广东20152016学年高中学业水平测试数学试题.doc

2015-2016学年度广东高中学生学业水平测试数学试题
（2015-2016学年广州学业水平考试测试题）
2015年12月24日
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分.
1.已知集合,,则=（）
A. B. C. D.

2.已知等比数列的公比为2，则值为（）
A. B. C. 2 D.4

3.直线l过点，且和直线垂直，则l的方程是（）
A. B. C. D.
4.函数的零点所在的一个区间是（）
A. B. C. D.

5.已知非零向量和的方向相同，下列等式成立的是（）
A. B.
C. D.

6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）
A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法
B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法
C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法
D.（1）（2）都用分层抽样法

7.设满足约束条件,则的最大值为（）
A. 3 B.1 C. D.
8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
9.函数的单调增区间是（）
A. B.
C. D.
10.设且则的最小值为（）
A.1 2 3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11.不等式的解集是.

12.已知角的顶点和原点重合，始边和轴的正半轴重合，终边为射线：，则的值是.

13.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是。
14.若函数（且）恒过定点，则的值为.
15、 在中，角的对边分别是，且.
（1） 求的值；
（2） 求的值.

16、 甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数.
（1） 求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；
（2） 分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.

17、 设为数列的前项和，且.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列的前项和.

18、 如图，在三棱锥中，.
（1） 求证：；
（2） 求三棱锥的体积.

19、 已知圆的圆心为点，点在圆上，直线过点且和圆相交于两点，点是线段的中点.
（1） 求圆的方程；
（2） 若，求直线的方程.

20、 已知点是函数图像上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点.
（1） 设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；
（2） 若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围.

2015学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案
二、 选择题：本大题共10小题，每小题5分。
1. 【答案】B
【解析】，.
2. 【答案】D
【解析】4
3. 【答案】C
【解析】设直线因为在直线上，代点到直线方程得：

4. 【答案】D
【解析】
5. 【答案】A
6. 【答案】C
7. 【答案】B
【解析】,作,当移至两直线交点时截距最小，即最大，，

8.【答案】A
【解析】

9.【答案】C
【解析】,
即求的单调递减区间:

10.【答案】D
【解析】
当且仅当时符号成立，即满足，
则最小值为。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
11.【答案】
【解析】
12.【答案】
【解析】终边在：

13.【答案】7
【解析】，否
，否
，是，

14.【答案】0
【解析】过定点，则，恒成立，

15.【答案】解:（1）由正弦定理得，

（2）由（1）得，，且

又

16.【答案】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12

（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11
设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件，以记录甲，乙两组同学答对题目的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：

，共16种
满足事件的基本事件为：，共4种

答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为.

17.【答案】解：（1）当时，；
当时，

得：

但不符合上式，因此：
（2）当时，
当时，

且符合上式，因此：
18. 【答案】解:（1）证明：取中点，连接、
在中：, 为中点

在中, 为中点

又,、

（2）方法一：

在中，, , 是中点
,
在中，, ,

又

（2） 方法二：取中点,连接
由（1）可知
又

在中，, , 是中点
,
在中，, ,

为等腰三角形

又,
, 即为三棱锥的高
易得

19. 【答案】解：(1),圆的方程为
(2)方法一：①不存在时
，则，，
显然有

②存在时
设
∴的方程为
,,
∴，
∴有
即
联立
则
∴，
∴，
代入方程：得：

解得：
综上所述，的方程或

方法二：
是线段的中点，
根据垂径定理，即，即

在中，
①若存在时，设直线为即
圆心到直线的距离，解得
直线的方程为
②若不存在时，过的直线为
也满足到直线的距离为.
综上所述，直线的方程为或.
方法三：，，设点，则：
，，
由题意得：，得①
又因为是弦的中点，因此，
，将①式代入，得：
，整理得：
，解得：或
得的坐标为,或，因此直线的方程为或.

20. 【答案】解：（1）设
.
（2）
的对称轴为，，
，
，
恒成立，即恒成立.
当且仅当时成立，

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