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第三章 K元线性回归模型

一、填空题
1. 对于模型，1,2,…，一般经验认为，满足模型估计的基本要求的样本容量为_ _
2. 对于总体线性回归模型，运用最小二乘法欲得到参数估计量，所要求的最小样本容量应满足 或至少。
3. 多元线性计量经济学模型的矩阵形式 ，对应的样本线性回归模型的矩阵形式 ，模型的最小二乘参数估计量 及其方差估计量 。
4. 总平方和可以分解为 回归平方和 和 残差平方和 ，可决系数为 。
5. 多元回归方程中每个解释变量的系数β（偏回归系数），指解释变量变化一个单位引起的被解释变量平均变化 β 个单位。
6. 线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量的 ；就参数而言，指的是回归模型中参数的 。通常线性回归模型指的是 。
二、问答题
1． 什么是多元回归模型？它和一元、二元回归模型有何区别？
2． 极大似然法（ ）的原理是什么？
3． 什么是拟合优度（R2）检验？有什么作用？
指对样本回归直线和样本观测值之间的拟合程度的检验。
4． 可决系数R2低的可能的原因是什么？
5． 多元回归的判断系数R2具有什么性质？运用R2时应注意什么问题？
6． 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？
7． 说明区间估计的含义。
三、实践题
1．下表给出三变量模型的回归结果：
方差来源
平方和（）
自由度（.）
均方差()
回归平方和() ()(()
65965
3
21988.33
残差平方和()
77
11
7
总平方和()
66042
14
4717.48
要求：
（1）样本容量是多少？
（2）求？
（3）和的自由度各是多少？
（4）求和？
（5）检验假设：和对无影响。你用什么假设检验？为什么？
（6）根据以上信息，你能否确定和各自对的贡献吗？

2．下面给出依据15个观察值计算得到的数据，其中小写字母代表了各值和其样本均值的离差。
， ， ，
，，
，
要求：（1）估计三个多元回归系数；（2）估计它们的标准差；并求出和？（3）估计、95%的置信区间；（4）在下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双尾检验）；（5）给出方差分析表。

（1）
3．考虑以下方程（括号内为估计标准差）：，

其中：—年的每位雇员的工资和薪水；—年的物价水平；—年的失业率。
要求：（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；
（2）讨论在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论；是否应从方程中删除？为什么？
4．克莱因和戈德伯格曾用1921-1941年和1945-1950年（1942-1944年战争期间略去）美国国内消费C和工资收入W、非工资—非农业收入P、农业收入A的共27年时间序列资料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：
　　，　
　式中括号中的数字为相应参数估计量的标准误。试对该模型进行评价，指出其中存在的问题。（显著性水平，已知）
5．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为
，R2=0.214
式中，为劳动力受教育年数，为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，和分别为母亲和父亲受到教育的年数。问
（1）是否具有预期的影响？为什么？若和保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要增加多少？
（2）请对的系数给予适当的解释。
（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？
6．以企业研发支出（）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）和利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32个企业的样本估计结果如下：

其中括号中为系数估计值的标准差。
（1）解释(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？

（2）针对强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。
（3）利润占销售额的比重X2对强度Y是否在统计上有显著的影响？
（3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。
7．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国40个城市的数据。模型如下：

式中——实际颁发的建筑许可证数量，——每平方英里的人口密度，——自由房屋的均值（单位：百美元），——平均家庭的收入（单位：千美元），——1980~1992年的人口增长百分比，——失业率，——人均交纳的地方税，——人均缴纳的州税

变量
模型A
模型B
模型C
模型D
C
813 (0.74)
-392 (0.81)
-1279 (0.34)
-973 (0.44)

0.075 (0.43)
0.062 (0.32)
0.042 (0.47)

-0.855 (0.13)
-0.873 (0.11)
-0.994 (0.06)
-0.778 (0.07)

110.41 (0.14)
133.03 (0.04)

125.71 (0.05)
116.60 (0.06)

26.77 (0.11)
29.19 (0.06)
29.41 (0.001)
24.86 (0.08)

-76.55 (0.48)

-0.061 (0.95)

-1.006 (0.40)
-1.004 (0.37)

4.7637
4.8437
4.9627
5.0387
R2
0.349
0.338
0.322
0.312

1.4886
1.4246
1.4186
1.3996

1.7766
1.6346
1.5936
1.5386
（1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？
（2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：bi =0(1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。
（3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。
（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说明你的预期符号并解释原因。确认其是否为正确符号。

参考答案
一、填空题
1≥30或至少n≥3（1）；2. n≥30或至少n≥24；3.，，，; 4.回归平方和；残差平方和；回归平方和和残差平方和之比。5. β ；6.非线性；非线性；变量非线性而参数为线性。
二、问答题
1. 答：回归模型和一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂。
2. 答：极大似然法（）是不同于法的另一种模型参数估计方法。方法需要利用有关模型随机扰动项分布的知识构建似然函数，然后利用使似然函数最大的方法得出参数估计。其基本思路是确定观察到的样本数据最可能来自某个分布，该分布的参数值即为总体参数的估计量。
3. 答：所谓拟合优度检验，指对样本回归直线和样本观测值之间拟合程度的检验。如果所有的观测值都落在回归线上，称为“完全拟合”。这种情况很少发生。一般情况下，总会出现围绕在回归直线周围的正或负的残差。通过对残差的分析，有助于衡量回归直线和样本观察值的拟合程度。反映回归模型拟合优劣的一个数量指标是样本可决系数R2，也称判定系数。另一个是对回归模型的F统计检验。估计方程的目的常常不是为了获得高R2，而是要得到可靠的参数估计，以便利用估计结果进行统计推断。注意不要将判断系数作为评价模型优劣的唯一标准。
4. 答：可能由于：X不是Y的良好解释变量；模型形式设定有误。一般地，利用时间序列数据估计的模型R2值较高，而利用截面数据估计的模型R2值较低。
5. 答：R2的取值取决在0～1之间。若Y的全部变异都得到了解释，则R2=1，若解释变量没有如何解释能力，有R2=0。在模型中不包含常数项的情况下，R2的值可能超出0～1范围；是解释变量的非减函数，即增加解释变量不会降低R2，在大多数情况下，R2会增大。
在实际工作中，我们可以借助于R2的增减，判断回归模型不同表达形式的优劣。需要注意的是，对于不同因变量的回归模型，比较R2的大小没有任何意义。用同一变量的不同数学表达式作为因变量，R2也是不可比的。时间序列数据建模中如果考虑了滞后的行为反应，导致样本区间发生变动，R2也不可比。
6. 答：回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项服从均值为0方差为的正态分布假定。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量和随机误差项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。
7. 答：区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围。
三、实践题
2.解：

其中：
同理，可得：，
拟合优度为：

⑶ ，查表得
，得到
，得到
的95%的置信区间：
的95%的置信区间：

⑷ ，

，，查表得临界值为：
则： 则拒绝原假设：

拒绝原假设：
拒绝原假设：
（5）方差分析表
方差来源
平方和
自由度
均方差
回归平方和
65963.018
2
32981.509
残差平方和
79.2507
12
6.6042
总平方和
66042.269

，，临界值为3.89
值是显著的，所以拒绝零假设。
5. 解：（1）预期对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。
根据多元回归模型偏回归系数的含义，前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。
（2）的系数表示当兄弟姐妹数和父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。
（3）首先计算两人受教育的年数分别为
10.36+0.131´12+0.210´12=14.452
10.36+0.131´16+0.210´16=15.816
因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364
6. 解：（1）(x1)的系数表明在其他条件不变时，(x1)变化1个单位，Y变化的单位数，即D0.32D(X1)»0.32(DX11)=0.32´100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。由此，如果X1增加10%，Y会增加0.032个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。（2）针对备择假设H1：，检验原假设H0：。易知计算的t统计量的值为0.32/0.22=1.468。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着强度不随销售额的增加而变化。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.311，计算的t 值小于该值，拒绝原假设，意味着强度随销售额的增加而增加。
7. 解：（1）直接给出了值，所以没有必要计算统计值以及查t分布表。根据题意，如果值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。
由于表中所有参数的值都超过了10%，所以没有系数是显著不为零的。但由此去掉所有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。其实正如我们所知道的，多元回去归中在省略变量时一定要谨慎，要有所选择。本例中，、、的p值仅比0.1稍大一点，在略掉、、的模型C中，这些变量的系数都是显著的。
（2）针对联合假设H0：=0 (1,5,6,7)的备择假设为H1：=0 (1,5,6,7) 中至少有一个不为零。检验假设H0，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型A，约束模型为模型D，检验统计值为

显然，在H0假设下，上述统计量满足F分布，在10%的显著性水平下，自由度为（4，32）的F分布的临界值位于2.09和2.14之间。显然，计算的F值小于临界值，我们不能拒绝H0，所以(1,5,6,7)是联合不显著的。
(3）模型D中的3个解释变量全部通过显著性检验。尽管R2和残差平方和较大，但相对来说其值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。
（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预期>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期估计值的符号为负，回归结果和直觉相符。出乎预料的是，地方税和州税为不显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型A是这种情况，但它们的影响却非常微弱。