高中数学必修五习题.doc

1、在△中，角，，的对边分别为，，，且，则△的形状为（   ）
A．直角三角形   B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形  D．等腰直角三角形
2、已知为等比数列的前项和，且，则等于（   ）
A．            B．          C．            D．
3、若均为正实数，则 的最大值为（   ）
A.         B.             C.           D.
4、已知，则下列不等式一定成立的是（    ）
A．       B．      C．       D．
5、在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；（2）若，求
6、在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．
（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．

7、在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的长．
8、已知数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求；（2）求数列的前项和.
9、已知数列满足，.
（1）求证数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
10、若数列中的项都满足（），则称为“阶梯数列”.
（1）设数列是“阶梯数列”，且，（），求；
（2）设数列是“阶梯数列”，其前项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；
（3）设数列是“阶梯数列”，且，（），记数列的前项和为. 问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
11、已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于 ，都有成立，求实数取值范围；
（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明：
存在无数个满足条件的无穷等比数列．
12、已知等比数列的公比，且满足：，且是的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的正整数n的最小值．
13、已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：；
（3）是否存在常数，使得对任意的恒成立？若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由．
14、设（为实常数）．
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）若是奇函数，求a和b的值；
（3）当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的、c，
都有成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．
15、函数的定义域为A，函数。
（1）若时，的解集为B，求；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

参考答案

一、选择题

1、A 
2、A 
3、A
4、A
二、简答题

5、解：（1）因为，所以，又，所以，即，所以角．．5分
（2）因为，所以．．．．．．．．．．7分
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为，所以，所以．．．．12分
6、解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）2﹣c2=3ab，变形可得：a2+b2﹣c2=ab，
由余弦定理可得：cosC==，∵C∈（0°，180°），∴C=60°
（2）∵c=，b=，C=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，
又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC==，
∴S△ABC=bcsinA==
7、（1）因为，，，
所以…………………………………2分

，………………………………4分
又，所以．……………………………………………………6分
（2）因为，且，
又，所以，……………………………………………8分
同理可得，． …………………………………………………10分
由正弦定理，得．……………………………14分
8、解：（1）由可得，当时，,
当时，，
而，适合上式，故，又∵，∴.
（2）由（1）知，，
，
∴
.
9、解：（1）由得.
，故数列是首项为1，公差为1的等差数列.
∴，.
（2）由（1）知：，
∴

相减得
，∴.
10、解：（1），，是以为首项为公比的等比数列，
，，
∵数列是“阶梯数列”，∴.                 
（2）由数列是“阶梯数列”得，故,
∴中存在连续三项成等差数列；              
（注：给出具体三项也可）                                           
假设中存在连续四项成等差数列，
则，即，
当时, ，①
当时, ，②
由数列是“阶梯数列”得，③
①②和③都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列
（3）∵,,是以为首项为公差的等差数列，
，又数列是“阶梯数列”，故，
,      
①当时,

,,
又恒成立，恒成立, .
②当时,

,,
又恒成立，恒成立, .  
综上①②, 存在满足条件的实数，其取值范围是.        

n为正偶数，
n为正奇数.

注：也可写成
11、（1）当时，，故；
当时，，
所以，
即，
又，所以，
所以，，，
故 
（2）当为奇数时，，
由得，恒成立，
令，则，
所以．
当为偶数时，，
由得，恒成立，
所以．
又，所以实数的取值范围是
（3）当时，若为奇数，则，所以．
解法1：令等比数列的公比，则．
设，因为，
所以，
，
因为为正整数，
所以数列是数列中包含的无穷等比数列，
因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故无穷等比数列有无数个．
解法2：设，所以公比．
因为等比数列的各项为整数，所以为整数，
取，则，故，
由得，，
而当时，，
即，
又因为，都是正整数，所以也都是正整数，
所以数列是数列中包含的无穷等比数列，
因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故无穷等比数列有无数个．
12、解：（1）∵是的等差中项，∴，  
代入，可得，
∴，∴，解之得或，  
∵，∴，∴数列的通项公式为．　　　　
（2）∵，                 
∴，                  ……①
，  ……②
②-①得
．           
∵，∴，∴，，    
∴使成立的正整数的最小值为6．           
13、（1）当时，，所以的解集为；
当时，，
若，则的解集为；
若，则的解集为．
综上所述，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为．  
（2）设，则．
令，得，列表如下：

极小值

所以函数的最小值为，
所以，即．
（3）假设存在常数，使得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
而当时，，所以，
所以，则，
所以恒成立，
①当时，，所以式在上不恒成立；
②当时，则，即，
所以，则．
令，则，令，得，
当时，，在上单调增；
当时，，在上单调减．
所以的最大值．所以恒成立．
所以存在，符合题意．
14、解：（1）证明：，，所以，所以不是奇函数............................3分
（2）是奇函数时，，
即对定义域内任意实数都成立
即，对定义域内任意实数都成立...........................................5分
所以所以或 ．   
 经检验都符合题意........................................8分
（2）当时，，
因为，所以，，
所以........................10分
而对任何实数成立；
所以可取=对任何、c属于，都有成立........12分
当时，，
所以当时，；当时， .............14分
1）因此取，对任何、c属于，都有成立．
2）当时，，解不等式得：．所以取，对任何属于的、c，都有成立.....16分
15、解：（1）由，解得：或，则
若，，由，解得：，则 
所以；                                                    
（2）存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，所以                             
因为，当且仅当，即时取得等号
所以，解得：．                                      
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