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认识三角形
1．三角形有关的概念
(1) 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．
(2) 三角形的表示
三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△”，读作“三角形”。
如图7 -4一l，三角形有三个顶点：A、B、C；有三条边：、、;有三个角：、、．

△的三边用表示时，所对的边用表示．所对的边用表示．所对的边用c表示．

2．三角形的分类

注意：根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角，则三角形是锐角三角形；若最大角是直角，则三角形直角三角形；若最大角是钝角，则三角形钝角三角形．
3．三角形中边的关系
（1）三角形的任意两边之和大于第三边；
（2）三角形的任意两边之差小于第三边
如图7 -4 -1中，。
注意：在任意给定的三条线段中，当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时，才能组成三角形。
例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3 +4 >6，所以这三条线段能组成三角形．
又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 <8，所以这三条线段不能组成三角形．
4．三角形的三种主要线段
(1)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段，叫做三角形的高。
如图7 -4 -2，是△的高，可表示为 或=90°或
= 90°。

(2)中线：在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
如图7 -4 -3，是△的中线，表示为或 = 或 2.
(3)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段．
如图7-4-4，是的角平分线，可表示为或或.

一个三角形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。
5．三角形的高、角平分线、中线的画法
(1)三角形高的画法，如图7-4 -5．

注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．
②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7 -4 -5甲，
③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7 -4 -5乙，
④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7 -4 -5丙．

(2) 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点和这边所对角的顶点连接起来，就得到三角形一边上的中线．
(3)三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法和角平分线的画法相同，可以用量角器。
防错档案：画钝角三角形的高容易出错，要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．

6．面积法解题
例如：如图7 -4 -6，在△
中， ，边上的高 10，求
边上的高的长．
解析：由三角形面积公式有：

因为 ， =10，
所以 10.

名题诠释
【例题1】如图7 -4 -7，点D是△的边上的一点，点E在上．
(1)图中共有个三角形；
(2)以为边的三角形是；
(3)以为内角的三角形是.
【解析】 (1)的左右两侧各有3个三角形，分别是△△、△、△、△、△，左右两侧组合又形成2个以为边的三角
形，它们是△、△.故共有8个三角形．(2) 以为边的三角形有3个，它们是△、△、△. (3)以为内角的三角形有2个，它们是△、△．
【答案】 (1)8 (2)△、△、△ (3)△、△
【点评】 数三角形要注意选择恰当的顺序，做到不重不漏，注意最容易漏掉的是最大的三角形．

【例题2】 下列三角形分别是什么三角形？
（1）已知一个三角形的两个内角分别是50°和60°；
(2) 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；
(3) 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；
(4) 已知一个三角形的周长为16，有两边的长分别是6和4.
【解析】 确定三角形的形状，应紧扣定义．
【答案】 (1) 锐角三角形，因为三角形内角和为180°，而两个内角分别是50°和60°，所以第三个内角是70°，即这个三角形是锐角三角形．
(2) 直角三角形，同理．
(3) 钝角三角形，同理．
(4) 等腰三角形．因为第三条边的长为16 -6 -4 =6()．
【点评】 应全面考虑三角形的边和角的条件，再根据定义判别．

【例题3】 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )．
A. 、2、3.5 B.4、5、9
C. 5、8、15 D.8、8、9
【解析】 因为1+2<3.5，所以、2、3.5的三条线段不能构成三角形
因为4+5 =9，所以4、5、9的三条线段不能构成三角形；
因为5+8<15，所以5、8、15的三条线段不能构成三角形；
因为8+8 >9，所以8、8、9的三条线段能构成三角形．
【答案】D
【点评】 三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系，即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边．

【例题4】 甲地离学校4，乙地离学校．记甲、乙两地之间的距离
为，则d的取值为( )．
A.3 B.5 C.3或5 D．3≤d≤5
【解析】本题应分两种情况讨论：(1)甲、乙两地和学校在一条直线上；(2)甲、乙两地和学校不在同一条直线上，则构成三角形，可利用三角形三边关系解题．
【答案】 D

【例题5】 如图7-4 -8，在△中，=，G为的中点，延长交于E．F为上一点，于H，下面判断正确的有( )．
①是△的角平分线；②是△边上的
中线；③为△边上的高；④是△的角平
分线和高线．
个 B．2个 C.3个 D．4个
【解析】由=知平分．但不是△内的线段，故①错，应是△的角平分线；同理，经过△的边的中点G，但不是△中的线段，故②不正确，正确的说法应是是△边上的中线；由于于H，故是△边上的高，故③正确；平分并且在△内，故是△的角平分线，同理也是△的高，故④正确．
【答案】B
【点评】 三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段，在三角形的内部，后者是射线，可以无限延伸．

【例题6】在△中， ，边上的中线把三角形的周长分为12和15两部分，求三角形各边的长，
【解析】 中线把三角形的周长分为12和15两部分，要分类讨论：(1)当腰长小于底边时， =12，如图7-4 -9①；(2)当腰长大于底边时， =15，如图7-4 -9②．

【答案】设，则有： ．
(1)若 =12，即+ =12，=8．
=8 =4，故 15 -4= 11.
此时 > ，
所以三角形三边长分别为8，8，.
(2)若 .4 15，即15，=10．
即 =10， =5，
故12 -5 =7．显然，此时三角形存在，
所以三角形三边长分别为l0，l0，7．
综上所述，此三角形的三边长分别为8，8．或l0，l0，7．
【例题7】 如图7-4 -10，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△的高，其中画法错误的是

【解析】 甲图错在把三自形的高线和边的垂线定义相混淆，把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的和不垂直；丙图错在没有过点B画的垂线，故不是高；丁图错在没有向点B的对边画垂线．
【答案】 甲、乙、丙、丁

【例题8】 如图7—4-11，在△中， ，边上高10，P为边上任意一点，，，垂足分别为．求的值．
【解析】 连接后，、就转化为△和△的高，从而由面积法可求得 的值．
【答案】 连接，由图7-4 -11可知：
，
即
因为 ， =10，
所以 =10.

速效基础演练

1如图7 -4 -12，图中三角形的个数共有 ( )．
A 1个 B．2个 C.3个 D．4个

2 三角形两边的长分别为和4，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是，这个三角形是三角形

3如图7 -4 -13．
( 1 ) ，垂足为D，则是的高， 90°；
( 2 ) 若平分，交于E点，叫的角平分线， ;
( 3 ) 若 ，则△的中线是;
( 4 ) 若 ．则是的中线，是的中线。

4 如图7 -4 -14，在△中， = 90°，D、E为上的两点，且 ， =，则下列说法中不正确的是( )．
A．是△的高
B．是△的中线
C．足△的角平分线
D．

5如图7 -4 -15，哪一个图表示为△的高？( )

6 如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是( )．
A．15 B．16 C．8 D．7
7 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )．
A. ，2，3
B. 2，3，6
C. 4，6，8
D. 5，6，12
8 如图7 -4 -16，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测
得 =15米， =10米，A、B间的距离不可能是( )．
A．5米 B．10米 C．15米 D．20米

9 如图7 -4 -17，在△中，(1)画出的平分线；(2)画出边上的中线；
(3)画出△的边上的高
.
10如图7 -4 -18．△是周长为18的等边三角
形，D是上一点，△的周长比△的周长多2，求、的长。

11 等腰三角形的周长为30，一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分，试求腰长．

12已知如图7 -4 -19，在△中，平分，交于点E，∥，∥，分别交、于点D、F，则是的平分线吗？请说明理由．

13在△中，= 90°， =6， =8， =10，求边上的高．

知能提升突破
1 如图7 -4 -20，在△中，已知点D、E、F分别为、、上的中点，且=4，
求阴影部分的面积。

2 如图7 -4 - 21，在△中， ，是边上的高，P为延长线上的一
点，，，垂足分别为M、N．试问、和之间有何关系？

3某木材市场上木棒规格和价格如下表：

规格
1m
2m
3m
4m
5m
6m
价格
（元/根）

10

15

20

25

30

35

小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为3m和5m的木棒，还需要到
某木材市场上购买一根．问：
(1) 有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2) 选择哪一种规格的木棒最省钱？