高中立体几何模拟题附答案.doc

高中立体几何模拟题

一．选择题（共9小题）
1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（　　）
①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；
③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；
④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　　）

A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
3．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（　　）
A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4
4．已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（，+∞）
5．若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（　　）
A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1
6．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（　　）
A．（﹣1，﹣2，5） B．（﹣1，1，﹣1） C．（1，1，1） D．（1，﹣1，﹣1）
7．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（　　）
A．（1，﹣2，0） B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4） D．（2，4，4）
8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）
10．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．
11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．
12．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是．

三．解答题（共18小题）
13．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．
（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；
（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；
（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

14．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．
（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）求证：A1C∥平面AB1D．

15．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

16．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC．

17．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC．

18．如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
（1）证明：AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．

20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；
（Ⅱ）求证：BD⊥FG．

21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点．
（I）求证：CA1⊥C1P；
（II）若四面体P﹣AB1C1的体积为，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．

22．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．

24．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．

25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

26．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．

27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

29．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

30．如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）求二面角A﹣PF﹣E的正切值．

2017年03月25日1879804507的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）
1．（2016春•孝感期末）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（　　）
①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；
③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；
④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：P关于x轴的对称点为P1（x，﹣y，﹣z）；
关于yOz平面的对称点为P2（﹣x，y，z）；
关于y轴的对称点为P3（﹣x，y，﹣z）；
点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．
故①②③错误．
故选C．

2．（2015秋•石家庄校级期末）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　　）

A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，
∴=，，=．
∴=﹣
=
=[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]
=
=（﹣2，﹣3，﹣3）．
故选：B．

3．（2015•邹城市校级模拟）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（　　）
A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4
【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，
∵α∥β，由题意可得，
∴k=4．
故选：D．

4．（2014秋•越城区校级期末）已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，）∪（，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（，+∞）
【解答】解：∵与 的夹角为钝角，
∴cos＜，＞＜0．且 与 不共线
∴•＜0．且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣1，x﹣1，1）
∴﹣3﹣2（x﹣1）﹣3＜0．且x≠
∴x的取值范围是（﹣2，）∪（，+∞）．
故选B．

5．（2014秋•从化市校级期末）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（　　）
A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1
【解答】解：∵，，，cos60°=．
∴，化为λ2+16λ﹣17=0，解得λ=﹣17或1．
故选B．

6．（2015春•济南校级期中）设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（　　）
A．（﹣1，﹣2，5） B．（﹣1，1，﹣1） C．（1，1，1） D．（1，﹣1，﹣1）
【解答】解：∵（﹣1，1，﹣1）•（1，2，1）=﹣1+2﹣1=0，（﹣1，1，﹣1）•（﹣1，1，2）=1+1﹣2=0，
∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量．
故选B．

7．（2016秋•兴庆区校级期末）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（　　）
A．（1，﹣2，0） B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4） D．（2，4，4）
【解答】解：∵（2，﹣4，4）=2（1，﹣2，2），
∴向量（2，﹣4，4）与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．
故选C．

8．（2015•株洲一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）
∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜，＞═=．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
故答案为D．

9．（2015•广西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．
因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．

过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．
因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以
∠FBG=∠BCA=．
故选A．

二．填空题（共3小题）
10．（2016秋•碑林区校级期末）设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=　4　．
【解答】解：∵α∥β，∴∥，
∴存在实数λ使得．
∴，解得k=4．
故答案为：4．

11．（2009•安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是　（0，﹣1，0）　．
【解答】解：设M（0，y，0）
由12+y2+4=1+（y+3）2+1
可得y=﹣1
故M（0，﹣1，0）
故答案为：（0，﹣1，0）．

12．（2016秋•临沂期末）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是．

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，
则E（0，1，0），F（0，0，1），C1（2，0，2）．
∴=（0，﹣1，1），=（2，0，2）．
∴===．
∴异面直线EF和BC1的夹角为．
故答案为：．

三．解答题（共18小题）
13．（2015•重庆校级模拟）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．
（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；
（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；
（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

【解答】（I）证明：取AB中点M，连FM，GM．
∵G为对角线AC的中点，
∴GM∥AD，且GM=AD，
又∵FE∥AD，
∴GM∥FE且GM=FE．
∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．
又∵EG⊄平面ABF，FM⊂平面ABF，
∴EG∥平面ABF．…（4分）
（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E﹣ABG的高．
∵在△AEF中AF=FE，∠AFE=60°，
∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴EN=AE∙sin60°=．
∴三棱锥B﹣AEG的体积为．…（8分）
（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，
∴CD⊥平面AFED，
∴CD⊥AE．
∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE=60°，
∴∠FAD=120°．
又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，
由余弦定理，得ED=．
∴EA2+ED2=AD2，
∴ED⊥AE．
又∵ED∩CD=D，
∴AE⊥平面DCE，
又AE⊂面BAE，
∴平面BAE⊥平面DCE． …（12分）

14．（2014•南昌模拟）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．
（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）求证：A1C∥平面AB1D．

【解答】证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥B1B （2分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD （2分）
又B1B∩BC=B，
所以AD⊥平面B1BCC1 （4分）
又AD⊂平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1 （6分）
（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （7分）
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点 （8分）
又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，
所以DE∥A1C （10分）
又DE⊂平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D （12分）

15．（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD⊂平面ABD．
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，
从而

所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：

16．（2016•徐汇区一模）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．
（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC．

【解答】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A
∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，

又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC
（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，
∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，
∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，
∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．

17．（2016秋•咸阳期末）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC．

【解答】证明（1）连接OE，
在△CAP中，CO=OA，CE=EP，
∴PA∥EO，
又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PO
又∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC

18．（2014•嘉定区校级二模）如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
（1）证明：AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

【解答】证明：（1）平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD
（2）取VD中点E，连接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴
∵AB⊥面VAD，AE，VD⊂平面VAD
∴AB⊥VD，AB⊥AE∴AE⊥VD，AB⊥VD，AB∩AE=A，且AB，AE⊂平面ABE，D
VD⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，∴BE⊥VD，
∴∠AEB即为所求的二面角的平面角．
在RT△ABE中，，
cos∠AEB=

19．（2012•河南模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．

【解答】解：（1）取AD中点F，连接EF、CF
∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA
∵EF⊈平面PAB，PA⊆平面PAB，∴EF∥平面PAB
∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC==2
又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴AD=4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形
∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB
∵CF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE⊆面CEF，∴CE∥平面PAB
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD
又∵AC⊥CD，PAAC是平面PAC内的相交直线
∴CD⊥平面PAC
∵CD⊆平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC
过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC
∴EH∥CD
Rt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD==2
∵E是CD中点，EH∥CD，∴EH=CD=
∵PA⊥AC，∴SRt△PAC==2
因此，三棱锥E﹣PAC的体积V=S△PAC×EH=

20．（2016春•哈尔滨校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；
（Ⅱ）求证：BD⊥FG．

【解答】证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，

∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，
∴FG∥平面PBD…（6分）
（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，
又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，
∴BD⊥FG…（14分）

21．（2009•丹东二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点．
（I）求证：CA1⊥C1P；
（II）若四面体P﹣AB1C1的体积为，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．

【解答】（I）证明：连接AC1，∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，又∵AB⊥AC．
∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1⊂平面A1ACC1，∴AB⊥CA1．（2分）
∵AC=AA1=1，∴四边形A1ACC1为正方形，∴AC1⊥CA1．
∵AC1∩AB=A，∴CA1⊥平面AC1B．（4分）
又C1P⊂平面AC1B，∴CA1⊥C1P． （6分）
（II）解：∵AC⊥AB，AA1⊥AC，且C1A1⊥平面ABB1A，BB1⊥AB，
由，知=，
解得PA=1，P是AB的中点．
（8分）

连接A1P，则PB1⊥A1P，∵C1A1⊥平面A1B1BA，∴PB1⊥C1A1，∴PB1⊥C1P，
∴∠C1PA1是二面角的平面角，（10分）
在直角三角形C1PA1中，，
∴，即二面角的余弦值是

22．（2003•天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．

【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FM=D1D．
又ECCC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d．
则．
∵AA1=2，AB=1．
∴，，
∴．
∴
故点D1到平面DBE的距离为．

23．（2013•广州三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．

【解答】（本题满分13分）
解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．
∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．
又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．
又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．
∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM． …（6分）
解法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，
可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），，D（0，2，0）．
因为 ，所以PB⊥DM． …（6分）

（Ⅱ）解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD与平面ADMN所成的角为∠BQN．
设BC=1，在Rt△BQN中，则，，故．
所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为． …（13分）
解法2：因为．
所以 PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，
因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角．
因为 ．
所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为． …（13分）

24．（2014•烟台二模）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．

【解答】（1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，
∵BC=2AD，G为BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG
因为AB不在平面DEG中，DG在平面DEG内，∴AB∥平面DEG．
（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），G（2，2，0）．
∵，∴
∴BD⊥EG．
（3）解：由已知得是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量为
∵，∴，令z=1，得x=﹣1，y=2，即．
设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，
则，∴
∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值为．

25．（2015•漳州模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
则，，．
设平面SCD的法向量是，则，即
令z=1，则x=2，y=﹣1．于是．
∵，∴．
又∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
则==，即．
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设N（x，2x﹣2，0），则．
∴===．

当，即时，．

26．（2011•琼海一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．

【解答】解：（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得
∴AB⊥AC
以A为原点，分别以AB、AC、AA1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图
则A（0，0，0）B（2，0，0）
即AB⊥A1C．
（2）由（1）知
设二面角A﹣A1C﹣B的平面角为α，=
∴

27．（2012•日照二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

【解答】（1）证明：连BD，
∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，
∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）当t=时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=a．
∴PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴==
即：PM=PC，t=；
（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0）），Q（0，0，0），P（0，0，）
设平面MQB的法向量为，可得，
而PA∥MN∴，∴y=0，x=
∴
取平面ABCD的法向量
∴cos=
∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．

28．（2015•玉山县校级模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．
（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．
又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，
又AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．
（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O﹣xyz．
其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．
不妨设AB=2，则A（2，﹣1，0），B（0，﹣1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）．
=（﹣2，0，0），=（﹣2，1，），．
设=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则•=0，•=0，
即取z1=﹣1，得=（0，，﹣1）．
设=（x2，y2，z2）为面ACA1的法向量，则•=0，•=0，
即取x2=，得=（，0，2）．
所以cos〈n1，n2＞==﹣．
因此二面角B﹣AC﹣A1的余弦值为﹣．

29．（2016•青岛一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

【解答】证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=．
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，∴，
∴．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=，
∴，
∴，
∴MN∥PD．
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
∴B（4，0，0），C，，P（0，0，4）．
由（Ⅱ）可知，为平面PAC的法向量．
，．
设平面PBC的一个法向量为，
则，即，
令z=3，得x=3，，则平面PBC的一个法向量为，
设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则．
所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为．

30．（2012•东港区校级模拟）如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）求二面角A﹣PF﹣E的正切值．

【解答】解（Ⅰ）证明：取BP中点G，连EG，由E为PC中点
故EG=BC，且EG∥BC
又∵F为OD中点
∴OF=BC=OD，且OF∥BC∥OD
∴EG与OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形
∴EF∥GO则EF∥面PBO
（Ⅱ）连CO，OP，则BA∥CO，又AB⊥AD，面ABCD⊥面APD
∴CO⊥面APD
故面COP⊥面APD
过E作EN⊥OP于N，则EN⊥面APD
过N作NH⊥PF于H，连EH，
则EH⊥PF，故∠NHE为二面角A﹣PF﹣E的平面角
由于E为PC中点，故EN=CO=AB=1
∵∠APD=90°，AD=4，PD=2
由O为AD的中点，故OD=2，又F为OD的中点，可知PF⊥AD
从而NH∥OD又N是DP的中点∴H为PF的中点
∴NH=OF=
∴tan∠NHE==2
∴二面角A﹣PF﹣E平面角的正切值为2．

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