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解三角形的基本题型

睢县回族高级中学杨少辉

解三角形问题是高考的一种基本问题，可以说是常考；下面就这类问题来做个总结，有不对的地方希望大家指正。
一、和解三角形有关的公式、定理、结论：
1、正弦定理：；
正弦定理的变形：;
（根据合比定理）
2、余弦定理：

余弦定理的变形：

3、三角形面积公式：
（1）；
（2）（两边及夹角）；
（3）（两角及夹边）；
（4）（两角及对边）；
（5）（三边）；
（6）（代入正弦定理）；
（7）；
4、三角形中的边角关系：
（1）；
（2）转化为三角函数：
；
；
（3）大边对大角：
；
；
（4）锐角和钝角的判定：
角A为锐角；
角A为直角；
角A为钝角；
（5）锐角三角形中的边角关系：
；
二、解三角形的常见题型：
题型一：已知两边及对角，判断三角形解的个数；
例1、根据已知条件，判断下列解的个数：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
解析：显然应使用正弦定理：
（1），故：，解得：，；由图形可知：

直线和只有唯一的交点，所以：只有唯一解；
（2）由解得：，；实际就是研究图像交点的个数；由图像知：
有两个交点，即：有两个解；
（3）由解得：，这样的角B不存在，无解；
（4）由解得：，又；故：；
（变式1）已知中，，若此三角形有两个解，求边的取值范围？
分析：由正弦定理知：，；只需：有两个不同的交点即可；由图像可知：；
（变式2）
（1）在中，，，求；
（2）在中，，，求；
分析：
（1）由于；；关键是的正负；也就是分析角A是锐角还是钝角；即：交点的情况；如图：只有一个交点，角A是一个锐角；即：；
；

（2）类似分析可知：，故：；
总结：解决这类问题一般用正弦定理，转化成图像交点的个数问题；
题型二：利用正弦定理求外接圆半径；
例2、直三棱柱中，，求其外接球的表面积；
分析：此题的关键是确定球心的位置并求球的半径；如图：

为的外接圆半径；由正弦定理：；解得：，；球的半径，故：球的表面积为；

（变式）二面角为，点P为二面角内部一点，点P到面和面的距离分别为1和2；求点P到直线的距离；
分析：先作出P到直线的距离，然后放入一个三角形求解；

过点P作于点A，过点P作于点B，过点A作于点C；可得：为所求距离；显然，A、B、C、P四点共圆；为外接圆直径；
中，由余弦定理知：；；
；
题型三：判断三角形的形状；
例3、在中，已知,判断的形状；
分析：判断三角形的形状，一般有两条思路：（1）证明角的关系；（2）证明边的关系；
法一：将角转化成边；
原式转化为：，代入正弦定理：，应用余弦定理可得：，进一步化简得：；
；故：或，即：为等腰三角形或直角三角形；
法二：将边转化成角；
原式可化为：；代入正弦定理得：，即：
；故：或；为等腰三角形或直角三角形；
（变式）在中，已知,判断的形状；
题型四：已知三角形中的边角混合式，解三角形；
例4、在中，已知，且；求；
解析：由于要求的是边，应将角转化为边；
可化为：；
继续应用余弦定理转化可得：；
化简得：，结合：，可得：；解得：；
例5、在中，已知；求；
解析：由于要求的是角，应尽量将所有的边转化为角；
故：；解得；即：；解得：；由，；
例6、在中，已知；
（1）求角A；
（2）若，求；
解析：
（1）边化角：；
统一角：
化简得：；
进一步化简可得：；解得：；
（2）从第一问得到启发，面积公式应用：
可以解出；从再联想到余弦定理：；代入数据可得：；两式联立解得：；
（变式）在中，已知，且成等比数列；
（1）求的值；
（2）若,求的值；
总结：解决此类问题，变角转化是关键，统一变量是目的；
题型五：三角形中的取值范围问题；
例7、在中，已知；
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长及面积的取值范围；
解析：
（1），即：；
化简得：；角；
（2）法一：转化为边；
由余弦定理：；周长；只需要求的取值范围即可；由三角形的性质知：；由基本不等式可得：
，当且仅当时取等号成立；
故：，即：，周长的取值范围是：；
；由于且；所以：；
即：面积的取值范围是；
法二：转化为角；
由正弦定理知：；周长=；
将代入并化简得：周长=，；周长的取值范围是：；
；面积的取值范围是；
（变式1）将例7中的“”改为“锐角”
“法一”将很难解决这个问题，而“法二”仅仅需要改变一下角B的取值范围即可；将代入可得：；后面同上法；
（变式2）在中，已知求的取值范围；
解析：由正弦定理知：；
由辅助角公式得：；
；故：；
的取值范围是：；
题型六：解三角形的应用题；
例8、如图是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西且和B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?
解析：

解:根据题意知海里,,,,在中,由正弦定理得, (海里),又,海里,在中,由余弦定理得
所以，救援船到达D点需要1小时.
例9、福州青运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如下图所示），则旗杆的高度为（   ）米．
A. B. C.20 D.30
分析：

;
在中：
即：米；
所以，在中，米
例10、如图，在中，已知点在边上，,, , 则的长为
分析：
在中：；由余弦定理可知：
，解得：；
例11、（2013年高考新课标1（理））如图,在△中,∠90°1为△内一点,∠90°
(1)若,求;(2)若∠150°,求∠[
解析：(1)由已知得,∠,∴∠30o,在△中,由余弦定理得,∴;(2)设∠,由已知得,在△中,由正弦定理得,,化简得,,∴=,∴=.
例11、在中，，角A的角平分线交边于点D，且2，2，求的长；
解析：如图：

在中用正弦定理得：；
在中用正弦定理得：；
两式联立得：；
；解得：；
例12、在中，2，是上一点，且2，,求的长；
解析：如图：

先解出；
法一：借助平面向量；和向量是一组很好的基底；
，根据模长公式：；
解得：；
法二：构造新三角形；
过点D作 的平分线交于点E；在三角形中：
；将数据：，可以解得：；
总结：解决这类问题，关键是将所求量放入一个三角形，并在这个三角形中凑够三个条件即可；