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第2章,麦克斯韦方程组和时变电磁场,电磁场理论及其应用,2009-10-22,南师大泰州学院 信科系 丁沭沂,电磁场第二章dsy2010,电荷是物质基本属性之一。,1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。,19071913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为,e,=1.602 177 3310,-19,(单位：C),确认了电荷量的量子化概念。换句话说，,e,是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是,e,的整数倍。,宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷,e,的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量,q,可任意连续取值。,2.1.1 电荷与电荷密度,2,1.,电荷体密度,单位：,C/m,3,(,库仑/米,3,),根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域,V,中的电荷体密度，则区域,V,中的总电量,q,为,电荷连续分布于体积,V,内，用电荷体密度来描述其分布,理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：,点电荷、体分布,电荷、,面分布电荷、线分布电荷,3,若电荷分布在薄层上的情况,，,当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示,。,2.,电荷面密度,单位:,C/m,2,(,库仑/米,2,),如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量,q,为,4,在电荷分布在细线上的情况，,当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。,3.,电荷线密度,如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量,q,为,单位:,C/m,(库仑/米),5,对于总电量为,q,的电荷集中在很小区域,V,的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积,V,中的电荷可看作位于该区域中心、电量为,q,的点电荷。,点电荷的电荷密度表示,4.,点电荷,6,2.1.2,电流与电流密度,说明,：,电流通常时时间的函数，不随时间变化的电流称为,恒定,电流,，用,I,表示。,形成电流的条件,：,存在可以自由移动的电荷,存在电场,单位:A（安培）,电流方向:正电荷的流动方向,电流,电荷的定向运动而形成，用,i,表示，其大小定义为：,单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即,7,电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用,电流密度矢量 来描述。,单位,：A/m,2,。,一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用,体电流,、,面电流,和,线电流,来描述电流的分别状态。,1.,体电流,流过任意曲面,S,的电流为,体电流密度矢量,正电荷运动的方向,8,2.,面电流,电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量,来描述其分布,面电流密度矢量,d,0,单位：A/m。,通过薄导体层上任意有向曲线,的电流为,正电荷运动的方向,9,2.1.3.,电荷守恒定律（电流连续性方程）,电荷守恒定律,:,电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体,的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移,到另一个物体。,电流连续性方程,积分形式,微分形式,流出闭曲面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量,恒定电流的连续性方程,恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点,电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。,10,2.2,真空中静电场的基本规律,1.,库仑,（Coulomb）,定律,(1785年),2.2.1.库仑定律 电场强度,静电场,：,由静止电荷产生的电场,重要特征,：,对位于电场中的电荷有电场力作用,真空中静止点电荷,q,1,对,q,2,的作用力:,，满足牛顿第三定律。,大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；,方向沿,q,1,和,q,2,连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；,11,电场力服从叠加原理,真空中的,N,个点电荷 （分别位于 ）,对点电荷 （位于 ）的作用力为,q,q,1,q,2,q,3,q,4,q5,q,6,q,7,12,2.,电场强度,空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即,如果电荷是连续分布呢？,根据上述定义，真空中静止点电荷,q,激发的电场为：,描述电场分布的基本物理量,电场强度矢量,试验正电荷,13,体密度为 的体分布电荷产生的电场强度,线密度为 的线分布电荷的电场强度,面密度为 的面分布电荷的电场强度,小体积元中的电荷产生的电场,14,2.5,电磁感应定律和位移电流,2.5.1 电磁感应定律,自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流,。,1881年,法拉弟发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著明的法拉电磁感应定律。,电磁感应定律,揭示时变磁场产生电场,位移电流,揭示时变电场产生磁场,重要结论,：,在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一,的电磁场。,15,负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。,1.,法拉弟电磁感应定律的表述,设任意导体回路,C,围成的曲面为,S,，其单位法向矢量为 ，则穿过回路的磁通为,当通过导体回路所围面积的磁通量,发生变化时，回路中产生的感应电动势,in,的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即,16,导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场 ，回路中的感应电动势可表示为,感应电场是由变化的磁场所激发的电场；,感应电场是有旋场；,感应电场,不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的,空间；,对空间中的任意回路（不一定是导体回路）,C,，都有,因而有,对感应电场的讨论,：,17,相应的微分形式为,(1),回路不变，磁场随时间变化,这就是推广的法拉第电磁感应定律。,若空间同时存在由电荷产生的电场 ,则总电场 应为 与 之和，即 。由于 ，故有,2.,引起回路中磁通变化的几种情况：,磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有,18,称为动生电动势，这就是发电机工作原理。,(2),导体回路在恒定磁场中运动,(3),回路在时变磁场中运动,19,假定 时 ，则在时刻,t,时，与y 轴的夹角 ，故,方法一：利用式 计算,（2）线圈绕,x,轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。,20,在时变情况下，安培环路环路是否要发生变化？有什么变,化？即,问题,：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是,否会产生磁场？,2.5.2,位移电流,静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即,这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即,时变磁场可以激发电场,。,（恒定磁场）,（时变场）,21,1.全电流定律,而由,非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有,发生矛盾,在时变的情况下不适用,解决办法：对安培环路定理进行修正,由,将 修正为：,矛盾解决,时变电场会激发磁场,22,全电流定律：,微分形式,积分形式,全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。,23,2.位移电流密度,电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。,注,：,在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；,在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；,在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。,位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。,位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。,24,式中的,k,为常数。试求：位移电流密度和电场强度。,例,2.5.4,自由空间的磁场强度为,解,自由空间的传导电流密度为0，故由式 ,得,25,例,2.5.5,铜的电导率 、相对介电常数 。设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。,而传导电流密度的振幅值为,通常所说的无线电频率是指,f,=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（,f,=30GHz300GHz），从上面的关系式看出比值,J,dm,/,J,m,也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。,解,：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为,位移电流密度的振幅值为,26,2.6,麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组,宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场,的基本方程,2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式,27,2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式,麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场,麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场,麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁力线总是闭合曲线,麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场,28,2.6.3,媒质的本构关系,代入麦克斯韦方程组中，有：,限定形式的麦克斯韦方程,（均匀媒质）,各向同性线性媒质的本构关系为,29,时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发,。,时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体 电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。,在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。,30,在无源空间中，两个旋度方程分别为,可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。,31,麦克斯韦方程组,时变场,静态场,缓变场,迅变场,电磁场,(EM),准静电场,(EQS),准静磁场,(MQS),静磁场,(MS),小结,：,麦克斯韦方程适用范围,：一切宏观电磁现象,静电场,(ES),恒定电场,(SS),32,解,：(1)导线中的传导电流为,忽略边缘效应时，间距为,d,的两平行板之间的电场为,E=u/d,，则,例,2.6.1,正弦交流电压源 连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。(1)证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为,r,处的磁场强度。,C,P,r,i,c,u,平行板电容器与交流电压源相接,33,与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ，故得,(2)以,r,为半径作闭合曲线,C,，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故,式中的,S,0,为极板的面积，而,为平行板电容器的电容。,则极板间的位移电流为,34,例,2.6.2,在无源 的电介质 中，若已知电场强度矢量 ，式中的,E,0,为振幅、,为角频率、,k,为相位常数。试确定,k,与,之间所满足的关系，,并求出与 相应的其它场矢量。,解,：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定,k,与,之间所满足的,关系，以及与 相应的其它场矢量。,对时间,t,积分，得,35,由,以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的,H,和,D,代入式,36,2.7,电磁场的边界条件,什么是电磁场的边界条件?,为什么要研究边界条件?,媒质1,媒质2,如何讨论边界条件?,实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。,物理,：,由于在分界面两侧介质的特性参,数发生突变，场在界面两侧也发,生突变。麦克斯韦方程组的微分,形式在分界面两侧失去意义，必,须采用边界条件。,数学,：麦克斯韦方程组是微分方程组，其,解是不确定的，边界条件起定解的,作用。,麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。,37,2.7.1,边界条件一般表达式,媒质1,媒质2,分界面上的电荷面密度,分界面上的电流面密度,38,边界条件的推证,（1）,电磁场量的法向边界条件,令,h,0，则由,媒质1,媒质2,P,S,即,同理，由,在两种媒质的交界面上任取一点,P,，作一个包围点P的扁平圆柱曲面,S,，如图表示。,或,或,39,（2）,电磁场量的切向边界条件,在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令,h,0，,则由,媒质1,媒质2,故得,或,同理得,或,40,两种理想介质分界面上的边界条件,2.7.2,两种常见的情况,在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即,J,S,0、,S,0，故,的法向分量连续,的法向分量连续,的切向分量连续,的切向分量连续,媒质1,媒质2,、的法向分量连续,媒质1,媒质2,、的切向分量连续,41,2.,理想导体表面上的边界条件,理想导体表面上的边界条件,设媒质2为理想导体，则,E,2,、,D,2,、,H,2,、,B,2,均为零，故,理想导体,：电导率为无限大的导电媒质,特征,：电磁场不可能进入理想导体内,理想导体,理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量,理想导体表面上 的法向分量为0,理想导体表面上 的切向分量为0,理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量,42,例,2.7.1,z 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的电场强度为,媒质2中的电场强度为,（1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 和 ；,（3）验证 和 满足边界条件。,解,:,（,1）,这是两种电介质的分界面，在分界面z=0处，有,43,利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件,得到,将上式对时间,t,积分，得,（2）由 ，有,44,可见，在z=0处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（z=0）不存在面电流。,（3）z=0时,同样，由 ，得,45,例,2.7.2,如图所示，1区的媒质参数为 ,2区的媒质参数为 。若已知自由空间的电场强度为,试问关于1区中的 和,能求得出吗？,解,根据边界条件，只能求得边界面z0 处的 和 。,由 ，有,则得,1区,2区,x,y,z,电介质与自由空间的分界面,o,46,又由 ，有,则得,最后得到,47,解,（1）由 ,有,试求:,（1）,磁场强度 ；,（2）导体表面的电流密度,。,例2.7.3,在两导体平板（z=0 和 z=,d,）之间的空气中，已知电场强度,48,将上式对时间,t,积分，得,（2）z=0,处导体表面的电流密度为,z=,d,处导体表面的电流密度为,49,准静态电磁场,特点：时变电磁场随时间变化较为缓慢是时变电磁场，具有静态场的一些特点分类：电准静态场磁准静态场,电准静态场,（感应电场,电荷产生的电场（库仑电场）,E,和,D,都是时间函数,磁准静态场,（位移电流密度,传导电流密度,）,50,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,