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中考复习31 平行四边形单元
知识考点：理解并掌握平行四边形的判定与性质
精典例题：
【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC与AD边上，AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。
分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO＝DO
略证：连结BF、DE
在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
又∵AF＝CE
∴FD∥BE，FD＝BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO＝DO，即点O是BD的中点。
【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF与GH的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）
变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形。
变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。
变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE与△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。
探索与创新：
【问题】已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM与BN相交于P，求∠BPM的度数。
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。
略证：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC
∴ME⊥BC
在△BEM与△AMC中，
ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC
∴△BEM≌△AMC
∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900
∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE
∴△BEN是等腰直角三角形
∴∠BNE＝450
∵AM∥NE
∴∠BPM＝∠BNE ＝450
跟踪训练：
一、填空题：
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5与7，则它的一条边长的取值范围是 。
2、□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝ 。
3、已知□ABCD中，AB＝2AD，对角线BD⊥AD，则∠BCD的度数是 。
4、如图：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为 。
5、如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且EF⊥BC于F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝，则AC的长为 。
6、如图：过□ABCD的顶点B作高BE、BF，已知BF＝BE，BC＝16，∠EBF＝300，则AB＝ 。
7、如图所示，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，则平行四边形ABCD的面积为 。
二、选择题：
1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（ ）
A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm
2、如图，□ABCD与□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ）
A、DE＞BF B、DE＝BF C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF
3、如图，已知M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与□ABCD的面积之比是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD于E，则∠DAE＝（ ）
A、200 B、250 C、300 D、350
5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ）
A、以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边
B、以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边
C、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边
D、以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边
6、如图，□ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，直线CE交BA的延长线于G点，直线DF交AB的延长线于H点，CG、DH交于点O，若□ABCD的面积为4，则＝（ ）
A、3.5 B、4 C、4.5 D、5
7、在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，如果AE过BC的中点O，则□ABCD的面积等于（ ）
A、48 B、 C、 D、
三、解答题：
1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝600，BE＝2，CF＝1，连结DE交AF于点P，求EP的长。
2、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且＝＝＝＝（＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：
如上图，连结BD
∴EH∥BD，FG∥BD
①连结AC，则EF与GH是否一定平行，答： ；
②当值为 时，四边形EFGH是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC与BD只需满足 条件时，EFGH为矩形；
④在②的情形下，对角线AC与BD只需满足 条件时，EFGH为菱形；
3、已知，在四边形ABCD中，从①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，D、F分别为AC、AB的中点，点E在BC的延长线上，∠CDE＝∠A。
1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若，四边形EBFD的周长为22，求DE的长。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、1＜＜6；2、9；3、600；4、12；5、8；6、或12.8；7、cm2；
二、选择题：DBCABCC
三、解答题：
1、提示：由∠B＝∠ADC＝600，BE＝2，AE⊥BC可得AB＝4，再证DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝1200，∴∠EDC＝300，求得∠APE＝∠EAP＝600，△AEP为等边三角形，EP＝AE＝。
2、①是；②任意正数；③BD⊥AC；④AC＝BD
3、①与②；③与④；⑤与⑥；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥；②与④；①与③
4、（1）证EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝5
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