极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解.docx

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
知识点回顾
（一）曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
（二）常见曲线的参数方程如下：
1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：
　　（t为参数）
其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段的数量，又称为点P和点M间的有向距离．
根据t的几何意义，有以下结论．
．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为和，则＝＝．
．线段的中点所对应的参数值等于．
2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：
　　（为参数）
3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：
　　　　（为参数）　　（或　）
中心在点（x00）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程
4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：
　　　　（为参数）　　（或　）
5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：
　　（t为参数，p＞0）
直线的参数方程和参数的几何意义
过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是　　（t为参数）．
（三）极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段的长度，θ表示从到的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标和直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
极坐标和直角坐标的不同是，直角坐标系中，点和坐标是一一对应的，而极坐标系中，点和坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹

5、极坐标和直角坐标互化公式：

[基础训练A组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）
A． B． C． D．
2．下列在曲线上的点是（）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（）
A． B． C． D．
4．化极坐标方程为直角坐标方程为（）
A． B． C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（）
A． B． C． D．
6．极坐标方程表示的曲线为（）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

二、填空题
1．直线的斜率为。
2．参数方程的普通方程为。
3．已知直线和直线相交于点，又点，
则。
4．直线被圆截得的弦长为。
5．直线的极坐标方程为。
三、解答题
1．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；

（2）若恒成立，求实数的取值范围。

2．求直线和直线的交点的坐标，及点
和的距离。

3．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
一、选择题
1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点和之间的距离是（）
A． B． C． D．
2．参数方程为表示的曲线是（）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
3．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）
A． B． C． D．
4．圆的圆心坐标是（）
A． B． C． D．
5．和参数方程为等价的普通方程为（）
A． B．
C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为（）
A． B． C． D．

二、填空题
1．曲线的参数方程是，则它的普通方程为。
2．直线过定点。
3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为。
4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为。
5．设则圆的参数方程为。
三、解答题
1．参数方程表示什么曲线？
2．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。
3．已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程。
（2）设和圆相交和两点，求点到两点的距离之积。
一、选择题
1．把方程化为以参数的参数方程是（）
A． B． C． D．
2．曲线和坐标轴的交点是（）
A． B． C． D．
3．直线被圆截得的弦长为（）
A． B． C． D．
4．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）
A． B． C． D．
5．极坐标方程表示的曲线为（）
A．极点 B．极轴 C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中和圆相切的一条直线的方程为（）
A． B． C． D．
二、填空题
1．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么。
2．直线上和点的距离等于的点的坐标是。
3．圆的参数方程为，则此圆的半径为。
4．极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为。
5．直线和圆相切，则。
三、解答题
1．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；

2．过点作倾斜角为的直线和曲线交于点，
求的值及相应的的值。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系和参数方程[基础训练A组]
一、选择题
1．D
2．B 转化为普通方程：，当时，
3．C 转化为普通方程：，但是
4．C
5．C 都是极坐标
6．C
则或
二、填空题
1．
2．
3．将代入得，则，而，得
4．直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为
5．，取
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为，

（2）

2．解：将代入得，
得，而，得
3．解：设椭圆的参数方程为，

当时，，此时所求点为。
新课程高中数学训练题组参考答案
一、选择题
1．C 距离为
2．D 表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线
3．D ，得，
中点为
4．A 圆心为
5．D
6．C ，把直线代入
得
，弦长为
二、填空题
1．而，
即
2．，对于任何都成立，则
3．椭圆为，设，

4．即
5．，当时，；当时，；
而，即，得
三、解答题
1．解：显然，则

即
得，即
2．解：设，则
即，
当时，；
当时，。
3．解：（1）直线的参数方程为，即
（2）把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为
坐标系和参数方程[提高训练C组]
一、选择题
1．D ，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制
2．B 当时，，而，即，得和轴的交点为；
当时，，而，即，得和轴的交点为
3．B ，把直线代入
得
，弦长为
4．C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为
5．D ，为两条相交直线
6．A 的普通方程为，的普通方程为
圆和直线显然相切
二、填空题
1．显然线段垂直于抛物线的对称轴。即轴，
2．,或
3．由得
4．圆心分别为和
5．，或直线为，圆为，作出图形，相切时，
易知倾斜角为，或
三、解答题
1．解：（1）当时，，即；
当时，
而，即
（2）当时，，，即；
当时，，，即；
当时，得，即
得
即。
2．解：设直线为，代入曲线并整理得

则
所以当时，即，的最小值为，此时。