小学奥数知识点汇总.doc

小学奥数知识点汇总〔附解题思路〕
2021-11-27 易通学校
 很多人都认为难题就是奥数，其实这种看法很片面，不可否认，奥数确实很难，但是奥数的知识基准点与思维考点都是来源于根底数学与日常生活实践数学。绝大局部小学的数学或奥数再难无非也就是下面21个根底知识点的的拓展与应用，下面来介绍下：
知识点一：归一问题
【含义】在解题时先求出一份是多少〔即单一量〕，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
【数量关系】
总量÷份数=单一量
单一量×所占份数=所求几份的数量
或 总量A÷〔总量B÷份数B〕=份数A
【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例】买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
解：先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12〔元〕
再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92〔元〕
综合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92〔元〕
知识点二：归总问题
【含义】解题时先找出“总数量〞，再根据条件解决问题的题型。所谓“总数量〞可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。
【数量关系】
1份数量×份数=总量
总量÷一份数量=份数
【解题思路】先求出总数量，再解决问题。
【例】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改良剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？
解：先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2〔米〕
再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904〔套〕
综合算式：3.2×791÷2.8=904〔套〕
知识点三：与差问题
【含义】两个数量的与及差，求这两个数量各是多少。
【数量关系】
大数=〔与+差〕÷2
小数=〔与－差〕÷2
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
解：直接套用公式——
甲班人数=〔98+6〕÷2=52〔人〕
乙班人数=〔98-6〕÷2=46〔人〕
知识点四：与倍问题
【含义】两个数的与及“大数是小数的几倍〔或小数是大数的几分之几〕〞，求这两个数各是多少。
【数量关系】
总与÷〔倍数+1〕=较小数
总与-较小数=较大数
或 较小数×倍数=较大数
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】果园里有杏树与桃树共248棵，桃树是杏树的3倍，求杏树与桃树各有多少棵？
解：先求杏树有多少棵——248÷〔3+1〕=62〔棵〕
再求桃树有多少棵——62×3=186〔棵〕
知识点五：差倍问题
【含义】两个数的差及“大数是小数的几倍〔或小数是大数的几分之几〕〞，求这两个数各是多少。
【数量关系】
两个数的差÷〔倍数-1〕=较小数
较小数×倍数=较大数
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树度124棵，求杏树与桃树各有多少棵？
解：先求杏树有多少棵——124÷〔3-1〕=62〔棵〕
再求桃树有多少棵——62×3=186〔棵〕
知识点六：倍比问题
【含义】有两个的同类量，其中一个量是另一个量的假设干倍，解题时先求出倍数，再用倍比方法算出要求的数。
【数量关系】
总量A÷数量A=倍数
数量B×倍数=总量B
【解题思路】先求出倍数，再利用倍比关系求解。
【例】100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解：先求倍数，
3700千克是100千克的多少倍——3700÷100=37〔倍〕
再求可以榨油多少千克——40×37=1480〔千克〕
综合算式：40×〔3700÷100〕=1480〔千克〕
知识点七：相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇的问题。
【数量关系】
相遇时间=总路程÷〔甲速+乙速〕
总路程=〔甲速+乙速〕×相遇时间
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，问经过几小时两船相遇？
解：直接套用公式392÷〔28+21〕=8〔小时〕
知识点八：追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发〔或者 在同一地点不同时出发，或者在不同地点不同时出发〕作相向运动。在后面的行进速度快，在前面的行进速度慢，在一定时间内，后者追上了前者的问题。
【数量关系】
追及时间=追及路程÷〔快速-慢速〕
追及路程=〔快速-慢速〕×追及时间
【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解：先求劣马先走了多少千米——75×12900〔千米〕
再求好马几天能追上——900÷〔120-75〕=20〔天〕
综合算式：75×12÷〔120-75〕=900÷45=20〔天〕
知识点九：植树问题
【含义】按相等的距离，在距离、棵距、棵数这三个量之间，其中两个量，求第三个量的问题。
【数量关系】
线性植树  棵数=距离÷棵距+1
环形植树 棵数=距离÷棵距
方形植树 棵数=距离÷棵距-4
三角形植树 棵数=距离÷棵距-3
面积植树 棵数=面积÷〔棵距×行距〕
【解题思路】先弄清是哪种植树问题，再套用公式。
【例】一条河堤136米，每隔2米栽一棵柳树，头尾都栽，一共要栽多少棵柳树？
解：直接套用“线性植树〞公式——
136÷2+1=68+1=69〔棵〕
知识点十：年龄问题
【含义】一个人的年龄，根据条件求另一个人的年龄。
【数量关系】两人年龄差不变。
【解题思路】抓住“年龄差不变〞的特点，转化为与差倍比问题求解。
【例】爸爸今年37岁，亮亮今年7岁，几年后爸爸年龄是亮亮的4倍？
解：抓特点，先求年龄差——37-7=30〔岁〕
转化为与差倍比问题——30÷〔4-1〕-7=3〔年〕
综合算式：〔37-7〕÷〔4-1〕-7=3〔年〕
知识点十一：行船问题
【含义】关于船速、水速、逆水、顺水的航行问题。船速即船只在静水中航行的速度，水速指水流速度，船只顺水航行是船速及水速之与，船只逆水航行是船速及水速只差。
【数量关系】
〔顺水速度+逆水速度〕÷2=船速
〔顺水速度-逆水速度〕÷2=水速
顺水速度=船速×2-逆水速度=逆水速度+水速×2
逆水速度=船速×2-顺水速度=顺水速度-水速×2
【解题思路】直接套用公式即可。
【例】一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水航行这段路程需用几小时？
解：直接套用公式——船速为320÷8-15=25〔千米/小时〕
船在逆水中的速度为25-15=10〔千米/小时〕
船逆水航行这段路程的时间为320÷10=32〔小时〕
知识点十二：火车过桥问题
【含义】这是及列车行驶有关的问题，解答时注意列车车身的长度。
【数量关系】
火车过桥：过桥时间=〔车长+桥长〕÷车速
【解题思路】利用数量关系及其变式求解。
【例】一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
解：火车3分钟所行的路程，就是桥长及火车车身长度的与。
先求火车三分钟行多少米——900×3=2700〔米〕
再求火车长度——2700-2400=300〔米〕
综合算式：900×3-2400=300〔米〕
知识点十三：时钟问题
【含义】研究钟面上时针及分针的关系问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针呈夹角等。
【数量关系
分针的速度是时针的12倍。
二者的速度差为11/12。
【解题思路】变通为“追及问题〞或者“差倍问题〞求解。
【例】从时针指向4点开场，再经过多少分钟时针正好及分针重合。
解：根据数量关系，每分钟分针比时针多走〔1-1/12〕=11/12格。4点整时，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为
20÷〔1-1/12〕≈22分
知识点十四：盈亏问题
【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余〔盈〕，一次缺乏〔亏〕，或者两次都有余，或者两次都缺乏的问题。
【数量关系】
一盈一亏，那么有：
参加分配总人数=〔盈+亏〕÷分配差
两次都盈或两次都亏，那么有：
参加分配总人数=〔大盈-小盈〕÷分配差
参加分配总人数=〔大亏-小亏〕÷分配差
【解题思路】分清是哪种盈亏问题，直接套用公式。
【例】给幼儿园小朋友分苹果，假设每人分3个就余11个；假设每人分4个就少1个。问有多少个小朋友？有多少个苹果？
解：一盈一亏问题，直接套用公式——
先求有小朋友多少人：〔11+1〕÷〔4-3〕=12〔人〕
有多少个苹果：3×12+11=47〔个〕
知识点十五：工程问题
【含义】研究工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系。
【数量关系】
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=工作量÷〔甲的工作效率+乙的工作效率〕
【解题思路】解答问题的关键是把工作总量看做“1〞，再套用公式。
【例】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
解：把此项工程看作单位“1〞，那么甲每天完成1/10，乙每天完成1/15，两队合作每天完成〔1/10+1/15〕，由此可列出算式 1÷〔1/10+1/15〕=1÷1/6=6〔天〕
知识点十六：牛吃草问题
【含义】这个问题是大科学家牛顿提出的，这类问题的特点在于要考虑草边吃边长的因素。
【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数
【解题思路】关键是求草每天的生长量。
【例】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解：设每头牛每天吃草量为1，根据公式分5步解答：
求草每天的生长量：50÷〔20-10〕=5
求草原有草量=10天内总草量-10天内生长量
=1×15×10-5×10=100
求5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
求多少头牛5天吃完草：125÷〔5×1〕=25〔头〕
知识点十七：鸡兔同笼问题
【含义】这是古典的 算术问题，第一类是鸡兔共有多少只与多少只脚，求鸡兔各有多少只的问题；另一类是鸡兔总数与鸡脚及兔脚之差，求鸡兔各有多少只的问题。
【数量关系】
第一类问题：假设全都是鸡，那么有
兔数=〔实际脚数-2×鸡兔总数〕÷〔4-2〕
假设全都是兔，那么有
鸡数=〔4×鸡兔总数-实际脚数〕÷〔4-2〕
第二类问题：
假设全都是鸡，那么有
兔数=〔2×鸡兔总数-鸡及兔脚之差〕÷〔4+2〕
假设全都是兔，那么有
鸡数=〔4×鸡兔总数+鸡及兔脚之差〕÷〔4+2〕
【解题思路】分清是哪一类鸡兔同笼问题，然后套用公式即可。
【例】鸡兔同笼，共有35只头，94只脚，问鸡兔分别多少只？
解：假设笼子里全是兔子，那么根据公式
鸡数=〔4×35-94〕÷〔4-2〕=23〔只〕
兔数=94-23=12〔只〕
知识点十八：商品利润问题
【含义】关于本钱、利润、利润率、亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】
利润=售价-进价
利润率-〔售价-进价〕÷进价×100%
售价=进价×〔1+利润率〕
亏损=进货价-售价
亏损率=〔进货价-售价〕÷进货价×100%
【解题思路】利用公式及其变式即可解答。
【例】某商量的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？
解：设这种商品原价为“1〞，那么一月份售价为〔1+10%〕，二月份售价为〔1+10%〕×〔1-10%〕，所以二月份售价比原价下降了 1-〔1+10%〕×〔1-10%〕=1%
知识点十九：存款利率问题
【含义】关于本金、利率、存期三个因素的问题。
【数量关系】
年〔月〕利率=利息÷本金÷存款年〔月〕数×100%
利息=本金×存款年〔月〕数×年〔月〕利率
本利与=本金+利息=本金×〔1+年〔月〕利率×存款年〔月〕利率〕
【解题思路】直接套用公式即可。
【例】大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长？
解：先求总利息是〔1488-1200〕元，
再求总利率为〔1488-1200〕÷1200
那么存款月数为〔1488-1200〕÷1200÷0.8%=30〔月〕
知识点二十：溶液浓度问题
【含义】关于溶剂〔水或其他液体〕、溶质、溶液、浓度几个量之间关系的问题。
【数量关系】
溶液=溶剂+溶质
浓度=溶质÷溶液×100%
【解题思路】利用公式及其变式，进展分析计算，即可解题。
【例】现有16%的糖水50克，要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？
解：直接根据公式 50×16%÷10%-50=30〔克〕
知识点二十一：列方程问题
【含义】把题目中的未知数用字母X代替，列出等量关系式，解出X的问题。
【数量关系】方程等号左右两边是等量关系。
【解题思路】可以概括为“审、设、列、解、验、答〞六字法。
审：认真审题，找出条件与待求问题。
设：将未知数设为X。
列：根据条件，列出方程。
解：求解所列方程。
验：检验方程的等量关系及求解过程是否正确。
答：写答语，答复题目所问。
【例】甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？
解：设乙班有X人，那么甲班有〔90-X〕人，
根据等量关系可以列如下方程
90-X=2X-30
解方程得X=40，从而得90-40=50
答：甲班50人，乙班40人。
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