高中数学复习不等式知识点及主要题型讲义含解答.doc

不等式的基本知识
一、解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

2、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：
1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

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3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

二、线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

三、基本不等式
1、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2、如果a,b是正数，那么
变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
注：
1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4、常用不等式有：
1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；
2a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；
3）若，则（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解
一、不等式和不等关系
题型一：不等式的性质
1、对于实数中，给出下列命题：
①；②；
③；④；
⑤；⑥；
⑦；⑧，则。
其中正确的命题是______
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2、设，，，试比较的大小

3、比较1+和的大小

4、若，则的大小关系是.

二、解不等式
题型三：解不等式
5、解不等式：

6、解不等式。

7、解不等式

8、不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____, b=_______

9、关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为

10、解关于x的不等式

题型四：恒成立问题
11、关于x的不等式a x2+ a x+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________
12、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.

13、已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

三、基本不等式
题型五：求最值
14、（直接用）求下列函数的值域
1）y＝3x 2＋2）y＝x＋

15、（配凑项和系数）
1）已知，求函数的最大值。

2）当时，求的最大值。

16、（耐克函数型）求的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
17、（用耐克函数单调性）求函数的值域。

18、（条件不等式）
1）若实数满足，则的最小值是.
2）已知，且，求的最小值。

3）已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

题型六：利用基本不等式证明不等式
19、已知为两两不相等的实数，求证：

20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

21、已知a、b、c，且。求证：

题型七：均值定理实际应用问题：
22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

四、线性规划
题型八：目标函数求最值
23、满足不等式组，求目标函数的最大值

24、已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,．则的取值范围是

25、已知满足约束条件： ,则的最小值是

26、已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。
27、已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于
题型九：实际问题
28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼和凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

不等式的基本知识参考答案

高中数学必修内容练习---不等式
1、②③⑥⑦⑧；
2、；
3、当或时，1+＞；
当时，1+＜；
当时，1+＝
4、∵∴
（
∴R>Q>P。
5、
6、或；
7、）；
8、不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=___-6____, b=__6_____
9、）.
10、解：当a＝0时，不等式的解集为； 2分
当a≠0时，a(x－)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0
不等式的解集为； 6分
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解集为； 8分
当a＞1时，＜1，不等式的解集为； 10分
当a＝1时，不等式的解为φ． 12分
11、0≤x＜4
12、）
13、
14、解：1）y＝3x 2＋≥2＝∴值域为[，+∞）
2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时，y＝x＋= －（－x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
15、1）解，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
2）
当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。
16、解析一：

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
17、解：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。
18、（条件不等式）
1）解：都是正数，≥
当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．
2）解：，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，

3）解：x＝x＝x·
下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝即x＝·x≤
4）解：法一：a＝，ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ab≤18 ∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2∴ 30－ab≥2
令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
19、已知为两两不相等的实数，求证：
20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21、已知a、b、c，且。求证：
证明：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当时取等号。
22、解：若设污水池长为x米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数：≥
23、4
24、
25、1
26、
27、5
28、解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元则x，y必须满足，目标函数为z＝15x＋10y
在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。