数学模型 第05章 微分方程模型.pdf

第五章微分方程模型 微分方程含自变量、未知函数及其导数的方程.描述随时间连续变化物体或过程的动态变化规律.采用机理分析方法或类比法建立微分方程.物理领域工程技术，科学研究 牛顿定律 电路原理例.火箭发射由燃料燃烧推力发射的火箭 加速度、速度、高度的微分方程.非物理领域人口，经济，生态等 特定的内在规律例.人口预测含人口数量及增长率的微分方程.数学模型胃第五章5人口增长5.2药物中毒急救53捕鱼业的持续收获微 分 方 程 模 型5.4资金、劳动力与经济增长5.5 香烟过滤嘴的作尸5.6 火箭发射升空5.7食饵与捕食者模型5.8赛跑的速度5.9 万有引力定律的发现5.10 传染病模型和SARS的传播督名栽守核能充高等教育电子音像.5.1人口增长预测世界人口增长JI年人口（亿）5人口翻番时间1625 1804 1927 1960 1974 19871999 201170123年 47年|39年中国人口增长年1949195319651982199020002010人口（亿）5.425.887.2510.1711.4312.6713.40 20世纪的一段时间内人口增长速度过快.年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万.老龄化提速，性别比失调等凸显，开始调整人口政策.数学模型建立数学模型描述人口发展规律，是制定 积极、稳妥人口政策的前提.11JI1.两个基本的人口模型2.用美国人口数据估计参数年 人口（白万）增长率/10年17903.9 0.29 4918005.3 0.311318107.2 0.29 8618209.6 0.29 69183012.9 0.29 07184017.1 0.3012185023.2 0.3082186031.4 0.2452卒18701880189019001910192019301940人口（白力）38.650.262.976.09 2.0105.7122.8131.7增长率/10年0.24350.24200.20510.19 140.16140.14570.1059 0.1059年1950196019701980199020002010人口（百万）150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7增长率/10年0.15790.14640.11610.10040.11040.13493.模型检验和增长预测数学模型指数增长模41.一个常用的人口预测公式今年人口年增长率，A4年后人口%=%(1+/丫基本前提增长率在左年内保持不变.已知增长率预测未来人口.根据人口统计数据估计增长率由4估计八例.从i9 60年到1999年(39年时间)世界人口翻番.才该期间的年平均增长率约为(Iog2)/39=L8%为什么?A2.人口指数增长模型的建立 马尔萨斯1798年提出假设，时刻人口数量为连续、可微函数单位时间人口增长率为常数初始时亥!|(U0)的人口为与模型单位时间内x)的增量为次解释:穿=%(。)=%。0 xQ)=%一与常用公式一致？X=%(e)B/(l+ry 18,工一8,按指数规律无限增长.？3.指数增长模型的参数估计(数据拟合)方法一直接用人口数据和线性最小二乘法.=xQertogx=log%。+rt y ogx a=ogxy rt+a179 0年(r=0)至2000年美国人口数据:小二乘法MATLAB编程计算。，=02743/10年，x0=4.1884数学模型3.指数增长模型的参数估计（数据拟合）方法二对人口数据作数值微分估计增长率.设X在琳心,以等间距）的函数值为以,4 在各点的导数近似值/（人）=+二】,左=12,-3%o+4Xj%2（/X 43T+33 数值微分X（）=G，X 3 G中点公式 nx=rx：%&）/%&）k”r=71Zr/cr=0*=0.2052/10年 x0=3.9（原始数据）数学模型4.改进的指数增长模型美国人口增长率0年10年增长率数据线性最小二乘法r0=0.3252,=0.0114 x0=3.9（原始数据）5.美国人口用指数增长模型计算结果的比较年实际人口（白力）指数增长模型（估计方法一）指数增长模型（估计方法二）改进的指数 增长模型17903.96.03.93.918005.37.44.85.418107.29.15.97.318209.611.17.29.8183012.913.68.913.1 1960 179.3 187.6 127.6 188.31970203.2229.6156.7213.41980226.5281.019 2.4239.11990248.7343.8236.2264.82000281.4420.829 0.029 0.0误差平方和34742220481133I9 60年以后3个结果明显不同5.美国人口用指数增长模型计算结果的比较指数模型（方法一）指数模型（方法二）改进的指数模型用指数模型计算的美国人口与实际数据相差很大.200多年时间内假设增长率为常数违背实际情况.6.指数增长模型的应用及局限性11A 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.不符合19世纪后多数地区人口增长规律.可用于短期而不能用于较长期的人口预测.=改进的指数模型计算结果有所改善，但它未反映增长率下降的机理,函数形式也不易确定,不便于应用.需分析人口增长率下降的机理，修改假设建立新模型.logistic 模型1.模型建立人口增长到一定数量后增长率下降的原因资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口增加而变大.”是的减函数简单、便于应用的线性函数（%）=，+系数乃？内禀（固有）增长率r理论上X=0时的增长率.r（o）=r人口容量%资源和环境对人口的最大容量.L 模型建立 r(x)=a+bx a=r r=07/%)r(O)=r,r(xm)=O rb=-r/xmdx=rx dt_k dx dx:正=3%t dtX=rx(l-),x(0)=x0 xmrx人口自身增长（1与卜资源和环境阻滞人口增长拐点1.模型建立logistic 模型=nc(l),x(0)=x0 可分离变量方程%01 t1/2=-og%02.参数估计X 模型 x=rx(l-)方法一数值微分计算增长率,线性最小二乘估计参数.X一二r xY-XXm-kx&)/x&)=丁(4)=r-xk X数值微分最小二乘法。r=0.2805/10年 xm=352.0548 x0=3.9(原始数据)2.参数估计模型尢。）=一卢-1+（1）6一方法二直接用数据和非线性最小二乘估计参数.计算结 果比较r=02155/10 年,x0=7.69 62,xm=443.9 9 31年实际人口（白力）logistic 模型（方法一）logistic 模型（方法二）17903.93.97.718005.35.19.518107.26.811.7 1980226.5245.8228.31990248.7265.4252.02000281.4282.4275.1误差平方和2810.4458.22.参数估计30025020015010050t15 20 25性乘好 线二最 非小果指数模型与logistic模型计算结果比较（误差平方和指数模型（方法一）指数模型（方法二）改进的指数logistic模型logistic模型模型（方法一）（方法二）347422204811332810458对1790年至2000年美国人口数据的拟合,logistic模型比指数增长模型有很大改善.模型检甄和人口预测上面表、图给出的结果是利用1790年至2000年 美国人口数据估计的参数代入模型计算得到的.这些结果与同期实际数据比较虽能反映模型与 数据的拟合程度,但不是真正意义上的模型检验.在估计指数模型和logistic模型参数时未用2010年的美国人口,下这个实际数据用于模型检验.田模型检验和人口预测用1790年至2000年美国人口估计参数代入模型,计算2010年人口与实际值比较作为模型检验.2010年实际人口加入重估参数预测2020年人口.模型检验的误差在5%以内，可以接受.实际人口（白力）指数模型（方法一）指数模型（方法二）改进的指 数模型logistic 模型（方法一）logistic 模型（方法二）2010 年308.7515.0356.0314.029 6.829 7.0误差66.8%15.3%1.7%I-3.9%I-3.8%2020年?327.8326.8拭目预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布.以待logistic模型的广泛应用logistic模型欧洲生物数学家Verhulstl9世纪提出,中译名为逻辑斯谛.生态、医疗领域中的应用鱼塘中鱼群数量、森林中树木数量、传染病传播人数的变化规律.经济、社会领域中的应用耐用消费品销售量、消息传播范围的变化规律.小结与评注=模型假设是建模的关键之一.，增长率随人口增 加而线性减少”是logistic模型的合理、简化假设.参数估计是建模的重要步骤,最小二乘法是参 数估计的基本方法.模型检验对建模是不可缺少的.用作检验的数 据不应用于建模过程的参数估计,正像裁判员 不能做运动员一样.数 J 模型05.2药物中毒急救、.场景两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 lOOmg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品说明氨茶碱的每次用量成人是100200mg,儿童是23mg/kg（按3040kg计,约 100mg）.过量服用可使血药浓度（单位血液容积中的药量）过高，1004g/ml浓度会出现严重中毒,200g/ml浓度可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200/g/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.调查与分析认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的,可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”.血液系统对药物的吸收率（胃肠道到血液系统的转移 率）和排除率可以由半衰期确定.半衰期可以从药品说明书上查到.调查与分析 血药浓度=药量/血液总量通常，血液总量约为人体体重的7%8%,体 重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认 为其血液总量约为2000ml.临床施救的办法口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.Hi 模型 0模型假设 古胃肠道中药量”,血液系统中药量1，时间,以 孩子误服药的时刻为起点(U0).1.胃肠道中药物向血液的转移率与x)成正比，比例系数 0),总剂量1100 mg药物在U0瞬间进入胃肠道.2.血液系统中药物的排除率与了成正比，比例系数(o),z=o时血液中无药物.3.氨茶碱被吸收的半衰期为5 h,排除的半衰期为6 h.4.孩子的血液总量为2000 ml.x（）下降速度与工成正比（比例系数A）,总剂量llOOmg药 物在打0瞬间进入胃肠道.dx=九芯 x(0)=1100 dty由吸收而增长的速度是忒，由排除而减少的速度与y）成正比（比例系数），UO时血液中无药物.dy dtAx-pt y.J(O)=0数学模型模型求解dx dt=x(0)=1100 H x(0=1100e药物吸收的半衰期为5 h 口 x(5)=x(0)/2。HO O e-5Jn00/22=(ln2)/5=0.1386(l/h)=Ax-juy=-jny+11002e-2rJ(O)=0,、11002z _加、y(t)=-(e/e 加)71 一 ytZ药物排除的半衰期为6 h 只考虑血液对药物的排除。案=-q=祀-小)/2(2/6=0.1155(1。数学模型结果及分析12002000 06lu)?xo o o O o o o O0 8 6 4胃肠道药量x(0=H00e 1386z血液系统药量/=6600(V5y血液总量2000mlUL625 10 15 20 25t(h)U7.89U4.87血药浓度100/g/ml1 y(t)=200mg 严重中毒 血药浓度200g/mlQ y(t)=400mg d致命孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救,约3h后将致命！施救方案 口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍.孩子到达医院(U2)就开始施救，血液中药量记作2。)一=2x-/z,t 2,x=1100e-2z,z(2)=236.5 dt4=0.1386(不变),/=0.1155X2=0.2310 zQ)=1650e1386r-1609.5e-02310r,t 2数学模型施救方案(OE)ZWX施救后血液中药量 z显著低于/().z(。最大值低于 致命水平.要使2在施救后 立即下降，可算出 至少应为04885.若采用体外血液透析,血液中药量下降更快;至0.1155X6=0.69 3,临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.小结与评注以药物中毒急救为背景，研究药物通过胃肠向血液系统的转移，以及从血液系统的排除.“转移率和排除率与血药浓度成正比”是药物 动力学建立房室模型的基本假设.假定整个血液系统的血药浓度均匀（用一个时间函数表示），建立最简单的一室模型，用一阶微分方程即可求解.I数学模型背景问题 及 分析5.3捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）.再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益.在捕捞量稳定的条件下，如何控制 捕捞使产量最大或效益最佳？如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.产量模型 X(0渔场鱼量假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律.比)=讨)固有增长率,N最大鱼量单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.h(x)=Ex,捕捞强度建模 记尸(%)=/(%)/z(x)有捕捞情况下 渔场鱼量满足=F(x)=rx(-)ExN不需要求解工,只需知道x)稳定的条件.（数学模型）1产量模型jrx(t)=F(x)=rx(l-)ExNF(x)=0平衡点Ex0=N(1),西=0 r稳定性判断 F(Xo)=E ,F0)=.EE Fr(x0)0 0/稳定,为不稳定Er F(x0)0,Fx 0:%不稳定事稳定捕捞强度固有增长率x0稳定,可得到稳定产量 占稳定,渔场干枯产量模型在捕捞量稳定的条件下，图解法 控制捕捞强度使产量最大.F(x)=f(x)-h(x)xy(x)=nc(l-)h(x)=ExF(x)=0Qf 与h交点 PE 0 2 pNcR(E)=T(E)-S(E)=pNE(l-)-c E=0 口 纥二r一一 r PNR()=0时的捕捞强度反=2岛 临界强度临界强度下的渔场鱼量E c%=N(19 一 r P%由成本一价格比决定夕上。(口区个,4，口捕捞过度捕捞 过度收入 T(E)=pNEQ-与 r支出 S(E)=c E pN/2 c pN(c IN p Id N)H以=Esl E*经济学捕捞过度 c2 c/N):耳=耳2石*生态学捕捞过度利润 R(E)=T(E)-S(E)=0。临界强度纥小结在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条 件，讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.数学模型5.4 经济增长模型增加生产发展经济 增加投资增加劳动力提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系.研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大.调节资金与劳动力的增长率，使经济（生产率）增长.1)Douglas生产函数产值 2（0资金K（t）劳动力（0技术/）=4（常数）QO）=F 为待定函数1)Douglas生产函数 产值。，资金K,劳动力，技术/o静态模型 Q(K,)=fF(K,L)每个劳动力7_Q 每个劳动力4的产值 的投资yL模型假设 z随着y的增加而增长，但增长速度递减z=qil=hg(y)g(y)=y o 8K dL出。dK2 dl 30数学模型2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）资金来自贷款，利率r 劳动力付工资w资金和劳动力创造的效益S=Q-rK-wL求资金与劳动力的分配比例A/L（每个 劳动力占有的资金），使效益S最大.变=。,至=。口 dK dL 4里“，2=1-4。“Qk=丫Ql 诈K _ oc w L 1 c x rw T,r J,aTQk _ L a了一天匚=k/lT3）经济（生产率）增长的条件（动态模型）要使。或Z=Q）/L）增长，K）,L）应满足的条件模型投资增长率与产值成正比假设（用一定比例扩大再生产）做，20劳动力相对增长率为常数dL TL(t)=WQ=f0Lg(y)g。)二 V箸=wy=。，K=Ly 0LdK _ dyr=L +/aLydr dr3)经济增长的条件=f0Ly 巧 笑.+，=兀 2、4dK _dy TL+心 BernouHi 方程y=K0/4，0=/；K；Z7，&=；l2 口二 y(O1 一(1 一 4KKo)e1 a一2)A3）经济增长的条件产值。增长数学模型廿 dQ/dt 0Q=fQLg(y),g(y)=ya当（吟+/g（喘力产川+）严丝 0o 1-巴e-fd 才 I K/Ko)1 0ndQ/d0 劳动力相对增长率1 0 n 当/Q(1一。)K0/K03）经济增长的条件每个劳动力的产值Z/增长0dZ/d/0z（t）=洋=f0ya=fG L LdZ,j dy=foy dt dt兹。虫dt dt0o 1-4K。/。一（1-。）小q0 0n 当 0K。IK。劳动力增长率小于初始投资增长率小结与评注 Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型，这里给出其建模过程及参数的含义.资金与劳动力的最佳分配是利用Douglas生产函 数建立的一个静态模型.经济（生产率）增长的条件是利用Douglas生产函数建立的一个动态模型，虽然微分方程的推导过程稍繁，但结果简明，并且可以给出合理解释.数学模型5.5香烟过射嘴的作用问题过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系?人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中 什么因素影响大，什么因素影响小？模型分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立 分析 吸烟过程的数学模型.设想一个“机器人”在典型环境下吸烟,吸烟方式和外部环境在整个过程中不变.数学模型模型 1）烟草长，什过滤嘴长，I=5 假设 毒物量M均匀分布，密度.1取戈 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a+a=l.3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的 毒物的（单位时间）吸收率分别是力和.4）烟雾沿香烟穿行速度是常数外香烟燃 烧速度是常数，定性分析。吸一支烟毒物进入人体总量数学模型qx q(x+Ax)vZ=0,x=0,点燃香烟 q(x,t)毒物流量 w(x/)毒物密度 w(x,O)=w0模型建立oT=4/x x+AxXQ=J：11)求q(x,O)=g(x)流量守恒q(x)-q(x+Ax)=bq(x)Ar.0 x Zx,的()?1 X1.AxAr=vd(7 dbcb-7(x),O x Zx vW x W I V(。)=aH0Ho=51)求q(x,O)=g(x)bxdq dx-O x Zx v邑 7(x),Zx x Z v久x)=aHoe v,0 x 4bl】aHoe v e v,4 x I2)求q()t时刻，香烟燃至x=utaH(t)e q(x j)=aH Q)eat)v ebxut vut x lx尸dl)v.lxx bUt)皿2(/)=auw(ut.t ye v e vauw0 已bhbut abut、c v-ae vPh v e vQ=c iWry-eab2 7 abl1vJl-er1 evV_PkQ=aMe v(p(r)./=,0(不)=v结果.国 abl,、l-er分析 Q=aMe。0（v）,r 1）。与,M成正比，M是毒物集中在产/处的吸入量皿22）e-过滤嘴因素，以乙负指数作用m2aM 是毒物集中在广。处的吸入量3）阳烟草的吸收作用 烟草为什么有作用?abL.r=-1vc p（吟=l r/2Q=aMe vb,线性作用结果 4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，Wo,4 分析 a,v,I均相同，吸至x=bQQ2 e2 提高。与加长L效果相同.小结与评注在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具 解决一个看来不易下手的实际问题.引入两个基本函数：流量以京)和密度w(W),运用物理学的守恒定律建立微分方程，构造 动态模型.对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎 实际的结论.5.6火箭发射 火箭垂直地面发射，以很短距离 穿越大气层,尽量减少空气阻力.加大燃料推力、减轻火箭质量，得到尽可能大的有效载荷.三级火箭接力助推，把燃料耗尽 的火箭结构残骸一一丢弃.建立单级小型火箭发射、上升过程的数学模型.讨论提高火箭上升高度的办法.单级小型火箭的发射火箭垂直于地面发射、上升的过程：垂直向上发射后燃料以一定的速率燃烧，火焰 向后喷射，对火箭产生向前的推力.克服地球引力和空气阻力，推动火箭加速飞行,燃料燃尽后火箭依靠获得的速度继续上升.在引力和阻力的作用下火箭速度逐渐减小，直到速度为零,火箭达到iL=J:高点.数学模型单级小型火箭的发射火箭发射、上升过程的基本规律牛顿第二定律.火箭在运动中受到的力：燃料燃烧的推力4 地球的引力4 空气的阻力？空气阻力随着火箭速度的增加而变大.阻力与速度之间的数量关系不易确定.数学模型1.不考虑空气阻力的简单模型问题与假设火箭初始质量旭o=16OO(kg),包括叫=1080(kg)燃料.火箭垂直地面发射，燃料燃烧速率片18(kg/s),产生推力方=27000(N),燃尽后火箭继续升至最高点.地球引力不变,重力加速度g=9.8(m/s2)建立火箭上升高度、速度和加速度的数学模型.给出燃料燃尽时火箭的高度、速度和加速度，及 火箭到达最高点的时间和高度.数学模型1.不考虑空气阻力的简单模型 模型建立火箭初始质量为燃料质量啊燃料燃烧速率，火箭U0时从地面x=0发射.“（。火箭高度 工速度 无加速度加）火箭质量m(t)=m-rt方燃料燃尽的时间 t i=r。以后火箭质量保持为人-吗月火箭到达最高点的时间 由*2）=。确定1.不考虑空气阻力的简单模型 模型建立火箭上0,X=O,零速度发射.燃料燃烧阶段0、匕/=%质量加(。=m-rt 推力方重力加()g(m0-rt)x F (m0 rt)g,x(0)=x(0)=0,(1)燃料燃尽后质量机=加0-%重力(恤-%)g(m。-mx=-(m0-mg,冗()上(七1)由(1)给定1.不考虑空气阻力的简单模型 模型求解燃料燃烧阶段 Oo-rt）元=F-（m0-rt）gf Qt tr加速度0)=无)=g+mQ-rt rO积分,v(0)=0速度V二元Q)伏。=f a(t)dt=-gt+In m0力 r m-rt）财）积分,x(0)=0 x(Z)=J v(t)dt=-gt2/2+F(m0-rt)-1/r2o+(Flnm0)/r-Fm0(lnm0-1)/r2）%（G）1.不考虑空气阻力的简单模型 模型求解燃料燃尽后（叫）-mx=-（m0-mg,Zr2=-gO积分，咐）t=）由=g _:）+V（）y2）=0 巾 t2ho，积分,工（幻 tx=j山=g%）2/2+v（：）Tj+*2）11.不考虑空气阻力的简单模型模型求解/no=16OO(kg)9m1=lO8O(kg),r=18(kg/s),F=27000(N),g=9.8(m/s2)数据代入模型计算G=60s,x(1)=2.3656xl04m,v()=109 8m/s,(幻=42.12m/s2.4=172s,x(2)=8.5155xl04m.数学模型2.考虑空气阻力的模型模型建立知识和经验低速时阻力与速度成正比，高速时阻力与速度平方或三次方成正比.对小型火箭设阻力与速度平方成正比kF燃料燃烧阶段片=叫/，(m0 rt)x=F k x2 (m0 rt),x(O)=x(0)=0燃料燃尽后txt 0P：临界状态q v 0P不稳定0d0P点稳定性不能用近似线性方程分析用MATLAB求微分方程数值解tx(t)j(0020.00004.00000.100021.24063.9 6510.200022.56493.9 4050.300023.9 7633.9 269 5.10009.616216.72355.20009.017316.2064 9.500018.47504.04479.600019.61363.9 9 689.700020.83113.9 587数学模型食饵与捕食者模型(Volterra)-7?7?x(t =r ay)x y(t)=-(d-bx)y计算结果(数值，图形)口观察，猜测 x(),y)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线的周期约为9.6655,xmi产 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出M9,y)一周期的平均值：工)的平均值约为25,y)的平均值约为10用相轨线分析P(d/b,r/a)点稳定性文。)=(一y)x 消去d dx _ x(r-ay)=(-d+bx)y=dj-y(d+bx)d+bx.r ay-dx=-dyxy-dnx+bx=rny-ay+c1口 aUy。取指数c由初始条件确定用相轨线分析P(d/b,r/a)点稳定性(jcde-)(yre-ay)=c/(%)g(y)相轨线 fMg(y)=c 在相平面上讨论相轨线的图形/(0)=/(oo)=0,f(x0)=fm,x0=d/b g(O)=g(s)=O,g(%)=gQo=r/ac fmgm时无相轨线 以下设O xr Xo%2 X 0 乃 比 2 y O xxX Xq X X2 XC=fmgm:无=。尸治 相轨线退化为p点P中心 Cfmgm 值设C=Pgm 令=%：)g()=gm f)=Pfm。存在41.42,使心1)次3招1。1(/，0),。2(“2,0)考察工可/Wp g(y)=q gm口 存在为为)=(d+bx)y口X=x出=,号+d)山1 yx(0=(2+)b y1 An y(T)-In y(OdT 一(-1-x-dl b；y=r/a)bbx(t)=(r-ay)x j髓 P(%，%)：%=d/瓦%=r/a x=x0,y=yQ数学模型模型解释 x(t)=(r-ay)x y(t)=-(d-bx)y 初值坨(坨，坨)相轨线的方向4:x(t)T y(t)T T2:x(t)J y(t)TT3:x(t)J y(t)J 74:x)个 y J80 x6040数学模型模型解释捕食者v=-数量4食饵增长率捕食者掠取食饵能力50030252015rl aio2 od/b 40 60 80 100 120捕食者数量与r成正比，与成反比食饵-dd捕食者死亡率数量 bb食饵供养捕食者能力食饵数量与d成正比，与A成反比1数学模型A模型 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降,解释 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么?自然环境尸（无用x=d/b,y=r/a捕捞战时 捕捞m1,dd+s1X 元区V歹 p.dfd+2 2 A无24-6饵（鱼）减少,捕食者（鲨鱼）增加pfP还表明：对害虫（食饵）一益虫（捕食者）系统,使用灭两种虫的杀虫剂，会使害虫增加，益虫减少.数学模型Volterra模型的局限性多数食饵一捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点.Volterra模型 加)=(r-ay)x y(t)=-(d-bx)y改写(0=1一,、x2(、x2(t)=r2x2-1+cf2-I NJ口 z 1 XxAt)=nxA 1-Ll N,、A Nj增加logistic项x2(t)=r2x2 T+cr,A存在稳定平衡点Volterra模型的局限性相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某 一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状.自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的,即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.片）二4占_一0%I M 1+wx r1=1,乂=20,w=0.2,G=0.5,q=0.18相轨线趋向极限环 口结构稳定,/a%!x2(t)=r2x2-l+cr2-!I 1+)5.8赛跑的速度背景和问题将赛程分成若干阶段,根据赛跑运动员的生理 条件对各阶段的速度作最恰当的安排,以期获 得最好的成绩.寻求速度安排的最佳策略是复杂的生理力学问题.Keller提出一个简单模型(1974),根据4个生理参数从最优控制的角度确定各阶段的速度函数,并可以预测比赛成绩.问题分析运动员在赛跑中要克服体内外的阻力以达到 和保持一定速度,需要发挥向前的冲力.为冲力作功提供能量的来源:赛跑前贮存在体内 的能量，赛跑中通过氧的代谢作用产生的能量.这些能量怎样分配到赛跑的各个阶段,并在到 达终点前将其全部用完.模型要确定的3个关系：冲力与速度 冲力作功与能量来源速度与比赛成绩 赛跑的最佳成绩是以速度函数为变量，时间最短 为目标，冲力、能量等为约束的极值问题.模型假设 赛跑中体内外的阻力与速度成正比，比例系数G 赛跑前贮存在体内供赛跑的能量是常数4 赛跑中在氧的代谢下单位时间产生的能量是常数b 运动员能发挥的最大冲力是方 运动员具有单位质量，初速为零.比赛成绩:“一定距离下时间最短”等价为“一定时间内距离最大”.般模型 运动员赛跑速度人),体内能量)阻力与速度成正比，比例系数6单位质量运动员，初速为零:大冲力是方v+v/t=/(0 v(0)=00/(0 0运动员的I以速度()在时间T内跑完赛程。D(v(O)=J(Odr。固定,求v)使T最小T固定,求v)使。最大以。()为目标的泛函条件极值(与月弓石。为已知参数)短跑模型用最大冲力方跑全程,可取得最好成绩:长的短跑赛程以体内能量不小于零为标准v+v/r=/(0=Fv(t)=Fr(l-e-t/T）（单调增）E(t)=c r-jv=cr F2r(l-ez/r(0)=4E(t)=E0-(F2T-c r)t-F2r2(l-ct/r)E。o ，J D=由力（方）=0得到 0v小（,）,0之/乂增力口y大减少E(t)=0最远距离（最长的短跑赛程）为，v(t)dt=Ft2 化工+tc/r-l)短跑模型估计用最大冲力跑全程时最长的短跑赛程Dc=FT2(e-t c/T+tc/r-T)Keller根据当时的世界记录得到F,t的估计值：F=12.2N/kgr=0.892s 口%=27.6s,。=291m后来根据1987年约翰逊的百米成绩(9.83s)修正参数:F=10.4N/kgr=1.06s口”345s,Q=369hi中长跑模型 当赛程超过2时不能用最大冲力跑全程将赛程分为3个阶段:初始阶段（0总总1）用最大冲力跑,在短时间获得高速度.中间阶段。1。即保持匀速.最后阶段优为把体内能量用完,靠惯性冲刺.问题:确定G42及3个阶段的速度匕（。,女”）,为中长跑模型初始阶段用最大冲力跑,与短跑模型相同匕=(1e)。斗。待定中间阶段保持匀速 v2(0=v2,trt t2%叱待定最后阶段把体内能量用完,E(r)=Ov+v/t=f(t)E(t)=a-j v1 d2 drV32)=V2+T口 匕=(vf-or)e-2(F)+or172,t2 t.口,y o(太阳)Jur-0ue r=rur+r6 u3比e=_ ur r (r r02ur+r3+2 r0 u3r23/2=A。=,。=-rO+2 r3 0 r (r r2)wr r rr=-1+ecos 0.2Aesin。r-4A2(p-r)4A2r=rupr4A2mpr1X-2Urpr 4ZZU r 4,4=一 rP数学模型K Q4*模型建立 了一坐Jpr r与万有引力定律f=超驾-r。比较 r只需证明4A2/p-k M（矛勿与哪一颗行星无关）A单位时间r扫过面积 T运行周期 TA=7iabr=-,p=,/=21+ecos a(1-e2),T2=Aa3 A2/p=n2/A可以证明4n2/2=W口 4A2/p=k MA小结与评注介绍牛顿根据开普勒行星运动三定律和牛顿 运动第二定律得到万有引力定律的全过程.展示了在正确假设基础上运用数学方法建模,对自然科学的发展能够发挥多么巨大的作用.学习前辈如何创造性地用数学工具解决实际 问题，培养创新能力和钻研精神.5.10 传柒病模型和SARS的传播2002年冬到2003年春，一种名为SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综 合症,民间俗称非典）的传染病肆虐全球.SARS首发于中国广东，迅速扩散到30多个国家和地区，多名患者死亡引起社会恐慌、媒体关注,以及各国政府和联合国、世界卫生组织的高度重视、积极应对，直至最终控制住疫情的蔓延.SARS被控制住不久，2003年9月全国大学生数学 建模竞赛以“SARS的传播”命名当年A题和C题.赛题要求建立你们自己的模型；特别要说明怎样才能 建立真正能预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提 前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传 播所造成的影响做出估计。北京市从2003年4月20日至6月23日逐日的疫情数据日期 已确诊病例累计 现有疑似病例 死亡累计治愈出院累计4月20日33940218334月21日48261025436月23日252121912277传染病模型和SARS的传簿介绍数学医学领域中基本的传染病模型.结合赛题介绍几个描述、分析SARS传播 过程的模型及求解结果.基本的传染病模型不从医学角度分析各种传染病的特殊机理.按照传播过程的规律建立微分方程模型.SI模型 将人群分为两类：易感染者（Susceptible,健康人）和已感染者（Infective,病人）.假设L总人数N不变，时刻/健康人和病人所占 比例分别为S（。和）,有s）+i=1.2.每个病人每天有效接触人数为4（日接触率）,且使接触的健康人致病.建模 Ni(t+A0-/(0=,=Asi kdt 口s(t)+i(t)=1di=Ai(l-i)0)=i0 dt一 卜logistic 模型t=tm,di/dt 最大勤传染病高潮到来时刻 4（日接触率）1 f%Tt-gni-l?没有考虑病人可以治愈!传染病无免疫性如伤风、痢疾等病人 治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设3.病人每天治愈的比例为（日治愈率）建模 Ni(t+AO-z(0=ANs-juNi(t)Atdi 1，（8）=q b0,CT l,i0 1-1/acr1,i先增后减传染病不蔓延传染病蔓延 一般情况下s(0户1,控制蔓延需要Kl.预防接种使群体免疫，提高*0)使s(0)减小,满足5(00.SARS的传搭模型 2003年SARS爆发初期，处于几乎不受制约的 自然传播形式，后期的传播则受到严格控制。虽然影响因素众多，不只有健康人、病人、移除者3个人群，但是仍然可以用愈后免疫 的SIR模型来描述。越复杂的模型包含的参数越多，为确定这些 参数所需要的疫情数据就越全面，而实际上 能够得到的数据是有限的。模型一参数时变的SIR模型模型建立s),r第庆健康人、病人、移除者(病愈与死亡之和)的数量，s(t)+i(t)+r(t)=N.4,X0第,天感染率,移除率(治愈率与死亡率之和).=%(?=，0)-/s远大于i/,s(。视为常数.-，Ldr济=i(t)参数时变的SIR模型参数估计与拟合日期已确诊病例累计现有疑似病例死亡累计治愈出院累计4月20日33940218334月21日48261025436月23日252121912277确诊-r(0=i(t)死亡+治愈=r(0数学模型参数估计与拟合 条二认 取差分近似导数 口*=%口2(0=(Az(r)+Ar(r)/z(0疫情受到有力制约高潮时的大量病人被治愈用ul20的数据拟合得A(t)=0.2612e-0116O t 用，=2050的数据拟合得(t)=0.0017e-00825e模型求解与检验 模)=0.2612e-1160t 阿)=0.0017e-OO825t代入方程，=2，-()穿二()at dt求i),r)的数值解幻）的计算值整体偏小，且打50后下降过快.在模型构造、参数拟合等方面仍需改进.模型二 引入不可控带菌者和疑似已感染者的模型s)未感染者比例近)卜已感染者比例E卜移除者比例移除率 c(t)不可控带菌者比例 e(t)疑似已感染比例人每个不可控带菌者收治前每天有效感染的人