2023-2024学年广东省广州市越秀区铁一中学七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市越秀区铁一中学七年级（下）期中数学试卷
一、单选题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）

第 21 页（共 21 页）

1．（3 分）在 22 ，0， p ， -0.5 ，

10
，3.161161116 六个实数中，无理数有( )

7 2
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．（3 分）在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是( )

A． (3, 6) B． (-1, -3)
C． (-3, 2)
D． (5, -3)

31
3．（3 分）估计 - 2 的值应在( )
A.2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间
4．（3 分）如图，下列条件中不能判定 AB / /CD 的是( )

A． Ð1 + Ð4 = 180° B． Ð4 = Ð6 C． Ð5 + Ð6 = 180° D． Ð3 = Ð5
5．（3 分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共分三卷，在卷下中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”
译文大致为：“甲、乙两人带着钱，不知道是多少．若甲得到乙钱数的 1 ，则甲的钱数为 48．若乙得到甲
2
钱数的 2 ，则乙的钱数也为 48．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱 x ，乙持钱 y ，则根据题意可以列出方
3
程组为( )

ì1 x + y = 48

ìx + 1 y = 48

ìx - 1 y = 48

ìx + 1 y = 48

í
A. ï 2
ï
ïx +
î
2 y = 48
3
B. ï
í 2
ï
ïî 3
2
x + y = 48
C. ï
í 2
ï
ïî 3
2
x + y = 48
D. ï
í
ï
ïx +
î
2
1 y = 48
3

6．3 分）若 a > b ，则下列不等式不正确的是( )

A． -5a > -5b
B． a > b
5 5

C． 5a > 5b

D． a - 5 > b - 5

7．（3 分）若 4 的平方根是 x ， -27 的立方根是 y ，则2x - y 的值为( )
A．7 B．11 C． -1 或 7 D．11 或-5
8．（3 分）已知第二象限的点 E(a - 3, a + 1) 到 y 轴的距离等于 1，则 a 的值为( )
A．4 B．0 C．2 D． -2

9．（3 分）如图， AD / / EF / / BC ，且 EG / / AC ．那么图中与Ð1 相等的角（不包括Ð1) 的个数是( )

A．2 B．4 C．5 D．6

10．（3 分）已知方程组ìa1 x + b1 y = c1
的解是ìx = 3 ，则方程组ì3a1x + 2b1 y = 5c1

的解是( )

ía x + b y = c
í y = 4
í + =

î 2 2 2 î
î3a2 x
2b2 y
5c2

ìx = 1

ìx = 3
ìx = 10

ìx = 5

î
î
î
A. í y = 2
B. í y = 4
C． ï 10
íï
y =
î 3
D． í y = 10

7
二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）
的小数部分为 ．

12．（3 分）命题“同位角相等”是 ．（填“真命题”或“假命题” ) ．
13．（3 分）若不等式(a + 3)x < a + 3 的解集是 x > 1 ，则 a 的取值范围是 ．
14．（3 分）如图，已知直线 AB / /CD ， ÐBEF 的平分线交CD 于点G ，若Ð1 = 48° ，则Ð2 = ．
15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中， A(1, 0) ， B(0, -2) ，将线段 AB 先向上平移 2 个单位长度，再向

右平移 3 个单位长度，得到线段 DC ，点 A 与点 D 为对应点．点 P 为 y 轴上一点，且 S
= 1 S ，

则满足要求点 P 的坐标为 ．
DACP
4 四边形ABCD

16．（3 分）如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O 出发，向正东走 3 米到达点 A1 ，再向正北方向走 6 米到达点 A2 ，再向正西方向走 9 米到达点 A3 ，再向正南方向走 12 米到达点 A4 ，再向正东方向走15 米到达点 A5 ，以此规律走下去，当种子到达点 A2023 时，它在坐标系中坐标为 ．

三、解答题（共 9 个小题，共 102 分）
1 - 5
9
5
17．（8 分）计算：

25
3 -8
（1） + -
； （2） |
- 2 | -(3 - 7 5) ．

í
18．（10 分）（1）解方程组： ì2x = y + 8 ．
- =
î3x 2 y 11
（2）解不等式 x - 2 … 7 - x ，并把解集在数轴上表示出来．
2 3

19．（10 分）如图， Ð1 = ÐD ， ÐC = 44° ，求ÐB 的度数．

20．（10 分）如图，有一个面积为 400cm2 的正方形．
（1） 正方形的边长是多少？
（2） 若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为 5: 4 ，且面积为
360cm2 ？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．

21．（12 分）如图所示，若 A(3, 4) ，按要求回答下列问题：
（1） 在图中建立正确的平面直角坐标系．
（2） 将DABC 向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位得△ A1B1C1 ，在图中画出△ A1B1C1 ，并写出 B1 点坐标．
（3） 求DABC 的面积．

í4x + y = 1 - a
22．（12 分）已知关于 x 、 y 的方程组ìx - y = 2a
î

的解还满足 x + y = 1 ，求 a 的值．

23．（12 分）某工厂接受了 20 天内生产 1200 台GH 型电子产品的总任务．已知每台GH 型产品由 4 个G 型装置和3 个 H 型装置配套组成．工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好全部配套组成GH 型产品．
（1） 按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2） 为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工 4 个G 型装置．设原来每天安排 x 名工人生产G 型装置，后来补充 m 名新工人， 求 x 的值（用含 m 的代数式表示）．

24．（14 分）如图， AD / / BC ， ÐBAD 的平分线交 BC 于点G ， ÐBCD = 90° ．
（1） 试说明： ÐBAG = ÐBGA ；
（2） 如图 1，点 F 在 AG 的反向延长线上，连接CF 交 AD 于点 E ，若ÐBAG - ÐF = 45° ，求证：CF 平分
ÐBCD ．
（3） 如图 2，线段 AG 上有点 P ，满足ÐABP = 3ÐPBG ，过点C 作CH / / AG ．若在直线 AG 上取一点 M ，

使ÐPBM = ÐDCH ，求 ÐABM
ÐGBM

的值．

25．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，AB / /CD / / x 轴，BC / / DE / / y 轴，且 AB = CD = 5cm ，OA = 7cm ，
DE = 4cm ，动点 P 从点 A 出发，沿 ABC 路线向点C 运动；动点Q 从点O 出发，沿OED 路线向点 D 运动，
P ， Q 两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，连接 PO ， PQ ，其中 PQ 不垂直于 x 轴．
（1） 直接写出 B ， D 两点的坐标；
（2） 点 P ， Q 开始运动后， ÐAOP ， ÐOPQ ， ÐPQE 三者之间存在何种数量关系，请说明理由；
（3） 若动点 P ， Q 分别以每秒1cm 和每秒2cm 的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形OPQ 的面积为 25cm2 ．

2023-2024 学年广东省广州市越秀区铁一中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）

1．（3 分）在 22 ，0， p ， -0.5 ，

10
，3.161161116 六个实数中，无理数有( )

7 2
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

10
【解答】解：在 22 ，0， p ， -0.5 ， ，3.161161116 六个实数中，无理数有 p ，

10
，共 2 个．

7 2 2
故选： B ．
2．（3 分）在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是( )

A． (3, 6) B． (-1, -3)
C． (-3, 2)
D． (5, -3)

【解答】解： A ． (3, 6) 在第一象限，故 A 不符合题意；
B ． (-1, -3) 在第三象限，故 B 不符合题意；
C ． (-3, 2) 在第二象限，故C 符合题意； D ． (5, -3) 在第四象限，故 D 不符合题意． 故选： C ．
31
3．（3 分）估计 - 2 的值应在( )
A.2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间
31
【解答】解：Q5 < < 6 ，
31
\3 < - 2 < 4 ， 故选： B ．
4．（3 分）如图，下列条件中不能判定 AB / /CD 的是( )

A． Ð1 + Ð4 = 180° B． Ð4 = Ð6 C． Ð5 + Ð6 = 180° D． Ð3 = Ð5
【解答】解： A 、Ð1 + Ð4 = 180° ， Ð4 + Ð5 = 180° ，则Ð1 = Ð5 ，根据“同位角相等，两直线平行”可以判定 AB / /CD ，不符合题意；
B 、若Ð4 = Ð6 时，根据“同位角相等，两直线平行”可以判定 AB / /CD ，不符合题意；
C 、Ð5 + Ð6 = 180° ，Ð4 + Ð5 = 180° ，则Ð4 = Ð6 ，根据“同位角相等，两直线平行”可以判定 AB / /CD ， 不符合题意；
D 、Ð3 与Ð5 是对顶角，根据Ð3 = Ð5 不能判定 AB / /CD ，符合题意． 故选： D ．

5．（3 分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共分三卷，在卷下中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”
译文大致为：“甲、乙两人带着钱，不知道是多少．若甲得到乙钱数的 1 ，则甲的钱数为 48．若乙得到甲
2
钱数的 2 ，则乙的钱数也为 48．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱 x ，乙持钱 y ，则根据题意可以列出方
3
程组为( )

ì1 x + y = 48

ìx + 1 y = 48

ìx - 1 y = 48

ìx + 1 y = 48

í
A. ï 2
ï
ïx +
î
2 y = 48
3
B. ï
í 2
ï
ïî 3
2
x + y = 48
C. ï
í 2
ï
ïî 3
2
x + y = 48
D. ï
í
ï
ïx +
î
2
1 y = 48
3

ìx + 1 y = 48

í 2
【解答】解：由题意得： ï
ï
ïî 3
2 ，
x + y = 48

故选： B ．
6．（3 分）若 a > b ，则下列不等式不正确的是( )

A． -5a > -5b
B． a > b
5 5

C． 5a > 5b

D． a - 5 > b - 5

【解答】解： A ．Q a > b ，
\-5a < -5b ，故本选项符合题意；
B ．Q a > b ，
\ a > b ，故本选项不符合题意；
5 5
C ．Q a > b ，
\5a > 5b ，故本选项不符合题意；
D ．Q a > b ，
\ a - 5 > b - 5 ，故本选项不符合题意； 故选： A ．
7．（3 分）若 4 的平方根是 x ， -27 的立方根是 y ，则2x - y 的值为( )
A．7 B．11 C． -1 或 7 D．11 或-5
【解答】解：Q 4 的平方根是 x ， -27 的立方根是 y ，
\ x = ±2 ， y = -3 ，
\ 2x - y = -2 ´ 2 - (-3) = -1 或 2x - y = 2 ´ 2 - (-3) = 7 ， 故选： C ．

8．（3 分）已知第二象限的点 E(a - 3, a + 1) 到 y 轴的距离等于 1，则 a 的值为( )
A．4 B．0 C．2 D． -2
【解答】解：Q第二象限的点 E(a - 3, a + 1) 到 y 轴的距离等于 1，
\ a - 3 = -1 ， 解得 a = 2 ． 故选： C ．
9．（3 分）如图， AD / / EF / / BC ，且 EG / / AC ．那么图中与Ð1 相等的角（不包括Ð1) 的个数是( )

A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：Q EG / / AC ，
\Ð1 = ÐFEG = ÐFHC ，
Q EF / / BC ，
\Ð1 = ÐACB ， ÐFEG = ÐBGE ，
Q AD / / EF ，
\Ð1 = ÐDAC ，
\与Ð1 相等的角有： ÐGEF ， ÐFHC ， ÐBCA ， ÐBGE ， ÐDAC ，共 5 个． 故选： C ．

10．（3 分）已知方程组ìa1 x + b1 y = c1
的解是ìx = 3 ，则方程组ì3a1x + 2b1 y = 5c1
的解是( )

ía x + b y = c
í y = 4
í + =

î 2 2 2 î
î3a2 x
2b2 y
5c2

ìx = 1

ìx = 3
ìx = 10

ìx = 5

î
î
A. í y = 2
B. í y = 4
C. ï
íï
y =
î
10 D． í y = 10 3

î
ìa g3 x + b g 2 y = c

ì3a1x + 2b1 y = 5c1
ï 1 5 1 5 1

【解答】解：方程组í + = 可以变形为：方程组í 3 ，

î3a2 x 2b2 y 5c2
ïa g x + b g 2 y = c

设 3 x = m ， 2 y = n ，则方程组可变为ìa1m + b1n = c1 ，

ï 2 5 2 5 2

5 5 ía m + b n = c
î 2 2 2
\ m = 3 ， n = 4 ，
î
即 3 x = 3 ， 2 y = 4 ，解得ìx = 5 ．

5 5

故选： D ．
í y = 10

7
二、填空题（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）

7
的小数部分为
- 2 ．

【解答】解；Q 4 < 7 < 9 ，
7
\ 2 < < 3 ，
7
7
7
\ 的小数部分为 - 2 ，

故答案为
- 2 ．

12．（3 分）命题“同位角相等”是 假命题 ．（填“真命题”或“假命题” ) ．

【解答】解：根据平行线的性质知：两直线平行，同位角相等， 故原命题错误，是假命题，
故答案为：假命题．
13．（3 分）若不等式(a + 3)x < a + 3 的解集是 x > 1 ，则 a 的取值范围是 a < -3 ．
【解答】解：Q不等式(a + 3)x < a + 3 的解集是 x > 1 ，
\ a + 3 < 0 ，
\ a < -3 ，
故答案为： a < -3 ．
14．（3 分）如图，已知直线 AB / /CD ， ÐBEF 的平分线交CD 于点G ，若Ð1 = 48° ，则Ð2 = 24° ．
【解答】解：Q直线 AB / /CD ， Ð1 = 48° ，
\ÐBEF = Ð1 = 48° ，
又QÐBEF 的平分线交CD 于点G ，
\Ð2 = 1 ÐBEF = 1 ´ 48° = 24° ．
2 2
故答案为： 24° ．

15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中， A(1, 0) ， B(0, -2) ，将线段 AB 先向上平移 2 个单位长度，再向

右平移 3 个单位长度，得到线段 DC ，点 A 与点 D 为对应点．点 P 为 y 轴上一点，且 S
= 1 S ，

则满足要求点 P 的坐标为 (0,1) 或(0, -1) ．

【解答】解：Q A(1, 0) ， B(0, -2) ，
\OA = 1 ， OB = 2 ，
又Q将线段 AB 先向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到线段 DC ，
\点C(3, 0) ， D(4, 2) ，
DACP
4 四边形ABCD

\ S四边形ABCD

= 2S


DABC
= 2 ´ 1 ´ 2 ´ 2 = 4 ，
2

Q S = 1 S ，

DACP 4 四边形ABCD

\ SDACP = 1，
Q点 P 在 y 轴上，

\ 1 ´ 2´ | y |= 1 ， 2
\ y = ±1 ，
\点 P 的坐标为(0,1) 或(0, -1) ， 故答案为： (0,1) 或(0, -1) ．
16．（3 分）如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O 出发，向正东走 3 米到达点 A1 ，再向正北方向走 6 米到达点 A2 ，再向正西方向走 9 米到达点 A3 ，再向正南方向走 12 米到达点 A4 ，再向正东方向走15 米到达点 A5 ，以此规律走下去，当种子到达点 A2023 时，它在坐标系中坐标为 (-3036, 3036) ．

【解答】解：根据题意可知： OA1 = 3 ， A1 A2 = 6 ， A2 A3 = 9 ， A3 A4 = 12 ， A4 A5 = 15 ， A5 A6 = 18 ，

点 A1 的坐标为(3, 0) ；
点 A2 的坐标为(3, 0 + 6) ，即(3, 6) ；
点 A3 的坐标为(3 - 9, 6) ，即(-6, 6) ；
点 A4 的坐标为(-6, 6 - 12) ，即(-6, -6) ； 点 A5 的坐标为(-6 + 15, -6) ，即(9, -6) ；
依此类推，可得点 A6 的坐标为(9, -6 + 18) ，即(9,12) ．A7 (-12,12) ，A8 (-12, -12) ，A9 (15, -12) ，A10 (15,18)¼¼ ；

归纳可得： A
(-3 ´ 2023 + 1,3 ´ 2023 + 1 ，

2023 2 2 )
即 A2023 (-3036, 3036) ；
故答案为(-3036, 3036) ．
三、解答题（共 9 个小题，共 102 分）

1 - 5
9
5
17．（8 分）计算：

25
3 -8
（1） + -
； （2） |
- 2 | -(3 - 7 5) ．

4
9
【解答】解：（1）原式 = 5 - 2 - = 3 - 2 = 7 ；
3 3

5
5
5
（2）原式= - 2 - 3 + 7 = 8 - 5 ．
í
18．（10 分）（1）解方程组： ì2x = y + 8 ．
- =
î3x 2 y 11
（2）解不等式 x - 2 … 7 - x ，并把解集在数轴上表示出来．
2 3
ì2x = y + 8①
【解答】解：（1） í ，
î3x - 2 y = 11②
由①得： y = 2x - 8 ③，
把③代入②得： 3x - 2(2x - 8) = 11 ， 解得： x = 5 ，
把 x = 5 代入③得： y = 2 ´ 5 - 8 = 2 ，
ìx = 5
î
\原方程组的解： í y = 2 ；
（2） x - 2 … 7 - x ，
2 3
3(x - 2)…2(7 - x) ，
3x - 6…14 - 2x ，
3x + 2x…14 + 6 ，

5x…20 ，
x…4 ，
\该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

19．（10 分）如图， Ð1 = ÐD ， ÐC = 44° ，求ÐB 的度数．

【解答】解：Q Ð1 = ÐD ，
\ AB / /CD ，
\ÐB = 180° - ÐC = 180° - 44° = 136° ．
20．（10 分）如图，有一个面积为 400cm2 的正方形．
（1） 正方形的边长是多少？
（2） 若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为 5: 4 ，且面积为
360cm2 ？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．

【解答】解：（1）Q正方形的面积为 400cm2 ，
400
\正方形的边长是 = 20(cm) ；
（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为 4xcm ， 则5x × 4x = 360 ，

2
解得： x = 3
2
则5x = 15
，

> 20 ，

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为 5: 4 ，且面积为
360cm2 ．

21．（12 分）如图所示，若 A(3, 4) ，按要求回答下列问题：
（1） 在图中建立正确的平面直角坐标系．
（2） 将DABC 向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位得△ A1B1C1 ，在图中画出△ A1B1C1 ，并写出 B1 点坐标．
（3） 求DABC 的面积．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：
B1 点坐标为(3, -1) ；
（3） DABC 的面积= 4 ´ 4 - 1 ´ (3 ´ 4 + 1´ 2 + 2 ´ 4) = 5 ．
2

í + = -4x y 1 a
22．（12 分）已知关于 x 、 y 的方程组ìx - y = 2a
î

的解还满足 x + y = 1 ，求 a 的值．

ìx - y = 2a①
î
【解答】解： í4x + y = 1 - a② ，
② + ①，得 x = a + 1 ，
5
①´4 - ②，得 y = 1 - 9a ，
5
Q x + y = 1 ，
\ a + 1 + 1 - 9a = 1 ，解得 a = - 3 ．
5 5 8

23．（12 分）某工厂接受了 20 天内生产 1200 台GH 型电子产品的总任务．已知每台GH 型产品由 4 个G 型装置和3 个 H 型装置配套组成．工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好全部配套组成GH 型产品．
（1） 按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2） 为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工 4 个G 型装置．设原来每天安排 x 名工人生产G 型装置，后来补充 m 名新工人， 求 x 的值（用含 m 的代数式表示）．
【解答】解：（1）设有 x 名工人加工G 型装置，则有(80 - x) 名工人加工 H 型装置，
根据题意， 6x = 3(80 - x) ，
4 3
解得 x = 32 ，
则80 - 32 = 48 （套) ，
答：每天能组装 48 套GH 型电子产品；
（2）设招聘 a 名新工人加工G 型装置，仍设 x 名工人加工G 型装置， (80 - x) 名工人加工 H 型装置， 根据题意， 6x + 4a = 3(80 - x) ，

4 3
整理可得， x = 160 - 2a ，
5
另外，注意到80 - x…1200 ，即 x„20 ，
20
于是160 - 2a „20 ，
5
解得： a…30 ，
答：至少应招聘 30 名新工人，

24．（14 分）如图， AD / / BC ， ÐBAD 的平分线交 BC 于点G ， ÐBCD = 90° ．
（1） 试说明： ÐBAG = ÐBGA ；
（2） 如图 1，点 F 在 AG 的反向延长线上，连接CF 交 AD 于点 E ，若ÐBAG - ÐF = 45° ，求证：CF 平分

ÐBCD ．
（3） 如图 2，线段 AG 上有点 P ，满足ÐABP = 3ÐPBG ，过点C 作CH / / AG ．若在直线 AG 上取一点 M ，

使ÐPBM = ÐDCH ，求 ÐABM
ÐGBM

的值．

【解答】（1）证明：Q AD / / BC ，
\ÐGAD = ÐBGA ，
Q AG 平分ÐBAD ，
\ÐBAG = ÐGAD
\ÐBAG = ÐBGA ；
（2） 解：QÐBGA = ÐF + ÐBCF ，
\ÐBGA - ÐF = ÐBCF ，
QÐBAG = ÐBGA ，
\ÐÐBAG - ÐF = ÐBCF ，
QÐBAG - ÐF = 45° ，
\ÐBCF = 45° ，
QÐBCD = 90° ，
\CF 平分ÐBCD ；
（3） 解：有两种情况：
①当 M 在 BP 的下方时，如图 5， 设ÐABC = 4x ，
QÐABP = 3ÐPBG ，
\ÐABP = 3x ， ÐPBG = x ，
Q AG / /CH ，
\ÐBCH = ÐAGB = 180° - 4x = 90° - 2x ，
2

QÐBCD = 90° ，
\ÐDCH = ÐPBM = 90° - (90° - 2x) = 2x ，
\ÐABM = ÐABP + ÐPBM = 3x + 2x = 5x ，
ÐGBM = 2x - x = x ，
\ÐABM : ÐGBM = 5x : x = 5 ；
②当 M 在 BP 的上方时，如图 6，
同理得： ÐABM = ÐABP - ÐPBM = 3x - 2x = x ，
ÐGBM = 2x + x = 3x ，
\ÐABM : ÐGBM = x : 3x = 1 ．
3

综上， ÐABM
ÐGBM

的值是 5
或 1 ．
3

25．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，AB / /CD / / x 轴，BC / / DE / / y 轴，且 AB = CD = 5cm ，OA = 7cm ，
DE = 4cm ，动点 P 从点 A 出发，沿 ABC 路线向点C 运动；动点Q 从点O 出发，沿OED 路线向点 D 运动，
P ， Q 两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，连接 PO ， PQ ，其中 PQ 不垂直于 x 轴．
（1） 直接写出 B ， D 两点的坐标；
（2） 点 P ， Q 开始运动后， ÐAOP ， ÐOPQ ， ÐPQE 三者之间存在何种数量关系，请说明理由；
（3） 若动点 P ， Q 分别以每秒1cm 和每秒2cm 的速度运动，则运动时间为多少秒时，三角形OPQ 的面积为 25cm2 ．

【解答】解：（1）Q AB / /CD / / x 轴， BC / / DE / / y 轴，且 AB = CD = 5cm ， OA = 7cm ， DE = 4cm ，
\ B(5, 7) ， C(5, 4) ， AB + CD = 10(cm) ，

\ D(10, 4) ；
（2） ÐPQE + ÐAOP - ÐOPQ = 90° 或ÐPQE + ÐOPQ - ÐAOP = 180° ，理由如下： 分情况讨论：①当点 P 在 AB 上， Q 在OE 上时，如图 1 所示：

Q AB / /CD / / x 轴，
\ÐPQE = ÐAPQ = ÐAPO + ÐOPQ = 90° - ÐAOP + ÐOPQ ，
\ÐPQE + ÐAOP - ÐOPQ = 90° ；
②当点 P 在 BC 上， Q 在OE 上时，如图 2 所示：

过 P 作 PM / /OE ，则 PM / / AB ，
\ÐPQE = ÐMPQ = ÐMPO + ÐOPQ = 90° - ÐAOP + ÐOPQ ，
\ÐPQE + ÐAOP - ÐOPQ = 90° ；
③当点 P 在 AB 上， Q 在 DE 上时，如图 3 所示：

过Q 作QN / /OE ，则QN ^ DE ， QN / / AB ，
\ÐPQN = ÐBPQ ，
\ÐPQE = 90° + PQN = 90° + ÐBPQ = 90° + 180° - ÐAPO - ÐOPQ = 270° - (90° - ÐAOP) - ÐOPQ = 180° + ÐAOP - ÐOPQ ，
\ÐPQE + ÐOPQ - ÐAOP = 180° ；

④当点 P 在 BC 上， Q 在 DE 上时，如图 4 所示：

Q BC / / DE / / y 轴，
\ÐAOP + ÐBPO = 180° ， ÐPQE = ÐBPQ ，
\ÐBPO = 180° - ÐAOP ，
\ÐPQE = ÐBPQ = 360° - ÐBPO - ÐOPQ = 360° - (180° - ÐAOP) - ÐOPQ = 180° + ÐAOP - ÐOPQ ，
\ÐPQE + ÐOPQ - ÐAOP = 180° ；
综上所述， ÐAOP ， ÐOPQ ， ÐPQE 三者之间存在的数量关系为 ÐPQE + ÐAOP - ÐOPQ = 90° 或
ÐPQE + ÐOPQ - ÐAOP = 180° ；
（3） 设点 P 、Q 的运动时间为t 秒，分两种情况：
① 0 < t < 5 时，点 P 在 AB 上， Q 在OE 上，如图 1 所示：

则OQ = 2t cm ，
由题意得： DOPQ 的面积= 1 ´ 2t ´ 7 = 25 ，
2
解得： t = 25 ；
7
② 5„t„7 时，点 P 在 BC 上， Q 在 DE 上，
过 P 作OE 的平行线交 ED 的延长线于G ，如图 5 所示：

则 BP = (t - 5)cm ， QE = (2t - 10)cm ，
QOA = 7cm ， DE = 4cm ，
\GE = OA - BP = 7 - (t - 5) = (12 - t)cm ，
\GQ = GE - QE = 12 - t - (2t - 10) = (22 - 3t)cm ，
QDOPQ 的面积= 梯形 POEG 的面积-DOEQ 的面积-DPQG 的面积= 25 ，
\ 1 ´ (5 + 10) ´ (12 - t) - 1 ´10 ´ (2t - 10) - 1 ´ 5 ´ (22 - 3t) = 25 ，
2 2 2
解得： t = 6 ；
综上所述，运动时间为 25 秒或 6 秒时，三角形OPQ 的面积为25cm2 ．
7