1、二次函数中直角三角形存在性问题
1. 找点:在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么
以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角 顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
2. 方法:以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
例一:如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.
(1)请求出抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示)，A、B两点的坐标;
(2)经探究可知，△BCM与△ABC的
2、面积比不变，试求出这个比值;
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?若存在，请求出;如果不存在，请说明理由
例2、如图，抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大;
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形?若存在，请求出所有可能点P的坐标;若不存在，请说明理由.
2.如图，抛物线(m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点
3、C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3） 在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，抛物线与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4、在平面直角坐标
4、系中，抛物线与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
5.如图，直线y=x+2与抛物线（a≠0）相交于A（2，2）和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
6、 如图，抛物线经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
第 3 页
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
