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数学建模讲座获奖选手心得摘录谈到赛后的感受时，郭涛说，知道比赛的结 果后，喜出望外之余，又陷入了思考之中，也因 此有了一些心得：在没有尝试之前，不要说目标 太遥远，更不要说自己不行，只要敢于去尝试并 坚持，奇迹随时都可能出现。在很多时候每个人 的起点都是相同的，就看你能不能比别人多走一 步，也许就是那一小步就可以到达成功。不能等 别人都去尝试过了你才下手，这样的生活叫消极,永远只能跟在他人后面，不能拥有一片自己的天 空。心得：让青春燃烧出最灿烂的火焰 青春不是年华，而是心境；青春不是桃面、丹唇、柔膝，而是深沉的意志、恢宏的想象、灼热的感情；青春是生命 的深泉在涌流。我追求这样一种青春：他用汗水和泪水铸造，在拼搏与 奋斗中灿烂的盛开。飞跃一从纸上谈兵到实战演练 我们已读了十几年书，都是纸上谈兵，只会做题、考试,而数学竞赛是我们第一次去解决实际问题。从书中到书夕卜 从理论到实践，这是一次质的飞跃，对我而言也是一次转 折。是数模竞赛让我真实地体会到：我所学习的知识是有 用的，可以解决实际问题；我将来能用双手去创造世界，我有存在的价值！以前，这些是别人告诉我的，而这一次,我在竞赛过程中有了切身的体会，这是一种完全不同的感 受。竞赛获奖证书大学里或者社会上的各种竞赛，获奖证书也非常受青睐。一名同学大学里多次参加辩论赛获奖，被一家企业老总直接聘为总裁助理；西安交大一名同学，挑战杯获奖，直接获得了麻省理工(MIT)的全奖；上海交大两名参加ACM竞赛获奖的同学，李开复直接打来 电话抢先挖去；浙大一名同学大学四年不断参加各类编程比赛，累计赢得奖金20万美元，近日被topcoder聘为中国技术副总裁；等等，通过参加竞赛锻炼能力，获得证书，找到工作的 例子遍地都是。数学建模概述 模型：飞机模型，水电站模型，楼盘模 型等是实物模型，是所研究的客观事物 有关属性的模拟，它应当具有事物中我 们关心和需要的重要特征。数学模型：是指对于现实世界的某一特 定对象，为了某个特定目的，作出一些 必要的简化和假设，运用适当的数学工 具得到一个数学结构。数学建模的一般步骤 模型准备了解问题的实际背景，明确建立模型 的目的，掌握对象的各种信息，如统计数 据等。一般要大量查阅资料请教专家。模型假设关键一步，要善于辨别问题的主要和 次要方面，抓住主要因素，抛弃次要因素,尽量使问题均匀化线性化。建立模型 在建立模型之前，首先要明确建模的目的，因为对于同一个实际问题，出于不同的目的所 建立的数学模型会有所不同。根据所给的条件 和数据，建立起问题中相关变量或因素之间的 数学规律,可以是数学表达式、图形和表格，或者是一个算法等。模型求解 不同的数学模型的求解方法一般不同，除了熟练掌握一些数学知识和方法之外，还应具 备在必要时针对实际问题学习新知识的能力，同时，应具备计算机操作能力，掌握一门编程 语言和一两个数学工具软件包的使用。(Mat lab.Lingo)解的分析与检验 对所求出的解，必须要对解的实际意义进行分析，即模型的解在实际中说明了什么，效果怎样，模型的适用范围如何等等。同时，还要进行必要的误差分析和灵敏度分析等。论文写作 论文要力图通俗易懂，能让人明白你用什么方法解决了什么问题，结果如何，有什么特 点。应用实际 数学模型的求解结果只有在实际中检验是合理的，才能被证明是正确的，否则，要修正 模型，直到通过实际检验。人口增长模型人口增长是当今世界上引起普遍关注 的问题，我们经常看到或听到有关预报人口 增长的信息，但是对同一时间人口的预报在 数据上可能有较大的不同，这显然是采用了 不同的预报模型计算的结果。本节我们给 出两个简单的模型。指数增长模型英国人口学家于1 798年提出了著名的人口指数增长模型，这个模型的基本假设是：(1)单位时间的人口总量增长与当时人口成正比，比例为常数外,(2)假设时刻的人口为工,因为人口数一般很大，所以将工 近似的视为连续、可微的函数，记初始时刻的人口数为。.根据以上假设，得到dx-=rx 0.考虑自然 资源和环境条件所能容纳的最大人口数量加(最大人口容量)，当%=%加是增长率为零，即乂3=0,在线性化假设条件下，可以得到X r(x)=r(l-)其中广，工加通常根据人口统计数据或经验确定。指数模型可以修改为dx x-=rx(l-),dt xm%(0)=Xo上述方程称为组织增长模型(og%sc模型),方程解为X1+1 l)et阻滞增长模型（单位106）误差年份实际人口 指数增长模型（单位106）（单位106）误差17903.933.38-0.5 55.121.1918005.315.830.5 24.34-0.9718107.2 48.951 717 450.2 118209 6413.2 73.6 310.2 60.6 2183012.8715.933 0613 871184017 0719 772 715.3-1 77185023 1936.31r 13.1218.015 18186031 4448.9217 4831.34-0.1187038.5 66 5.032 6.4736.33-2.2 318805 0.1691 6741.5 147.5 6-2.618906 2.9512 1.2 35 8.2 861 77-1.181900767 3.7 8-2.2 2191091.9791.460.5 11920105 71105.6 9-0.02193012 2.7 612 5.322 561940131 6712 8.9-2 77195015 0.7138.4-12.3196017 9.32161 11-18.2 119702 03.2 117 9.81-2 3 419802 2 6.5 1198.5 4-2 7 9719902 48.7 12 13.84-34.87从上述表格中看到，直到1950年计算结果都能与实际结果较好的吻合，后面的误差越来越大，一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量，因为x本身不易准确得到，m而且随着生产力和科学技术的发展以及人们认识能力的提高，心也是不断 增加的。此外，模型没有考虑20世纪美国的几次大幅度移民浪潮以及美国 曾经经历的几次战争。log Aac模型是否就是最好的人口模型呢？(1)对于某一个实际问题所建立的数学模型不是一成不变的，一个国家工业技术的发展，环境污染状况以及社会风尚都对生命系数厂和有重大 m影响。因此，使用模型时，系数经过一定时期就需要重新修正。(2)在log istic模型中，并不一定只能把看成是x的线性减函数，仅需要存 0 x xm在 x 使(x)=，=0 x=xm v 7 I m Xm这类函数由许多，如尸(x)=-d+bx-X x1.d,b,X 0 等。2 007 A题：中国人口增长预测中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国 发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学 建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个 重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例 如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高,以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国 人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战 略研究报告（附录1）还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并 积累了大量数据资料。附录2就是从中国 人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特 点出发，参考附录2中的相关数据（也可以 搜索相关文献和补充新的数据），建立中 国人口增长的数学模型，并由此对中国人 口增长的中短期和长期趋势做出预测；特 别要指出你们模型中的优点与不足之处。附录1国家人口发展战略研究报告 附录2人口数据（中国人口统计年鉴 中的部分数据）及其说明 2.建立模型 基本假设：从中国人口增长的特点出发，可以 提出如下假设作为建立模型的依据：老龄化进程 加速；农村育龄妇女的生育率明显高于城镇；出 生人口的男女性别比持续升高；农村人口不断城 镇化。根据这些假设，区分模型中的状态变量和 参数。(2)状态变量的设置：根据上述假设和数据分析，可以把城镇人口与农村人口，及男女性别区分开 来。另一方面，注意到育龄妇女的生育率是决定 人口增长的主要因素，可以对人口的年龄分布按 不同年龄段进行简化，以减少状态变量。(3)老龄化的影响：数据分析表明，在每一 类人(比如城镇妇女)中，老年人口在该类总 人口中的比例逐年上升，而青壮年和幼年 人口比例逐年下降。可以通过对人口矩阵 的迭代，或用其他模型方法，找出他们上 升或下降的一般规律。(4)农村人口以一定规律转化为城镇人口。人口增长有迟滞效应。在附录1中提到由于20世纪80年代至90年代第三次出生人 口高峰的影响”，导致在2 005-2 02 0年出生人口数量会“出现一个小高峰”，这就是 迟滞效应。如果在模型中适当引进迟滞项,就可预测到这种“小高峰”现象。当然，此时的初值应当是一个近几十年来的人口 变化函数。这个函数可以从网上搜索到，也可以用1(4)提示的方法找出。当然，这可 能有一定难度，不一定作为必须要考虑的 要求。如果有同学考虑到这种迟滞效应，应该说是有创意的。(6)由上述至(4),即可建立起关于中国 人口增长的数学模型。它可以是微分方程 组或差分方程组的初值问题。如果还考虑 到(5),则会是迟滞微分方程组。方程组 中出现的各个参数和用到的初值可以通过 附录2中给出的数据，并参考上面1(6)的 说明，来确定。3.模型的求解和预测 用适当的数值方法求解所得的数学模型，即可得到今后几十年的预测结果。可以把 这些结果与附录1（国家人口发展战略研 究报告）或其他文献中的结果进行对照分 析。如出现较大差异，则应找出原因，予 以改进，或提出自己的看法。4.关于文献与模型的“自我评价”(1)本问题提供的文献(附录1)是要求重点阅 读的。此外，还应列出自己查阅过并引用 的比较可靠和权威的文献，包括论文、著 作和数据，都要注明出处。如果是网上的,则应列出网址。(2)在评阅学生对自己模型的优点与不足的 评价时，一定要注意是否实事求是。常微分模型/2。），叫0价别为幼年、育龄和老年 女城镇人口比例函数，%,%,%为非 负参数。7（/）-=一%（吗）-）d td沙（/）-=一01（坟2）-%）d t%)=1 W)w2(z)差分方程模型 将人口视作一个系统，把人口发展过程分 为年龄、生育和迁移过程，来推导离散人 口发展模型。按区域划分为城、镇、乡 性别划分男、女 年龄0,1,2,。mx：(z+l+l)=1 /；(z;O优化模型随着生产、经济、技术的发展，管理人才在实 际工作中常常会面临这样的一类问题：在工程设 计中，怎样选取参数使得设计既满足要求又能降 低成本；在资源分配中，怎样的分配方案既能满 足各方面的基本要求，又能获得较好的经济效益;在生产计划安排中，选择怎样的计划方案才能提 高产值和利润；在原材料配比问题中，怎样确定 各种成分的比例才能提高质量、降低成本；在城 建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住宅和其它但单位的合理布局，才能方便 群众，有利于城市各行各业的发展。这一类问题 的共同点就是选出最合理、达到事先预定的最优 目标的方案，这就是最优化问题。工程设计中要表述一个最优化问题，应 明确三个基本要素：-1）决策变量：也就是决策者所能控制的 哪些变量，最优化问题的求解就是找出 决策变量的最优取值。2）约束条件：它们是决策变量在现实世 界中所受到的限制。3）目标函数：它代表决策者希望对其进 行优化的那个指标目标函数是决策变 量的函数。用数学表达式就是：m in z=/(x)s.t,(x)0(i=19其中x就是决策变量，/(m)就是目标函数，g,(M)就是约束条件。在优化模型中，如果目标函数/(*)和约束条件中的.(*)都是线性函数，则该模型称为线性规划。某化工厂生产Al,A2,A3,A4四种化工 产品，每种产品生产1吨消耗的工时、能源和 获得的利润如下表：产品A1A2A3A4工时/h10025038075能源/吨0.20.30.50.1利润/万元2581已知该厂明年的工时限额为18480h,能耗 限额为100t标准煤，欲使该厂明年的总利润最 高，请确定各种产品的生产数量。模型假设:产品pnA4生产数量二x/工时限制max f(xl,x2,x3,x4)=2 x1+5 x2+8x3+x4100 x1+2 5 0 x2+380 x3+7 5 x4 18480 s.t.0.2 x1+0,3x2+0.5 x3+0.1x4 e (i.j)跖，工号外MU Z ffyMm E 7 A百(1.10)1(i=s)-1(i=e)(1.11)0(i s.e)/e 0.15.3模型I的求解（程序见附件1.11.7）5.3.1模型求解的2种方法方法一、基于数据库O与Diikstra算法的“邻接算法”求解方法二、使用Z加g。软件求解无转乘次数限制的方案（针对不同目标分别求解）表1.1 一线S335 9fs182 s部分出行方案列表求解方法转乘总时间转站点1转站点2车辆1车辆2车辆3转站点始发数息负毂总费用Lmg。邻接110417844361670-203铭接110417844362170-20殳铭接14023644692171-13铭接1143519-469167-0-94邻接67369717844844851670-243二.267369717844844852170-243把接267202717843244851670-163267202717843244S52170-163例接267290317S4154S51670-93铝接26729031784154852170-9工 5.4模型I的评价 5.4.1邻接算法评价 1）建立在图论基础下能够求解出转乘次数不 超过两次时的所有可行方案，并可根据公众 的不同需求，给出最佳需要方案，从此角度 考虑，模型实用性较强；2）模型求解基于直达队列Q,采用空间换取 时间思想，适合查询系统设计标准能够较强 的适应工程应用；3）在转乘次数超过两次的情况下，运用本模 型求解计算过程复杂，计算量过大；故本模 型存在一定的局限性。5.4.2 0-1规划L力go求解方案评价 Q在不限制最小转乘数时可以求得全局最优解，这 臬其他所有算法无法达到的，例如在第2、4、5条线 路上其转车次数为3、4、3,但是耗时相对转2次的 要节省许多；2）在限制最小转乘数时可以求得与邻接算法同样的方 塞工表明鹿型的醇国性疹般4但无裱像邻接算法一 群求御多种万案是用户防不能接受的；3）从理论角度分析，最优化模型规划角度可解具有 很迪的实归意*例圆丛全国范国孝庵善批 那么 转奉34次也是可以食受的，只要耗时足羸短；4）从计算时间来分析，尽管需要20分钟，但大部分 时间为数据导入，只有1%的时间是真正计算耗时，如果将质血数据存放入内存不变，其求解速度将超 越邻接食法；也但L如。不能求解出多种方案，实用性不如邻接算o8模型改进方向 由于题中信息有限，所以本文模型在实际 应用时仍存在改进空间，若信息充足，则 为使模型更具实用性，可在如下四方面进 行改进：一、考虑通过站点周围建筑物进行查询 二、考虑提示观光路线 三、考虑步行对公众感受的影响程度 四、考虑乘客特殊乘车嗜好 机应用，27卷：2007年6月交查询系统的最优化转乘方案研究与设计，计算4徐多勇，李志蜀，梅林，基于GSM短信息的公东南大学学报，第34卷：第3期，2004年3月3王莉，李文权，公共交通系统最佳路径算法，月第一版译，Matlab7,北京：清华大学.，2006年52 DuaneHanselmanBruceLittlefield著，朱仁峰件，北京：清华大学.，2005年7月第一版1谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软参考文献2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这 样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到 门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射 里打暂、等待住院等，往往需要排队等待接受某 种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模 问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。麟院麒就藉分双力类屋守内障、理网膜 附录中给出了 2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。聪雄群就艘歌麻加隹I喘薛肥天:做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外饭疙病典英屋孟星外 病床有空时立即安排住院，住院 后弟天便会安排手术。看甥魁鬻眦I卷犁术有单98茶%幅蓝储能曾 这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、囿二。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑 急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考 虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常 情况下自内序壬术上其他眼科乏术幺急班除咎?、不安排在 同一天做。当前该住院部对全体非0泰病人是按魁FCFS(First come,First serve)规则安排住院，但等待隹院病人 队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮 助解决该隹院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源 的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，川以评价该问 题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排 模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应 该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指 标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住 院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新 回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整？问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定 的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均 逗留时间（含等待入院及住院时间最短的病床比例分配 模型。评分标准：一、第一问题指标建立（10分）1、分布拟和与检验（3分）对五类病人分类，检验单位时间到达的病 人数服从泊松分布。2、第一问综合指标的建立 1）效率（4分）单位时间出院人数，床位周转律，平均住 院时间，平均等待时间等 2）公平度（3分）五类病平均等待时间方差 二、第二问题（30分）1、问题分析+方案提出（10分）2、数据处理（10分）3、仿真过程清晰描述（8分）4、计算指标与原方案比较（5分）三、第二问题预测住院时间（15分）1时间点（6分）2、分五类病人（4分）3、区间估计（5分）四、第四问题周六不做手术（15分）1、指出原方案缺陷所在（3分）2、重新设计入院方案准则，仿真计算指标（4分）3、计算指标与原方案比较（8分）五、第五问题床位比例问题（15分）1、用排队论建立模型（6分）2、求解，给出结果（7分）摘要15分注意事项 一、写好数模答卷的重要性1.评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，数模答卷，是唯一依据。2.答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。3.写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。二、答卷的基本内容，需要重视的问题1评阅原则：假设的合理性，建模的创造性，结果的合理性，表述的清晰程度。2答卷的文章结构0.摘要1.问题的叙述，问题的分析，背景的分析等，略2.模型的假设，符号说明（表）3.模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型,最终或简化模型等）4.模型的求解 计算方法设计或选择；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计 算框图；所采用的软件名称；引用或建立必要的数学命题和定理；求解方案及流程 5.结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验6.模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广一7.参考文献8.附录计算框图详细图表三要重视的问题0.摘要。包括：a.模型的数学归类（在数学上属于什么类型）b.建模的思想（思路）c.算法思想（求解思路）d.建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特 点，结果检验，灵敏度分析，模型检验.）e主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法，要求符合文章格式。1.问题重述。略2.模型假设跟据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。（1）根据题目中条件作出假设（2）根据题目中要求作出假设关键性假设不能缺；假设要切合题意3.模型的建立（1）基本模型：1）首先要有数学模型：数学公式、方案等2）基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型1）要明确说明：简化思想，依据2）简化后模型，尽可能完整给出3）模型要实用，有效，以解决问题有效为原则 数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（大）。能用初等方法解决的、就不用高级方法，能用简单方法解决的，就不用复杂方法，能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异 数模创新可出现在建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，模型求解中结果表示、分析、检验，模型检验推广部分-5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题:分析：中肯、确切；术语：专业、内行；原理依据：正确、明确；表述：简明，关键步骤要列出 4.模型求解1）需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学 命题的表述规范，尽可能论证严密。2）需要说明计算方法或算法的原理、思想、依 据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称3）计算过程，中间结果可要可不要的，不要列 出。4）设法算出合理的数值结果。5.结果分析、检验；模型检验及模型修正结果表示1）最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；2）对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进；3）题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；4）列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据，对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；5）结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式求解方案，用图示更好 6）必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确。6.模型评价优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。7.参考文献8.附录详细的结果，详细的数据表格，可在此列出。但不要错，错的宁可不列。主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复。