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鸡兔同笼问题系列提升教案
课题介绍：
鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。通过学习解鸡兔同笼问题，可以提高我们的分析问题、解决问题的能力。
例题：大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题，这就是著名的“鸡兔同笼”问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
意思就是：笼子里有若干只鸡与兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问鸡与兔各有多少只？
五种解法举例：
方法一：列表枚举法
列表枚举法就是让我们列出表格，采用依次列举，逐步尝试的方法来解决这个问题。详细过程见下表：
鸡
35
34
33
32
……
26
25
24
23
兔
0
1
2
3
……
9
10
11
12
脚
70
72
74
76
……
88
90
92
94
用这种方法解题简单，容易理解，但过程太过笨拙、繁琐。
方法二：抬腿法
这是古人解题的方法，也就是《孙子算经》中采用的方法。
1、抬腿，即鸡“金鸡独立”，兔两个后腿着地，前腿抬起，腿的数量就为原来数量的一半。94÷2=47只脚。
2、现在鸡有一只脚，兔有两只脚。笼子里只要有一只兔子，脚数就比头数多1。
3、那么脚数与头数的差47－35=12就是兔子的只数。
4、最后用头数减去兔的只数35－12=23就得出鸡的只数。
所以，我们可以总结出这样的公式：兔子的只数=总腿数÷2－总只数。
方法三：假设法
假设法是鸡兔同笼类问题最常用的方法之一。
假设这35个头都是兔子，那么腿数就应该是35×4=140，就比94还多，那么是哪里多的呢？当然是我们把两条腿的鸡看成了四条腿的兔子了。我们都知道一只兔子比一只鸡多2条腿，多2条腿就有1只鸡，那么多的腿数当中有多少个2就有多少只鸡。
我们可以列式为：
鸡的只数=（35×4－94）÷（4－2）。
总结公式为：鸡的只数=（兔的脚数×总只数－总腿数）÷（兔的腿数－鸡的腿数）。
当然我们也可以把这35个头都看成鸡的，那么腿数应该是35×2=70，就比94还少，相信不说你也明白为什么少了？对，因为我们把4条腿的兔子看成了2条腿的鸡，那么每少两条腿就有1只兔子。所以我们可以这样列式：
兔的只数=（94－35×2）÷（4－2）。
总结公式为：兔的只数=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）。
方法四：砍腿法
砍腿法是假设法的深入拓展，它更适合我们小学生的理解方式，下面我就用这种方法来解一下这道题。
我们首先砍去每只鸡、每只兔的两条腿，这样每只鸡就没有腿了，每只兔子就剩下了两条腿，腿的总数也就变成了94－35×2=24（条），那么这24条腿都是砍掉两条腿后的兔子的腿，所以兔子的只数就是24÷2=12（只），鸡的只数就是35－12=23（只）。
我们仔细观察会发现它的计算过程与假设法中先把所有的都看成鸡的做法是一样的。只不过这种说法，我们理解起来更容易而已。
方法五：方程法
1、解：设有X只鸡，那么兔有（35－X）只
数量关系：兔的只数×兔的腿数＋鸡的只数×鸡的腿数=总腿数
4×(35－X)＋2X=94
4×35－4X＋2X=94
2X=140－94
X=46÷2
X=23
兔：35－23=12（只）
答：鸡有23只，兔有12只。
2、解：设有X只兔，那么鸡有（35－X）只
数量关系：兔的只数×兔的腿数＋鸡的只数×鸡的腿数=总腿数
4X＋2 ×(35－X) =94
4X＋ 2×35－2X=94
2X=94－70
X=24÷2
X=12
鸡：35－12=23（只）
答：鸡有23只，兔有12只。
提升部分：
例1：小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
有兔16－10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2：100个与尚140个馒头，大与尚1人分3个馒头，小与尚1人分1个馍馒头。问：大、小与尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馒头问题”演变而得。如果将大与尚、小与尚分别看作鸡与兔，馒头看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大与尚，那么共需馒头300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小与尚去换大与尚，每换一个总人数不变，而馒头就要减少3－1＝2（个），因为160÷2＝80，故小与尚有80人，大与尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小与尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3：彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304－280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19－11＝8（元），所以
买普通文化用品 24÷8=3（套），
买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4：鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200－20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100－30＝70（只）。
解：有兔（2×100－20）÷（2＋4）＝30（只），
有鸡100－30=70（只）。
答：有鸡70只，兔30只。
例5：现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6：一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。
解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。
例7：乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8：小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780－60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780－270×2＝240（下）。
课后练习：
一、填空欢乐谷
1、鸡与兔共有脚240只，已知鸡比兔多15只，那么鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
2、一只蜈蚣40只脚，一只螳螂6只脚，现在又蜈蚣与螳螂共35只，合计有脚822只，蜈蚣有（ ）只，螳螂有（ ）只。
3、饲养小组笼中共有鸡兔100只，总腿数是344条，那么，鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
4、三个班共有108名学生，甲班比乙班多4名，乙班比丙班多1名，则甲、乙、丙三个班学生数分别为（ ）、（ ）、（ ）。
5、一个大人一餐吃2个面包，两个孩子一餐吃1个面包，现在又大人与孩子共99人，一餐刚好吃了99个面包，大人有（ ）人，孩子有（ ）人。
二、练习
1、教师带领同学们去看电影，共买了甲、乙两种电影票50，其中甲票每张5元，乙票每张3.5元，共花了196元。那么买了甲票多少张。
2、红星商店托运50箱饮料，合同规定每箱运费20元，若损坏一箱，除不给运费外，还要赔偿损失100元，运后结算时共付运费760元，损坏了几箱饮料？
3、鸡兔关在同一笼子里，共有48个头，100只脚，问鸡有多少只？
4、50元1千克的茶叶盒80元1千克的茶叶共10千克，一共用去710元。两种茶叶各有多少？
三、 解决问题
1. 某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．问：小华做对几道题？
2. 鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？
3. 一只货船载重260吨，容积1000米3，现装运甲、乙两种货物，已知甲种货物每吨体积是8米3，乙种货物每吨体积2米3，要使这只船的载重量与容积得到充分利用，甲、乙两种货物应分别装多少吨？
4. 自行车越野赛全程 220千米，全程被分为 20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米．问：长9千米的路段有多少个？
5. 有一群鸡与兔，腿的总数比头的总数的2倍多18只，兔有几只？
6. 如果被乘数增加15，乘数不变，积就增加180；如果被乘数不变，乘数增加4，那么积就增加120．原来两个数相乘的积是多少？
7. 编一本695页的故事书的页码，一共要用多少个数字？其中数字“5”用去了几个？
8. 编一本辞典一共用去了6889个数字，这本辞典共有几页？
9. 甲乙两人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发？
10. 某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分．小华得了76分，问他做对几题？
11. 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损1个瓶子还要倒赔1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃损坏了几只？
12. 鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？
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