广州市人教版七年级上册数学知识点总结.doc

正数与负数
⒈正数与负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，是负数；当a表示负数时，是正数；当a表示0时，仍是0。〔如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如就不能做出简单判断〕
②正数有时也可以在前面加“+〞，有时“+〞省略不写。所以省略“+〞的正数的符号是正号。
2. 具有相反意义的量
假设正数表示某种意义的量，那么负数可以表示具有及该正数相反意义的量，比方：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
⑴0表示“ 没有〞，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数与负数的分界限，0既不是正数，也不是负数。如：
〔3〕 0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比方以海平面为基准，那么0米就表示海平面。
有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数〔0与正整数统称为自然数〕
⑵正分数与负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数与无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数与偶数的范围也扩大了，像-2468…也是偶数，-135…也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
正整数 正整数
整数 0 正有理数
负整数 正分数
有理数 有理数 0 〔0不能无视〕
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数〔也叫自然数〕
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数及数轴上的点不是一一对应关系。〔如，数轴上的点π不是有理数〕
⑴在数轴上数的大小比拟，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比拟，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大〔小〕数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，那么a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，那么a<0
⑶0表示a是0；反之，a是0,，那么0
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，假设一个为正，那么另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数与为0，与为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，那么0
在数轴上及原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点〔0除外〕在原点两旁，并且及原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-〞即可求得〔如：5的相反数是-5〕；
⑵求多个数的与或差的相反数时，要用括号括起来再添“-〞，然后化简〔如；5a的相反数是-〔5a〕。化简得-5a〕；

⑶求前面带“-〞的单个数，也应先用括号括起来再添“-〞，然后化简(如：-5的相反数是-〔-5〕，化简得5)
⑴一般地，数a 的相反数是 ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，<0〔正数的相反数是负数〕
当a<0时，>0〔负数的相反数是正数〕
当0时，0，〔0的相反数是0〕
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点及原点的距离叫做a的绝对值，记作。
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0，那么； ②如果a<0，那么； ③如果0，那么0。
可归纳为①：a≥0<═> 〔非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。〕
②a≤0，<═> 〔非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。〕
经典考题
如数轴所示，化简以下各数
解：由题知道，因为a>0 ，b<0，c<0, >0, >0, <0，
所以 , , ()
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：0 <═> 0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：≥a；
⑷绝对值是一样正数的数有两个，它们互为相反数。即：假设〔a>0〕，那么±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：或假设0，那么；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：，那么或；
⑺假设几个数的绝对值的与等于0，那么这几个数就同时为0。即0，那么0且0。
〔非负数的常用性质：假设几个非负数的与为0，那么有且只有这几个非负数同时为0〕
经典考题
32210,求的值
解：因为3|≥0，|22|≥0，1|≥0，且32210
所以30 ，|220 ，10
即3 1 1
所以3+1+11
⑴利用数轴比拟两个数的大小：数轴上的两个数相比拟，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比拟两个负数的大小：两个负数比拟大小，绝对值大的反而小；异号两数比拟大小，正数大于负数。
①当a≥0时， ； ②当a≤0时，
6.一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。如：5，那么土5
有理数的加减法
加法法那么
⑴同号两数相加，取一样的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，与为零；
⑷一个数及零相加，仍得这个数。
⑴加法交换律：
⑵加法结合律：()()
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以到达化简的目的，通常有以下规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法〞；
②符号一样的两个数先相加——“同号结合法〞；
③分母一样的数先相加——“同分母结合法〞；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法〞；
⑤整数及整数、小数及小数相加——“同形结合法〞。
一个数加正数后的与比原数大；加负数后的与比原数小；加0后的与等于原数。即：
⑴当b>0时，>a ⑵当b<0时，法那么，可以将减法转化成加法后，再按照加法法那么进展计算。
在与式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写，写成省略加号的与的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)8-7-65.
与式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的与〞
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ.把符号一样的加数相结合〔同号结合法〕
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) 〔将减法转换成加法〕
33+18-15-1+23 〔省略加号与括号〕
=(-33-15-1)+(18+23) 〔把符号一样的加数相结合〕
49+41 〔运用加法法那么一进展运算〕
8 〔运用加法法那么二进展运算〕
Ⅱ.把与为整数的加数相结合 〔凑整法〕
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) 〔将减法转换成加法〕
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 〔省略加号与括号〕
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 〔把与为整数的加数相结合〕
=4-10+3.8 〔运用加法法那么进展运算〕
=7.8-10 〔把符号一样的加数相结合，并进展运算〕
2.2 〔得出结论〕
Ⅲ.把分母一样或便于通分的加数相结合〔同分母结合法〕
原式=())+()
1+0-
1
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合〔先统一后结合〕
(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)
原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)
3-3+10-1
=(3-1)+(-3)+10
=2-3+10
3+13
=10
Ⅴ.把带分数拆分后再结合〔先拆分后结合〕
-3+10-12+4
原式=(-3+10-12+4)+()+(-)
1
1
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ.先拆项后结合
〔1+3+5+7…+99〕-〔2+4+6+8…+100〕
有理数的乘除法
法那么一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；〔“同号得正，异号得负〞专指“两数相乘〞的情况，如果因数超过两个，就必须运用法那么三〕
法那么二：任何数同0相乘，都得0；
法那么三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法那么四：几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1〔a≠0〕，就是说a与互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。〔求一个数的倒数，不改变这个数的性质〕；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即()().
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的与相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a()
〔1〕除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
〔2〕两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
〔1〕乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
〔2〕有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，那么按照‘先乘除，后加减’的顺序进展。
有理数的乘方
求n 个一样因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
〔1〕负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
〔2〕正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进展；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进展。
科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式〔其中， n是正整数〕，这种记数法是科学记数法。
用字母表示数
代数式
代数式：用根本运算符号把数与字母连接而成的式子叫做代数式，如1,2500。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式：表示数及字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数与
多项式：几个单项式的与叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
整式：单项式与多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
代数式书写标准：
① 数及字母、字母及字母中的乘号可以省略不写或用“·〞表示，并把数字放到字母前；
② 出现除式时，用分数表示；
③ 带分数及字母相乘时，带分数要化成假分数；
④ 假设运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
合并同类项
同类项：所含字母一样，并且一样字母的指数也一样的项叫做同类项。
合并同类项的法那么：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变。
合并同类项的步骤：〔1〕准确的找出同类项；〔2〕运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；〔3〕利用法那么，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变；〔4〕写出合并后的结果。
去括号的法那么
〔1〕括号前面是“+〞号，把括号与它前面的“+〞号去掉，括号里各项的符号都不变；
〔2〕括号前面是“—〞号，把括号与它前面的“—〞号去掉，括号里各项的符号都要改变。
整式的加减：进展整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。
整式加减的步骤：〔1〕列出代数式；〔2〕去括号；〔3〕合并同类项。
一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一个未知数且未知数的指数是1〔次〕的方程叫做一元一次方程。一般形式：0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
解一元一次方程
等式的性质：〔1〕等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
〔2〕等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
移项〔过桥变号〕
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。
注意：移项时要跨越“=〞号，移过的项一定要变号，如：移项时将+变为 - ，-变成+
解一元一次方程的一般步骤：去分母à去括号à移项时，要变号à合并同类项à再把系数来除掉〔化为1〕
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，假设分子是多项式，要加括号。
例题〔1〕 〔2〕 〔3〕
解：〔4+2〕4+3
6x = 7
用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的根本步骤：审清题意、设未知数〔元〕、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格与示意图帮助分析实际问题中的数量关系
实际问题的常见类型：
行程问题：路程=时间×速度，时间=，速度=
〔单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时〕
工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各局部工作量的与
利润问题：利润=售价-进价，利润率=，售价=标价×〔1-折扣〕
等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
利息问题：本息与=本金+利息；利息=本金×利率
走进图形世界
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形与平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个局部不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个局部都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
〔1〕几何图形的组成
点：线与线相交的地方是点，它是几何图形中最根本的图形。
线：面与面相交的地方是线，分为直线与曲线。
面：包围着体的是面，分为平面与曲面。
体：几何体也简称体。
〔2〕点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形 圆柱
柱体
棱柱：三棱柱、四棱柱〔长方体、正方体〕、五棱柱、……
生活中的立体图形 球体
(按名称分) 圆锥
椎体
棱锥
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共〔2〕个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是一样的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
平面图形的认识
线段，射线，直线
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
1
直线
可向两方无限延伸
无
点、直线、射线与线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示，如点A
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点与射线上另一点来表示〔端点字母写在前面〕，如射线l,射线
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段
点与直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
线段的性质
〔1〕线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
〔2〕两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
〔3〕线段的中点到两端点的距离相等。
〔4〕线段的大小关系与它们的长度的大小关系是一致的。
线段的中点：
点M把线段分成相等的两条相等的线段及，点M叫做线段的中点。
M
A
B
M是线段的中点
〔或者22〕
直线的性质
〔1〕直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
〔2〕过一点的直线有无数条。
〔3〕直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比拟大小。
〔4〕直线上有无穷多个点。
〔5〕两条不同的直线至多有一个公共点。
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角与周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又与始边重合时，所形成的角叫做周角。
角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立〔在一个顶点处只有一个角〕的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠，∠，∠等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
角的度量
1°=60’，1’=60”
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°〞表示，1度记作“1°〞，n度记作“n°〞。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’〞。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1〞〞。
角的性质
〔1〕角的大小及边的长短无关，只及构成角的两条射线的幅度大小有关。
〔2〕角的大小可以度量，可以比拟
〔3〕角可以参及运算。
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
A
O
B
C
平分∠
∠∠∠〔或者∠2∠2∠〕
余角与补角
①如果两个角的与是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α及∠β互余；反过来，如果∠α及∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的与是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α及∠β互补；反过来如果∠α及∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角〔或等角〕的余角相等；同角〔或等角〕的补角相等。
对顶角
① 一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。
注意：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。
1
2
3
4
②对顶角的性质：对顶角相等
如图，∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角
∠1=∠4，∠2=∠3
平行线：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥〞表示，如“∥〞，读作“平行于〞。
注意：〔1〕平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
〔2〕当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线及这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法：
〔1〕平行于同一条直线的两直线平行。
〔2〕在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
〔3〕平行线的定义。
垂直：
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线，互相垂直，记作“⊥〞〔或“⊥〞)，读作“垂直于〞〔或“垂直于〞〕。
垂线的性质：
性质1：平面内，过一点有且只有一条直线及直线垂直。
性质2：直线外一点及直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段的长度叫做点A到直线l的距离。
同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。
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