武汉二中20152016学年高一上学期期中考试数学试题.doc

武汉二中2015——2016学年上学期
高一年级期中考试
数学试卷
考试时间: 2015年11月6日 上午8: 00—10: 00 试卷满分: 150分

一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 集合的真子集的个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 函数的反函数是 （ ）
A. B. C. D.
3. 集合, 且, 则 （ ）
A. 0 B. C. D.
4. 设集合, 则从A到B的映射的个数有 （ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
5. 函数的定义域是 （ ）
A. B.
C. D.
6. 已知, 则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D.
7. 函数的最大值为, 最小值为, 则的值为 （ ）
A. B. 1 C. －1 D. 2
8. 设, 则的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
9. 下列各式中可以得到的个数为 （ ）
　 (1); (2); (3);
(4); (5)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

10. 已知实数a. b满足等式, 下列五个关系式: ①0＜b＜a; ②a＜b＜0;
③0＜a＜b; ④b＜a＜0; ⑤a＝b. 其中成立的关系式有 （ ）
A. 1个　　　 B. 2个 C. 3个　　　 D. 4个
11. 已知函数是R上的增函数, 且函数图像经过两点, 那么
的解集的补集是 （ ）
A. B.

C. D.
12. 函数, 下列结论不正确的是 （　　）
A. 此函数为偶函数 B. 此函数不单调
C. 函数值域为 D. 方程有两解
二、填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
13. 已知函数的定义域和值域都是, 则 .
14. 设函数, 则f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f()＋f()＋f()＋f()＝ .
15. 定义在R上的奇函数, 当时, , 则在R上的表达式为.
16. 已知集合, , 若, 则实数的取值范围是.
三、解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
定义在上的奇函数, 在上是增函数, 判断在区间
上的单调性并证明.

18. （本小题满分12分）
(1) 计算:
(2) 已知, 求的值.

19. （本小题满分12分）
已知奇函数是定义在上的减函数, 不等式的解集是A, 集合, 求函数的最大值和最小值.

20. （本小题满分12分）
如图, 已知底角为的等腰梯形, 底边长为, 腰长为, 当一条垂
直于底边（垂足为F）的直线把梯形分成两部分, 令(, 单位:
), 求直线左边部分的面积关于的函数解析式, 并画出图像.

21. （本小题满分12分）
已知函数)满足①; ②.
(1) 求函数的解析表达式;
(2) 若对任意, 都有成立, 求实数的取值范围．

22. （本小题满分12分）
设函数满足:①对任意实数都有; ②对任意, 都有恒成立; ③不恒为0, 且当时, ．
(1) 求, 的值;
(2) 判断函数的奇偶性, 并给出你的证明
(3) 定义: “若存在非零常数T, 使得对函数定义域中的任意一个, 均有, 则称为以T为周期的周期函数”．试证明: 函数为周期函数, 并求出的值．

武汉二中2015——2016学年上学期
高一年级期中考试
数学试卷
参考答案: (其他解答方法, 参照给分)
一、选择题.
二、填空题.
13.
14. 0
15.
16.
三、解答题
17. 在上为增函数. 2分, 证明如下: 对于
有, 因为在上为增函数, 所以有 . . . . (1)4分, 又为奇函数, 所有对于任意恒有 , 所以6分, 代入(1)得: 8分, 由增函数的定义可知, 在区间上为增函数. 10分.
18.
(1). 6分
(2). 6分, 没有化简的, 扣2分.
19. 解: 由题意可得:
6分
故8分, 由二次函数的图像和性质得10分, 12分.
没有指出什么时候取最值, 扣2分. 两个地方只扣一次.

20.
解: 过分别作于G, ⊥于H, 因为是等腰梯形, 底角450,
所以2, 又7, 所以3, ……2分
（1）当点F在上时, 即时, ……………4分
（2）当点F在上时, 即时 2+2(x－2)=2x－2 ……………6分
（3）当点F在上时, 即时, =-
……8分
∴函数的解析式为 ………………10分
函数图像如下: (图像没有标明关键点的坐标的, 灵活处理)……12分

21. 解: （1）∵∴……1分, 又∵……2分, 所以有: , 又,
, 所以……6分
（2）法一: 设, x∈[1, 2], 则由已知得:
当时, , 此时m≤2; ……2分
当时, , 此时无解; ……2分
当时, , 此时无解．
综上所述, 的取值范围为(用不等式表示也可)．……2分
法二: 由已知得, 在上恒成立．由于函数在[1, 2]上单调递增, 所以, 故(参照上面解法给分)

22. 解: （1）由于不恒为0, 故存在, 使, 令,
则, 所以, ……2分
令,
由并令得: ,
结合以上结果可得……3分
又令, (因为)
所以, , 故; ……4分
（2）令, 得: , 以及有
即有, 即有为偶函数; ……6分
（3）由并取得, 又为偶函数,
则, 即是以2为周期的周期函数; ……8分
令,
再令．
而, 解得, , ……10分
由得, , 所以
又由于是以2为周期的周期函数,

……12分