湖北省荆门市2011年中考数学试题含答案.doc

荆门市2011年初中毕业生学业考试
数 学 试 题

注意事项：
1.本卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2.本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上。解题中的辅助线和标注角的字母、符号等务必添在答题卡的图形上.
3.在答题卡上答题，选择题必须用２Ｂ铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答．

★　祝　考　试　顺　利　★

一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1.有理数的倒数是（ ）
2　B.2 C. D. 
2.下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ）
第4题图
A.1 B.2  C.3 D.4
第2题图

第2题图

3.将代数式化成的形式为（ ）
A.B. C.D.
4.如图，位似图形由三角尺和其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8，则投影三角形的对应边长为（ ）
A.8B.20C.3.2D.10
5.有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额.某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ）
A.众数B.方差C.中位数D.平均数
6.对于非零的两个实数、，规定.若，则的值为（ ）
第7题图
A. B. C. D.
7. 如图，P为线段上一点，和交于E，∠
＝∠A＝∠B，交于F，交于G，则图中
相似三角形有（ ）
A.1对B.2对C.3对D.4对
8.在△中，∠A＝120°，＝4，＝2，则的值是（ ）
A. B. C. D.
9.关于的方程有两个不相等的实根、,且有，则的值是（ ）
A.1B.-1C.1或-1D.2
第10题图
10.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②
铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；
若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有
13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形
有25个;如此下去，可铺成一个的近似正方形图案.
当得到完整的菱形共181个时，n的值为（ ）
A.7B.8C.9 D.10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.已知A＝，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了B÷A，结果得，则＝ ▲.
第12题图
12.如图，⊙O是△的外接圆，是直径，∠B＝40°，则∠的度数是▲.
第16题图
第14题图
第15题图

13.若等式成立，则的取值范围是 ▲.
14.如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为  ▲.
15.请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形.
16.如图，双曲线(＞0）经过四边形的顶点A、C，∠＝90°，平分和轴正半轴的夹角，∥轴，将△沿翻折后得△，点落在上，则四边形的面积是  ▲.
三、解答题（共66分）
17.（本题满分6分）计算：

18.（本题满分6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.

第19题图
19.（本题满分7分）如图，P是矩形下方一点，将△绕P点顺时针旋转60°后恰好D点和A点重合，得到△，连结，问△是什么特殊三角形？请说明理由.


20.（本题满分8分）2011年国家对“酒后驾车”加大了处罚力度，出台了不准酒后驾车的禁令.某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：①偶尔喝点酒后开车；②已戒酒或从来不喝酒；③喝酒后不开车或请专业司机代驾；④平时喝酒，但开车当天不喝酒.将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题.
（1）该记者本次一共调查了 ▲名司机.
（2）求图甲中④所在扇形的圆心角，并补全图乙.
（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，求他属第②种情况的概率.
（4）请估计开车的10万名司机中，不违反“酒驾”禁令的人数.
第20题图

21.（本题满分8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线、和半圆相切，上、下桥斜面的坡度
＝1∶3.7，桥下水深＝5米，水面宽度＝24米.设半圆的圆心为O，直径在坡角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长.（参考数据：π≈3，≈1.7，15°＝）
第21题图

22.（本题满分9分）如图，等腰梯形的底边在轴上，顶点C在轴正半轴上，B（4,2），一次函数的图象平分它的面积，关于的函数的图象和坐标轴只有两个交点，求的值.
第22题图


23.（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额和政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额（万元）

5

2
4
补贴金额（万元）

2

2.4
3.2
（1）分别求和的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

24.（本题满分12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形和的边、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在轴上)，抛物线经过A、C两点，和轴的另一交点为G，M是的中点，正方形的面积为1.
（1）求B点坐标；
（2）求证：是⊙P的切线；
图甲
图乙（备用图）
（3）设直线和抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不和N点重合的一动点，①求△周长的最小值；②若＝，S△＝，直接写出和之间的函数关系式.

参考答案及评分标准

一、选择题 （每选对一题得3分，共30分）
1 2345678. D9. B10.
二、填空题（每填对一题得3分，共15分）
11.；12.50°；13≥0且x≠12 ；14.13；15.方法很多，参照给分；
16.2.

三、解答题（按步骤给分其它解法参照此评分标准给分）
17.解：原式＝…………………4分
＝…………………………………………………………5分
＝0 ………………………………………………………………………………6分
考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：将 化为最简二次根式，利用负整数指数的意义化简，判断的符号，去绝对值．
点评：本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂的意义．关键是理解每一个部分运算法则，分别化简．

18. 解：由①得：x≤1 ………………………………………………………………………1分
由②得：x＞-2 ……………………………………………………………………………2分
综合得：-2＜x≤1 …………………………………………………………………………4分
在数轴上表示这个解集 …………………………6分
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题：计算题；数形结合．
分析：先解每一个不等式，再求解集的公共部分即可．
点评：本题考查了解一元一次不等式组，解集的数轴表示法．关键是先解每一个不等式，再求解集的公共部分．

19. 解：△是等边三角形.理由如下：………………………………………………… 1分
由旋转得△≌△
∴，,∠1=∠2……………………3分
∵∠60°∴△是等边三角形…………4分
∴∠3＝∠＝60°.
由矩形知，＝，∠＝∠＝90°.
∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………6分
∴＝＝，∠＝∠2+∠4＝60°,
∴△为等边三角形…………………………7分
考点：旋转的性质；全等三角形的判定和性质；等边三角形的判定；矩形的性质．
专题：几何图形问题．
分析：根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，根据图形求出旋转的角度，即可得出三角形的形状．
点评：本题主要考查了图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，难度适中．

20. 解：（1）2÷1200 …………………………………………………………………… 1分
（2）360°×＝126°∴④所在扇形的圆心角为126°…………………………… 2分
200×918（人）
200－18－2－70=110（人）
第②种情况110人，第③种情况18人．
注：补图②110人，③18人…………………………………………………………………4分
（3）P（第②种情况）＝
∴他是第②种情况的概率为 …………………………………………………………6分
（4）10×（1-1%）＝9.9（万人）
即：10万名开车的司机中，不违反“酒驾”禁令的人数为9.9万人…………………8分
考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图；概率公式．
专题：图表型．
分析：（1）从扇形图可看出①种情况占1%，从条形图知道有2人，所以可求出总人数．
（2）求出④所占的百分比然后乘以360°就可得到圆心角度数，然后求出其他情况的人，补全条形图．
（3）②种情况的概率为②中调查的人数除以调查的总人数．
（4）2万人数减去第①种情况的人数就是不违反“洒驾“禁令的人数．
点评：本题考查对扇形图和条形图的认知能力，知道扇形图表现的是部分占整体的百分比，条形图告诉我们每组里面的具体数据，从而可求答案．

21. 解：连结、、，由垂径定理知：＝＝12（m）………… 1分

在△中，＝＝13（m）
∴＝＝13m ……………………………………………………………………………2分
∵∠ 1∶3.7 ，15°＝=≈1：3.7
∴∠＝15°……………………………………………………………………………3分
由切线性质知∠＝90°∴∠75°
同理得∠＝75°∴∠＝180°-75°×2＝30°………………………………4分
在△中，15°＝=≈1∶3.7
∴＝3.7×13＝48.1（m）…………………………………………………………6分
又的弧长＝＝6.5（m）……………………………………………7分
∴48.1×2+6.5＝102.7（m）,
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米……………… 8分
（注：答案在102.5m—103m间只要过程正确，不扣分）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：几何图形问题．
分析：首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图，连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出即半径，再由坡度=1∶3.7和15°＝=≈1∶3.7，得出∠∠15°，因此能求出和，所以求出∠∠90°-15°=75°，则得出所对的圆心角∠，相继求出的长，从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．
点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是由已知先求出半圆的半径和∠M和∠N，再由直角三角形求出和，求出的长．

22. 解：过B作⊥于E，连结、交于点P，∵P为矩形的对称中心，则过P点的直线平分矩形的面积.
∵P为的中点，而B（4，2）∴P点坐标为（2，1）………………………1分
在△和△中，＝，＝
∴△≌△（）,∴S△＝S△
∴过点（0，-1）和P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为
∴21=1∴1…………………………………………………………………3分
∵的图象和坐标轴只有两个交点,
①当m＝0时，y＝1,其图象和坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）………5分
②当m≠0时，函数的图象为抛物线，且和y轴总有一个交点（0，2m+1）
若抛物线过原点时，2m+1=0，即，
此时△＝=＞0
∴抛物线和x轴有两个交点且过原点，符合题意. ………………………………7分
若抛物线不过原点，且和x轴只有一个交点，也合题意，
此时△′＝=0 ∴
综上所述，的值为=0或或-1 …………………………………………9分
专题：计算题．
分析：过B作⊥于E，连接、交于点P，根据矩形的性质求出B、P坐标，然后再根据相似三角形的性质求出k的值，将解析式中的化为具体数字，再分=0和≠0两种情况讨论，得出的值．
点评：此题考查了抛物线和坐标轴的交点，同时结合了梯形的性质和一次函数的性质，要注意数形结合，同时要进行分类讨论，得到不同的值．

23.解：（1）由题意得：①52，∴……………………………………2分
②∴∴………………………4分
（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10）万元，共获补贴Q万元.
∴ ，
∴…………7分
∵＜0，∴Q有最大值，即当3时，Q最大＝
∴107(万元) …………………………………………………………………………9分
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元………10分
考点：二次函数的应用．
分析：（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据得出关于的二次函数，求出二次函数最值即可．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是考试的中热点问题，同学们应重点掌握．
图甲
P

24.解：（1）如图甲，连接、，设＝
∵正方形面积为1∴＝＝1
根据圆和正方形的对称性知＝＝
∴＝2＝2………1分
而＝，

∴
解得1(舍去) …………… 2分
∴＝＝2∴B点坐标为（2，2）………3分
（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）
∵A，C在抛物线上∴∴
∴抛物线的解析式为
即……………………………………………………………4分
∴抛物线的对称轴为,即所在直线
∵C和G关于直线对称，∴＝＝1∴＝＝
在△和△中
＝，∴=∴△∽△…………5分
∴∠＝∠∴∠＝∠∠＝∠∠＝90°
∴和⊙P相切……………………………………………………………………6分
（注：其他方法，参照给分）
（3）①如图乙，延长交抛物线于，连交对称轴3于Q，连则有＝Q，△周长的最小值为（）的长……………………………7分
∵A和关于直线3对称∴A（0，2），（6，2）
∴C＝，
而…………………8分
∴△周长的最小值为
……………………………9分
②当Q点在F点上方时，S＝1……10分
当Q点在线段上时，S＝1……11分
当Q点在N点下方时，S＝1……12分
考点：二次函数综合题．
分析：（1）如图甲，连接、，设，由正方形的面积为1，可得1，根据圆和正方形的对称性知：，由，根据勾股定理即可求得的值，继而求得B的坐标；
（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得的长，则可得△∽△，则可证得∠90°，即是⊙P的切线；
（3）①如图乙，延长交抛物线于A′，连′交对称轴于Q，连，则有′Q，△周长的最小值为′C的长，利用勾股定理即可求得△周长的最小值；
②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论和数形结合思想的应用．