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有趣的数学问题
      【例1】 豹子和狮子进行100米往返比赛。豹子一步3米，狮一步2米，但豹子跑2步的时间狮子可以跑3步。谁获胜？
分析和解答：豹子两步跑3×2=6米，相同时间里狮子跑2×3=6米，两者的速度一样。但由于100米正好是2米的50倍，也就是狮子100米正好跑50步，而豹子100米要跑100÷3=33步……1米，也就余下的1米也得跑一步，这样就浪费了时间。因此，狮子获胜。

【例2】有一口9米深的井，蜗牛和乌龟同时从进底向上爬。因为井壁滑，乌龟白天向上爬3米，晚上向下滑1米；而蜗牛白天向上爬2米，晚上向下滑1米。问：当乌龟爬到井口时，蜗牛距井口多少米？
分析和解答乌龟每天白天爬3米，晚上向下滑1米，也就是每天向上爬2米。但最后一天向上爬的高度是3米，因此，乌龟爬到井口需要（9－3）÷（3－1）＋1=4天。
而蜗牛每天只上升2－1=1米，因为乌龟是第4天白天爬上井口的，所发，蜗牛第4天不应该考虑“晚上下滑1米”，那时，蜗牛距井口9－（4＋1）=4米。

【例3】甲、乙两人进行3000米长跑，甲离终点还有500米时，乙距终点还有600米。照这样跑下去，当甲到达终点时，乙距终点还有多少米？
  分析和解答： 根据题意可知，甲跑3000－500=2500米，乙只能跑3000－600=2400米，即甲跑25米，乙跑24米。因为500米中含有20个25米即甲再跑20个25米就可到达终点，同时乙只能跑20个24米，所以乙离终点还有600－24×20=120米。
【试一试】
1、一只蜗牛从9米深的井底向上爬，白天向上爬5米，晚上又退下4米。这只蜗牛几天几夜才能爬到井口？

2、甲走2步的距离乙要走5步，甲走3步的时间乙可以走8步。他们谁走得快？

3、B处的兔子和A处的狗相距56米，狗跑3次的时间和兔子跳4次的时间相同。兔子跳出112米的C处被狗追上。兔子一跳前进多少米？

4、甲、乙、丙三人进行60米赛跑，当甲到达终点时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果按原速前进，当乙到达终点时，将比丙领先多少米？
你能判断正方体对面的数字吗

【例4】一个正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6。根据下图摆放的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几。

分析：如果直接思考哪个数字的对面是几，有一定的困难。我们可以这样想：这个数字的对面不会是几。
（1）从（A）、（B）两种摆法中可以看出：4的对面不会是2、5，也不会是1、6，那么，4对面一定是3；
（2）从（B）、（C）两种摆法中可以看出：1的对面不会是4、6，也不会是2、3，那么，1的对面一定是5；
（3）剩下2的对面一定是6。
答：1的对面是5，2的对面是6，3的对面是4。 
【例5】 一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13，小明能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小亮能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？
 分析和解答：大家先想想，我如果用18加上24的话，得到是哪几个面的和？是4个侧面和2个顶面的和！而四个侧面的和应该是：13＋13＝26，这时就可以计算出顶面的数是：（18＋24－26）÷2＝8，于是底面的数是：13－8＝5.
【试一试】
1，一个正方体的6个面分别涂着红、黄、白、黑、绿六种颜色，根据下面的三种摆法，判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。

2，根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什么？

3，下图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体，每个正方体的六个面都按同样的顺序写有1、2、3、4、5、6六个数字，请写出每个数字的对面上的数字是几。

最大最小问题
        在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
（1）枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
（2）着眼于极端情形，即充分运用已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
【例6】有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？
分析和解答：3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。
【例7】 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）
分析和解答：
 除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。
下面的题目你可以参照上面的例子亲自体验一下。
【试一试】
1、一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？

2、如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？

3、五位同学捐款，他们捐的钱有3张1元的，4张2元的，3张5元的和3张10元的。这五位同学捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？.

4、一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同学至少得了多少分？

5、有五人来理发，按发型所用时间是10、12、15、22和24分钟。由两位师傅同时为这五人理发，问怎样安排，使五人理发和等候的时间总和最少，最少是多少分钟？.

图表中的最大最小问题
【例8】把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？

    分析和解答：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。
（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72 
  【例9】 一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？
分析和解答：先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时，谷子3+6=9小时，高梁5+1=6小时，小米5+9=14小时。平均每个小组用（12+9+6+14）÷2=20.5小时，但实际做不到。因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近20.5小时。
12+9=21小时是最少经过的时间。
【试一试】
1，将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？

 2，把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

3，如下图，有两条垂直相交的线段、，交点为E。已知2，3在和取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？ 

鸡兔同笼中“两数之差”问题的解法
     【例10】 鸡和兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28，问鸡和兔各几只？
分析和解答：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2＝14（只），鸡和兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2＝2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.
兔的只数是：（100＋28÷2）÷（2＋1）＝38（只）.
鸡是：100－38＝62（只）.
答：鸡62只，兔38只.
当然也可以去掉兔28÷4＝7（只）这时鸡和兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2＝2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍，所以原来兔的只数是（100－28÷4）÷（2＋1）＋7＝38（只）
【例11】买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
   分析和解答： 如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分和4分的张数就一样多。
 （680－8×40）÷（8＋4）＝30（张），即余下的邮票中，8分和4分的各有30张。
  因此8分邮票有40＋30＝70（张）.
答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.
   另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.
   【例12】古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首？
   分析和解答：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
      5×4×13＋20＝280（字）.
      每首字数相差：7×4－5×4＝8（字）.
      因此，七言绝句有：280÷8＝35（首）.
      五言绝句有：35＋13＝48（首）.
答：五言绝句48首，七言绝句35首.

【例13】有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？
解：如果没有破损，运费应是2000×0.2＝400元。但破损一只要减少1＋0.2＝1.2（元）.因此破损只数是（400－379.6）÷（1＋0.2）＝17（只）.
答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。

对联中的数学趣题
        对联是我国传统文化艺术中的一项瑰宝。不少对联和数学结缘，成为佳联妙对。我们在欣赏这些对联时，既提高了文学修养，又感受到数学的魅力，别有一番情趣。如古代穷苦人家的一幅对联：二三四五；六七八九。横批：南北。  这幅对联全部由数字组成，初看平淡无奇，实则含蓄深刻，对联运用了谐音手法，意为缺衣（一）少食（十），没有东西。这也成了条内涵丰富的谜语。 
         而将数学演算引入对联之中，则更能激发读者的兴趣和启迪人们的思维智慧。例如：
  “ 六尺红绫，三尺系腰三尺吊；一幅锦被，半幅遮身半幅闲。”这是古时一对新婚夫妇花烛之夜吟成的一幅对联，联语中运用了减法：上联六减三还剩三，下联一减半还剩半。 
     “绿鸭浮水，数数一双四只；赤蛇出洞，量量九寸十分。”这是一幅加法联，“绿”和“赤”属颜色相对，同时谐音“六”和“尺”。上联讲鸭的只数：一双加四只是六只；下联讲蛇的长度：九寸加十分为一尺。
“北斗七星，水底连天十四点；南楼孤雁，月下带影一双飞”。采用倍数计算，由星空、水底、孤雁月影，构成一幅月夜雁飞图，充满着诗情画意。
“七里山塘，行到半塘三里半；九溪蛮洞，经过中间五溪中。”取其半数，对仗十分工巧。
下面再看两幅蕴含数学趣题的对联：
     【例13】大家知道被列为“唐宋八大家”之一的苏东坡，诗词歌赋，书法绘画，出联对句，样样精通，被誉为“全能文学家”。传说有一天,他去金山寺为诗僧老友佛印禅师祝寿。席间，即兴为佛印禅师写了一幅寿联，上联是：“花甲一周，尚余半百岁月”；下联是：“古稀双度，犹欠三十春秋”。
实际上这幅为禅师祝寿的对联，上下联都是说的佛印禅师的岁数。
上联中的“花甲”是指60岁，“半百”是指50岁，“尚余”就是还多的意思。可列算式为：60＋50＝110（岁）
下联中的“古稀”是指70岁，杜甫诗句中不是有：“人生七十古来稀。”吗！“双度”是指2个70岁，“犹欠”就是还差的意思。可列算式为：70×2－30＝110  （岁） 
所以佛印禅师当时的年龄是110岁。
【试一试】
清朝乾隆皇帝下江南，遇到一位老寿星，当即乾隆皇帝赠送一幅对联的上联给老人：“花甲重开，又加三七岁月。”一同来的纪晓岚马上对出下联：“古稀双庆，更多一度春秋。”
两人说的都是这位老寿星的年龄，聪明的你能算出老寿星的年龄吗？

学会用“假设法”解题
  【例14】：有两次智力测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错或不答1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题得8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
   [分析和解答]
   解法一：假设小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是：8×6-2×（15-6）=30（分）. 两次相差：120-30=90（分）。 比题目中条件相差10分，多了80分，说明假设的第一次答对题数多了，要减少第一次答对题，减少一题少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）。因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少（90-10）÷（6+10）=5（题）。也就是第一次答对：24-5=19（题），第二次答对：30-19=11（题）.
  第一次得分：5×19-1×（24- 9）=90（分）。
  第二次得分：8×11-2×（15-11）=80（分）。
 答：第一次得90分，第二次得80分.
  解法二：因为两次共答对30题，所以两次共答错： 24+15-30=9（题）.
  假设答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9=54（分）。但两次满分都是120分，比题目中条件“第一次得分比第二次多10分”，要少了54+10=64（分）。根据解法一可知：第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.因此，第二次答错题数是：（6×9+10）÷（6+10）=4（题）。 第一次答错 9-4=5（题）.
      第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.
      第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.
    答：第一次得90分，第二次得80分.

趣题巧解:阿米巴的繁殖
  【例15】有一种变形虫叫阿米巴，它的繁殖是成倍地分裂增长，即一变二、二变四、……。每分裂一次需三分钟，在瓶子里放一个阿米巴，一小时后充满瓶子，请你想一想，如果开始时放2个阿米巴，多少分钟后充满瓶子？
【分析和解答】阿米巴每三分钟分裂一次，因此从1个阿米巴变为2个，需要3分钟。如果1个瓶子里放1个阿米巴，60分钟可充满瓶子。因此，瓶子里放2个阿米巴，只需60-3=57（分钟）就可以充满瓶子。
        解题的关键是注意“开始时有1个阿米巴”和“开始时有2个阿米巴”，这两种情况之间的关系，前一种情况经过三分钟就变成后一种情况，所以从后一种情况到充满瓶子比前一种少用3分钟。
合理分类巧计算
 【例16】题目：1×2×3×4×……×99×100的积的末尾有多少个连续的“0”？
       分析：要求出积的末尾有多少个连续的“0”，首先应当弄明白那些情况可能使积的末尾出现若干个连续“0”？末尾出现0的情况有两种：
       第一种是因数末尾带有“0”，如10、20、30……90、100，把这10个数连乘，积末尾连续的“0”的个数容易计算出来；
      第二种是个位是5的数和任何一个偶数相乘，末尾会出现“0”，如5，15，25……85，95。把这10个数和10个偶数相乘，积末尾连续“0”的个数也容易算出来。
      不过，对第二种情况的分析又提醒我们发现刚才分析第一种情况的一点疏忽，就是在第一种情况所列举的10个数中，50和偶数相乘，末尾是两个“0”。不能不考虑这个特殊情况，不然会漏算一个“0”；既然这样，25、75也有些特别，他们和偶数相乘又会出现50、150，50、150再和偶数相乘，末尾也都是两个“0”。你看，稍不留心，差点少算了三个“0”！
        因此，1X2X3X4×……X99X100的积的末尾出现连续的“0”的个数应当是：11+1+10+2=24（个）。
【试一试】
请同学们思考：1~1991这1991个数中，共有多少个数字“0”？