x＝，y＝，求的值．
例8 已知、为实数，且满足，求的值。
全国各地中考数学二次根式
一选择题
1.（2012菏泽）在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）　　 A．加号　　B．减号　　C．乘号　　D．除号
2．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）
　　A．2与3之间　　B．3与4之间　　C．4与5之间　　D．5与6之间
3．（2012•杭州）已知m=，则有（　　）
　　A．5＜m＜6　　B．4＜m＜5　　C．﹣5＜m＜﹣4　　D．﹣6＜m＜﹣5
4．（2012泰安）下列运算正确的是（　　）
　　A． 　　B．　　C．　　D．
5. （2012南充）下列计算正确的是（　　）

（A）x3+ x3=x6　（B）m2·m3=m6　（C）3-=3　（D）×=7
6．（2012上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（　　）
　 A． B． C． D ．
7．（2012•资阳）下列计算或化简正确的是（　　）

A．
a2+a3=a5
B．

C．

D．

8．（2012•德州）下列运算正确的是（　　）

A．

B．
（﹣3）2=﹣9
C．
2﹣3=8
D．
20=0
9．（2012•湘潭）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（　　）

A．
y=
B．
y=
C．
y=x﹣3
D．
y=
10．（2012•德阳）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）

A．
x≥0
B．

C．
x≥0且
D．
一切实数

11．（2012•广州）已知|a﹣1|+=0，则a+b=（　　）　A．﹣8　B．﹣6　C．6　D．8
12．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．
=9
13. （2012湖北荆门）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3　 B．9 　 C．12 　 D．27
14．（2012•湘潭）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（　　

A．
y=
B．
y=
C．
y=x﹣3
D．
y=
15．（2012•聊城）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
　　A．x＞2　　B．x＜2　　C．x≠2　　D．x≥2 .
16．（2012•德阳）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）

A．
x≥0
B．

C．
x≥0且
D．
一切实数
17．（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
二、填空题1.（2012临沂）计算：= ．
2.（2012•聊城）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
3．（2012•杭州）已知（a﹣）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是 ．
4．(2012•丽水)写出一个比－3大的无理数是　 　．
5．（2012铜仁）当x 时，二次根式有意义．
6．（2012•梅州）使式子有意义的最小整数m是　　．
7．(2012•连云港)写一个比大的整数是　2(答案不唯一)．　．
8．（2012•德州）　＞　．（填“＞”、“＜”或“=”）
9．（2012•德阳）有下列计算：①（m2）3=m6，②，③m6÷m2=m3，④，⑤，其中正确的运算 ．
10．（2012•恩施州）2的平方根是　 ．
11．（2012福州）若是整数，则正整数n的最小值为________________．
12．（2012•梅州）使式子有意义的最小整数m是　　．
13．（2012张家界）已知，则x+y= ．
14．（2012江西）当x=﹣4时，的值是　 　．
15．（2012临沂）计算：= ．
16．（2012上海）方程的根是 ．
三、解答题
1.(2012•丽水)计算：sin60°＋|－3|－－．
2．（2012成都）计算：
5．(2012•连云港)计算：－(－)0＋(－1)2012．
6． （2012上海）．
7．（2012•德阳）计算：．
8.计算：(1)； (2)．
第 9 页