参数方程知识讲解及典型例题.doc

参数方程
一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即　，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．
注意：参数方程没有直接表达曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别表达了点的横纵坐标与参数间的关系。
二、二次曲线的参数方程
1、圆的参数方程：
特殊：圆心是（0,0），半径为r的圆：
一般：圆心在（x0，y0），半径等于r的圆：
　　（为参数，的几何意义为圆心角），
Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：
（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程
（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+
y=3sin y=cos y=t2+
总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域
2、椭圆的参数方程：
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：
　　（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）
注意：离心率与离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴与短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：
Eg：求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。
3、双曲线的参数方程：
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线： 　（为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线：
4、抛物线的参数方程：
顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：
　　（t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）
直线方程与抛物线方程联立即可得到。
三、一次曲线（直线）的参数方程
过定点P0（x0，y0），倾角为的直线， P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程 　　（t为参数，t的几何意义为有向距离）
说明：①t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧
②｜P0P｜=｜t｜
直线参数方程的变式： ，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当t前面系数的平方与是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得
，让作为t，则此时t的几何意义是有
向距离。
Eg：求直线 x=-1+3t
y=2-4t，求其倾斜角.
极坐标与参数方程练习题
[基础训练A组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
4．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线与一个圆 B．两条直线 C．一条直线与一个圆 D．一个圆
二、填空题
1．直线的斜率为______________________。
2．参数方程的普通方程为________________
3．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。
4．直线被圆截得的弦长为______________。
三、解答题
1．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围。
2．求直线与直线的交点的坐标，及点
与的距离。
3．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
[综合训练B组]
一、选择题
1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．参数方程为表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
3．直线与圆交于两点，
则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．与参数方程为等价的普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________________。
2．直线过定点_____________。
3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为__
4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。
5．设则圆的参数方程为__________________________。
三、解答题
1．点在椭圆上，求点到直线的最大距离与最小距离。
2．已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程。
（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。
极坐标与参数方程练习题答案
[基础训练A组]
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C 5．C 6．C
二、填空题
1． 2． 3． 4．
三、解答题
1．解：（1）；（2）
2． 3．
[综合训练B组]
一、选择题
1．C 2．D 3．D 4．A 5．D 6．C
二、填空题
1． 2． 3． 4．
5． ，当时，；当时，；
而，即，得
三、解答题
1．当时，；当时，。
2．解：（1） （2）
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