1、偏微分方程数值解试题(06B)
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一（10分）、设矩阵对称，定义，.若,则称称是的驻点（或稳定点）.矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：是方程组 的解
解: 设是的驻点,对于任意的,令
, (3分)
,即对于任意的,,特别取,则有,得到. (3分)
反之,若满足,则对于任意的,,因此是的最小值点. (4分)
评分标准:的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二（10分）、 对于两点边值问题：
其中
建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的形式与形式的变分方程。
解: 设为求解函数空间
2、检验函数空间.取,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)
即变分问题的形式. (3分)
令,则变分问题的形式为求,使 (4分)
评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,
三（20分）、对于边值问题
（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
（2）取，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）
（3）就与的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。
解: (1) 区域离散,差分格式为
(5分)
应用展开得到,截断误差为,其阶为
3、 (3分)
(2) 未知量为,矩阵形式为,其中
(4分)
求解得到解为 (3分)
A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]
L =
2.0000 -0.5000 -0.5000 0
0 1.9365 -0.1291 -0.5164
0 0 1.9322 -0.5521
0 0 0 1.8516
u= 0.6667 0.3333 0.6
4、667 0.3333
(3) 矩阵为, (5分)
评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分
四（20分）、对于初边值问题
（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;
（2）写出差分格式的矩阵形式（即的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性
（3）建立六点对称格式(格式) 并写出计算形式，应用方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
解:(1) 区域离散,格式为 , (5分)
应用展开得到,误差主项为,阶为
5、 (3分)
(2) , (4分)
稳定条件为 (3分)
(3) 格式为
, (3分)
低阶项归入中,格式是无条件稳定的. (2分)
五（10分）、逼近的三层差分格式
分析格式的稳定性
解:计算形式为 (2分)
此为三层格式,化为两层格式.令,则有
6、 (4分)
令,代入格式,消去公因子,得到
(2分)
放大矩阵为,特征方程为
,的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即.考虑到的变化,稳定条件为 (2分)
六（10分）、建立波动方程的初值问题的显格式，推导截断误差,推导格式稳定的必要条件.
解:差分格式为, (3分)
截断误差为,阶为 (3分)
分析稳定性必要条件 (4分)
七（10分）、对于二维抛物型方程建立差分格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。
解: 差分格式为 (4分)
误差阶为 (3分)
放大因子为,恒稳定. (3分)
八.用方法求边值问题
的第次近似,基函数
解:(1)边界条件齐次化:令,,则满足齐次边界条件,且
(3分)
第次近似取为,其中满足的方程为
(3分)
又
由三角函数的正交性,得到
而
于是得到
最后得到
(4分)
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