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立体几何习题
一、考点分析
基本图形
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
①★
②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形

长方体底面为正方形正四棱柱侧棱和底面边长相等正方体

2.棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球
球的性质：
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
★②（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）
★球和多面体的组合体：球和正四面体，球和长方体，球和正方体等的内接和外切.

注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
球面积、体积公式：（其中R为球的半径）

平行垂直基础知识网络★★★
平行关系
平面几何知识
线线平行
线面平行
面面平行
垂直关系
平面几何知识
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
性质
判定推论
性质
判定
判定
性质
判定
面面垂直定义
1.
2.
3.
4.
5.

平行与垂直关系可互相转化

异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★
1．求异面直线所成的角：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移
另一条和其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；
三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

2求直线和平面所成的角：关键找“两足”：垂足和斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线和其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；
二证：证明所找（作）的角就是直线和平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

3求二面角的平面角
解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：
证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
二、典型例题
考点一：三视图
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________.

俯视图

第1题

2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.

第2题 第3题

3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为.

4．若某几何体的三视图单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是.
3
正视图
俯视图
1
1
2
左视图
a

第4题 第5题
5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是，则.
6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是.
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图

第6题 第7题
7.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是
8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m3。
俯视图

正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2

第7题 第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.

图9
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_________
俯视图
正视图

图10
11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.

图

图11 图12图13
12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.
13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为的正方形，主视图和左视图是边长为的正三角形，则其表面积是______

14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度:),则此几何体的表面积是_____________.

图14
15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：）_____________.

正视图 左视图 俯视图

图15

16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.

俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2

图16 图17

17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.

18.若一个底面为正三角形、侧棱和底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________.

图18

考点二 体积、表面积、距离、角
注：1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.
2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积和此正四面体的表面积的比值为___________.
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为_______________.
4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的，则它的体积是原来的______________.
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是.
6.平行六面体的体积为30，则四面体的体积等于.
7．如图7，在正方体中，分别是，中点，求异面直线和所成角的角__
8. 如图8所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成角的大小为_____________.

第8题第7题
9.正方体中,异面直线和所成的角的度数是_________________.

10．如图9-1-3，在长方体中，已知，则异面直线和所成的角是_________，异面直线和所成的角的度数是______________

图13
11. 如图9-1-4，在空间四边形中，,分别是AB、CD的中点，则 和所成角的大小为_____________.
12. 正方体中，和平面所成的角为.
13．如图13在正三棱柱中，，则直线和平面所成角的正弦值为_______________.

14. 如图9-3-6，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线BD1和平面ABCD所成的角的正切值为_______________.
A1
C
B
A
B1
C1
D1
D
O

图9-3-6图9-3-1 图7
15．如图9-3-1，已知为等腰直角三角形,为空间一点，且，，，的中点为，则和平面所成的角为

16．如图7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为__________________.
17.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是______________.
18．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，，则顶点A、B间的球面距离是_________________.
19.已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是.
20. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP和直线AM所成的角是___________
21．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC和a所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC和a所成的角为_________.
22．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，
则四面体ABCD的外接球的体积为_____________.
23．已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是.
24．正三棱锥的一个侧面的面积和底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ .
25.已知是球表面上的点，，，，
，则球表面积等于__________
26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_________.
27. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.

考点四平行和垂直的证明
1. 正方体，，E为棱的中点．
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

2.已知正方体，是底对角线的交点.求证：(１)C1O∥面；(2)面．

3．如图，矩形所在平面，、分别是和的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求证：平面.

4. 如图（1），ABCD为非直角梯形，点E，F分别为上下底AB，CD上的动点，且。现将梯形AEFD沿EF折起，得到图（2）
（1）若折起后形成的空间图形满足，求证：；
E
B
C
F
D
A
图（2）
（2）若折起后形成的空间图形满足四点共面，求证：平面；
A
B
C
D
E
F
图（1）

A
F
E
B
C
D
M
N
5．如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD,
AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，
N为AE的中点，AF=AB=BC=FE=AD
(I) 证明平面AMD平面CDE；
(II) 证明平面CDE；

6．在四棱锥P－ABCD中,侧面PCD是正三角形,
且和底面ABCD垂直,已知菱形ABCD中∠ADC＝60°,
P
D
A
B
C
O
M
M是PA的中点，O是DC中点.
（1）求证：OM // 平面PCB；
（2）求证:PA⊥CD；
（3）求证:平面PAB⊥平面COM.

7．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD

8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，
DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．
(1)求证：A1C⊥面AEF；
(2)求二面角A-EF-B的大小；
(3)点B1到面AEF的距离.

考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角
1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC和平面PBD所成的角；

2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成角的大小为 _____________.

3．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D和BC1所成的角是___________________.
4. 若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面和底面所成的二面角的大小是________.
5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点.（1）求证：；（2）求证：平面AEC；
（3）若，求三棱锥E－ACD的体积；（4）求二面角E－AC－D的大小.

考点六 线面、面面关系判断题
1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：
（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β
（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β
其中正确的是__________________.
2.是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①②
③④
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。
3. 为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①；②；③．
其中正确的命题有_________________.
4. 对于平面和共面的直线、
(1)若则(2)若则
(3)若则 (4)若、和所成的角相等，则
其中真命题的序号是_____________.
5. 关于直线m、n和平面和，有下列四个命题：
①若且，则；②若且，则；
③若且，则；④若且，则；
其中真命题的序号是_________________.
6. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
①②
③④
其中正确命题的序号是_______________.
7.给出下列四个命题,其中假命题的个数是______________.
①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线和同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则和都相交的两条直线是异面直线.
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