历年各地中考相似三角形试题汇编含复习资料.doc

相似三角形

填空题
1、（2008江苏盐城）如图，两点分别在的边上，及不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，．
2、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ．
3、 （2008上海市）如图5，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，
那么 ．

4、（2008泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得两地间的图上距离为5，则两地间的实际距离为 m．
5、（2008年杭州市）在△中，∠C为直角，⊥于点D,
35,写出其中的一对相似三角形是 与 ；
并写出它的面积比 .
6、（2008年江苏省南通市）已知∠A＝40°，则∠A的余角等于＝度.
（第16题图）
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
7、（08浙江温州）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之与
为 ．
8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为.
9、（2008年庆阳市） 两个相似三角形的面积比S12及它们对应高之比h12之间的关系为　　 　 　．
10、（2008年庆阳市） 如图8，D、E分别是的边、上的点，则使∽的条件是 ．
11、（2008年•南宁市）如图4，已知⊥，⊥，C是线段的中点，且⊥，1，4，那么

12、(2008年福建省福州市)12．如图，在中，分别是的中点，若，则的长是 ．
13、(2008年广东梅州市) 如图3，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取的中点 C，的中点D，测得30米，则米．
14、（2008新疆建设兵团）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为　　　　．（精确到0.01）
15、如图，中，，两点分别在边上，且及不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使．
（不再添加其他的字母与线段；只填一个条件，多填不给分！）
16、（2008大连）如图5，若△∽△，则∠D的度数为.．
E
C
D
A
F
B

17、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ．
18、 （2008上海市）如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ．
一、选择题
1、（2008湖北襄樊）如图1,已知及相交于点,如果∠40°,
∠30°,则∠的大小为（ ）
A.60° B.70° C.80° D.120°
B
A
C
D
E
A
B
C
D
O
图1

2、（2008湘潭市） 如图，已知D、E分别是的、 边上的点，且 那么等于（ ）
A．1 : 9 B．1 : 3
C．1 : 8 D．1 : 2
3、(2008 台湾)如图G是r的重心，直线L过A点及平行。若直线分别及、 L交于D、E两点，直线及交于F点，则r的面积：四边形的面积=？( )
(A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2

4、(2008 台湾) 图为r及r重迭的情形，其中E在上，交于F点， 且 。若r及r的面积相等，且9，12，则？( )
(A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。
5、（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知⊥，⊥，且测得1.2米，1.8米，12米， 那么该古城墙的高度是（ ）
A、6米 B、8米 C、18米 D、24米
6、(2008 青海)如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则及的面积比是（ ）
A． B． C． D．
7、（2008 青海 西宁）给出两个命题：①两个锐角之与不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )
A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假
8、（2008海南省）如图2所示，△∽△，则的值等于（ ）
A. B. C. D.

9、 （2008湖北荆州）如图，直角梯形中，∠＝90°，∥，＝，E为梯形内一点，且∠＝90°，将△绕C点旋转90°使及重合，得到△，连交于M．已知＝5，＝3，则的值为 （　　）
A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
10、（2008贵州贵阳)如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）
A. B． C． D．
11、（2008湖南株洲）4．如图，在中，、分别是、边的中点，若
，则等于
A．5 B．4
C．3 D．2
12、 (2008 青海)如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则及的面积比是（ ） A． B． C． D．

13、（2008青海西宁）给出两个命题：①两个锐角之与不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )
A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假
14、已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．54
15、（2008山东潍坊）如图△中⊥34是边上一点,作⊥于⊥于
D,设,则（ ）
A. B. C. D.
16、 （2008山东烟台）如图，在△内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）
A、 B、
C、 D、
17、（2008年广东茂名市）如图，△是等边三角形，被一平行于的矩形所截，
被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△的面积的 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
E
H
F
G
C
B
A
（（第10题图）

18、(2008 江苏 常州)如图,在△中,若∥4,则的长为（ ）
A.8 B.12 C.11 D.10
19、（2008 江西南昌）下列四个三角形，及左图中的三角形相似的是（ ）
（第7题）
A．
B．
C．
D．

20、(2008 重庆)若△∽△，△及△的相似比为2︰3，则S△︰S△为（）
A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、3∶2
21、(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）
A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米
22、（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶
A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m
33、（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）及左图中相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
B
C

解答题
1、（2008广东）如图5，在△中，>， 点D在上，且＝,∠的平分线交于F，点E是的中点，连结.
（1）求证：∥.
（2）若四边形的面积为6，求△的面积.
2、（2008山西太原）如图，在中，。
（1）在图中作出的内角平分线。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）
（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。
提示：（1）如图，即为所求。
3、（2008湖北武汉）（本题6分）如图，点D，E在上，且∥，∥。
F
E
D
C
B
A
求证：△∽△．
4、 （2008年杭州市）（本小题满分10分）
如图：在等腰△中，是底边上的高线，点P是线段上不及端点重合的任意一点，连接交于点E,连接交于点F.
(1) 证明：∠∠;
(2) 证明：;
(3) 以线段，与为边构成一个新的三角形（点E及点F重合于点G），记△与△的面积分别为S△与S△,如果存在点P,能使得S△△,求∠C的取之范围。
F
C
A
B
P
E
H

5、（2008佛山21）如图，在直角△内，以A为一个顶点作正方形，使得点E落在边上.
(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法与证明. 另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；
(2) 若 = 6， = 2，求正方形的边长.
A
B
C
第21题图

6、（2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
（1）所需的测量工具是： ；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高的长度为，请用所测数据（用小写字母表示）求出．
第20题图

7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形中，＝，∠＝∠＝90°，过点D作⊥，垂足为F，及相交于点E.
（1）求证：·＝·
（2）已知＝15，＝9，P是射线上的动点.设＝（x＞0），四边形的面积为2.
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△的周长最小，并求出此时y的值.
8、(2008 湖南 怀化)如图10，四边形、都是正方形，连接、及相交于点M，及相交于点N．
求证：（1）；
（2）
9、(2008 湖南 益阳)△是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形，使正方形的一条边落在上，顶点F、G分别落在、上.
Ⅰ.证明：△≌△；
A
B
C
D
E
F
G
图 (1)

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪与小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa与Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa. 小聪想：要画出正方形，只要能计算出正方形的边长就能求出与的长，从而确定D点与E点，再画正方形就容易了.
设△的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .
A
B
C
D
E
F
G
图 (2)

Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：
①在边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；
②连结’并延长交于F；
A
B
C
D
E
F
G
图 (3)
G′
F′
E′
D′
③作∥F’E’交于E，∥F′G′交于G，∥G’D’交于D，则四边形即为所求.
你认为小明的作法正确吗？说明理由.
10、(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形与摆放在一起，A为公共顶点，∠∠90°，它们的斜边长为2，若∆固定不动，∆绕点A旋转，、及边的交点分别为D、E(点D不及点B重合,点E不及点C重合),设，.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m及n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以∆的斜边所在的直线为x轴，边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边上找一点D，使，求出D点的坐标，并通过计算验证＋.
G
y
x

O
F
E
D
C
B
A
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系＋是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

11、 （08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点及点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
（第1题图）
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
A
B
C
M
N
P
图 1
O
12、（08山东省日照市）在△中，∠A＝90°，＝4，＝3，M是上的动点（不及A，B重合），过M点作∥交于点N．以为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形．令＝x．
（1）用含x的代数式表示△Ｍ的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O及直线相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△Ｍ及梯形重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
13、(2008安徽)如图，四边形与四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．
第20题图
A
B
C
D
E
P
O
R
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；
（2）求．
第21题图
14、（2008 山东 临沂）如图，□中，E是的延长线上一点，及交于点F，。
⑴求证：△∽△;
⑵若△的面积为2，求□的面积。
15、 (2008 浙江 丽水)为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙与墙的夹角处，被测试人站立在
对角线上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．
（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙 米处．
（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距 为3m的小视
H
H
（图1）
（图2）
（图3）
（第22题）
3.5㎝
A
C
F
3m
B
5m
D

力表．如果大视力表中“”的长是3.5，那么小视力表中相应“”的长是多少？
16、（2008年福建宁德）如图，E是□的边延长线上一点，连接，交于F．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由．
A F D
B C
E

17、(2008 黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求及的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形及相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18、在△中，∠A＝90°，＝4，＝3，M是上的动点（不及A，B重合），过M点作∥交于点N．以为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形．令＝x．
（1）用含x的代数式表示△Ｍ的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O及直线相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△Ｍ及梯形重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
A
B
C
M
N
P
图 3
O
A
B
C
M
N
D
图 2

O
A
B
C
M
N
P
图 1
O

19、（08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边重合，直角边不重合，已知8，4，及相交于点E，连结．
(1)填空：如图9， ， ；四边形是 梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以所在直线为轴，过点A垂直于的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持Δ不动，将Δ向轴的正方向平移到Δ的位置，及相交于点P，设，Δ面积为S，求S及t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
D
C
B
A
E
图9
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图10
10

20、(2008年福建省福州市)（本题满分13分）
如图，已知△是边长为6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、匀速运动，其中点P运动的速度是1，点Q运动的速度是2，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△的形状，并说明理由；
（2）设△的面积为S（2），求S及t的函数关系式；
（3）作交于点R，连结，当t为何值时，△∽△？
（第21题）

21、(2008年广东梅州市)本题满分8分．
如图8，四边形是平行四边形．O是对角线的中点，过点的直线分别交、于点、，及、的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除，，这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．
22、(2008年广东梅州市)本题满分8分．
如图10所示，E是正方形的边上的动点， ⊥交于点F．
（1）求证： ∽；
（2）设正方形的边长为4， ，．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．
23.（2008扬州）如图，在△与△中，，，∠∠，连结、相交于点F，及相交于点G.
（1）试判断线段、的数量关系，并说明理由
（2）如果∠∠，那么线段是线段与的比例中项吗？为什么？
24、（2008徐州）如图1，一副直角三角板满足＝，＝，∠＝∠＝90°，∠＝30°
【操作】将三角板的直角顶点E放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点E旋转，并使边及边交于点P，边及边于点Q
【探究一】在旋转过程中，
(1)如图2，当时，及满足怎样的数量关系？并给出证明.
(2)如图3，当时及满足怎样的数量关系？，并说明理由.
(3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，及满足的数量关系式为,其中的取值范围是(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，＝30，连续，设△的面积为S(2)，在旋转过程中：
(1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
(2)随着S取不同的值，对应△的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
（图1） （图2） （图3）
25、（2008遵义）（14分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片，10，6，8，沿对角线把这张纸片剪成△1D1与△2D2两个三角形(如图(2)所示)，将△1D1沿直线1方向移动(点B2始终在1上，1及2始终保持平行)，当点A及B2重合时停止平移，在平移过程中，1及B2D2交于点E，B2C及B1D1交于点F，
(1)当△1D1平移到图(3)的位置时，试判断四边形B21E是什么四边形？并证明你的结论；
(2)设平移距离B2B1为x，四边形B21E的面积为y，求y及x的函数关系式；并求出四边形B21E的面积的最大值；
(3)连结B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B2B1的值是多少时，△ B1B2F及△ B1相似？

参考答案
一、 选择题
1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、A 9、C 10、B
11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C
18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B
二、填空题
1、∠∠（或∠∠或错误！不能通过编辑域代码创建对象。）
2、 3、 4、100 5、 6、50 7、10.5 8、4：9 9、
10、，或，或
11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、30° 17、
18、
三、解答题
1、（1）证明：
又∵ ,
∴ 是△的中线，
∴ 点F是的中点.
∵ 点E是的中点，
即 ∥.
（2）解：由（1）知，∥，
又∵ ,
∴ 的面积为8.
2、（2），理由如下：
平分则，
又，故。
3、证明：略
4、（1∵△为等腰三角形
又∵为底边上的高，P为高线上的点
（2）∵
（3）若存在点P能使S△△，因为，所以△也是一个等腰三角形，这两个三角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△～△，则对应边,∠∠,所以0°≤∠C＜90°
5、解：⑴ 作图：作∠的平分线交线段于E； ………………4分
A
B
C
第21题图
D
E
F
（痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分）
⑵ 如图，∵ 四边形是正方形，
∴ ∥， = = = . 5分
∴ .………………6分
∵ = 2 ， = 6，
设 = = = = x，
∴ . …………………7分
∴ x＝.即正方形的边长为. ……………8分
C
D
E
F
B
A
（第20题答案图）
（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出或的值用作中垂线的方法找到D点或F点，给2分）
6、解：（1）皮尺、标杆．
（2）测量示意图如右图所示．
（3）如图，测得标杆，
树与标杆的影长分别为，．
7、（1）证明：∵＝，⊥，∴垂直平分
∴＝，∠＝＝90°，∠＝∠.
∵∠＝∠＋∠＝90°，∠＋∠B＝90°，∴∠＝∠＝∠B
在△与△中，∠＝∠＝90°，∠＝∠B
∴，即.∴·＝·
（2）解：①∵＝15，＝9∠＝90°，
∴＝＝＝12，∴＝＝6
∴×6＝3x＋27（x＞0）
②∵＝9（定值），∴△的周长最小，就是＋最小.由（1）可知，点C关于直线的对称点是点A，∴＋＝＋，故只要求＋最小.
显然当P、A、B三点共线时＋最小.此时＝，＋＝.
由（1），∠＝∠，∠＝∠＝90°，地△∽△.
∥，得＝＝＝，＝.
∴∶＝∶，即6∶9＝∶15.∴＝10.
△中，＝10，＝6，∴＝8.
∴＝＋＝8＋＝.
∴当x＝时，△的周长最小，此时y＝
8、证明：（1）四边形与四边形都是正方形
（2）由（1）得
9、Ⅰ.证明：∵为正方形，
∴，∠∠90°
∵△是等边三角形，∴∠∠60°
A
B
C
D
E
F
G
解图 (2)
H
Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△的高，
求得
　　　　　　　　　　 由△∽△得：
解之得：(或)
解法二：设正方形的边长为x，则
　　　　　　　　　在△中，∠，
解之得：(或)
解法三：设正方形的边长为x，
则
A
B
C
D
E
F
G
解图 (3)
G’
F’
E’
D’
由勾股定理得：
解之得：
Ⅱb.解： 正确
由已知可知，四边形为矩形
∵∥F’E’ ，
同理，
又∵F’E’’G’，
因此，矩形为正方形
10、解:(1)∆∽∆, ∆∽∆
∵∠∠45°,∠∠45°
又∠∠45°
(2)∵∆∽∆
由依题意可知
自变量n的取值范围为1针旋转90°至∆的位置,则,
∠∠45°,旋转角∠90°.
F
D
H
A
G
E
C
B

连接,在∆与∆中
∵, ∠∠∠45°=∠, .
又∠∠∠90°
即＋
11、解：（1），，，．
点为中点，．
（2），．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
，．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
②当时，，
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
12、解：（1）∵∥，∴∠∠B，∠＝∠C．
∴ ，即．
∴ ＝x． ……………2分
∴ =．（0＜＜4） ……………3分
（2）如图2，设直线及⊙O相切于点D，连结，，则 ．
在△中， ＝=5．
由（1）知 △ ∽ △．
A
B
C
M
N
D
图 2
O
Q
∴ ，即．
∴ ． …………………5分
过M点作⊥ 于Q，则．
在△及△中，∠B是公共角，
∴ x＝．
∴ 当x＝时，⊙O及直线相切．…………………………………7分
（3）随点M的运动，当P点落在直线上时，连结，则O点为的中点．
∵ ∥，∴ ∠∠B，∠＝∠．
A
B
C
M
N
P
图 3
O
∴ ． ＝＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．
∴ 当＝2时， ………8分
② 当2＜＜4时，设，分别交于E，F．
A
B
C
M
N
P
图 4
O
E
F
∵ 四边形是矩形，
∴ ∥，＝＝x．
又∵ ∥，
∴ 四边形是平行四边形．
∴ ＝＝4－x．
又△ ∽ △．
∴ ． ……………………………………………… 9分
＝．……………………10分
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，． ……………………11分
综上所述，当时，值最大，最大值是2． …………………………12分
13.、解（1），，，．
（2）四边形与四边形都是平行四边形，，，，．又，．
点是中点，．．．
又，．
14、解：⑴证明：∵四边形是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∥，
⑵∵四边形是平行四边形，
∴∥，，
15、解：（1）甲生的设计方案可行．
根据勾股定理，得．
∴甲生的设计方案可行．
（2）米．
（3）∵∥
答：小视力表中相应2.1
16.答案不惟一，△∽△，或△∽△，或△∽△．
若△∽△．
理由如下：
在□中，
∵∥，∴∠＝∠B.

又∵∠E＝∠E，∴△∽△
17、解：（1）
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2）求得
（3）；；；
18.、解：（1）∵∥，∴∠∠B，∠＝∠C．
A
B
C
M
N
P
图 1
O
∴ △ ∽ △．
∴ ，即．
∴ ＝x．
∴ =．（0＜＜4）
（2）如图2，设直线及⊙O相切于点D，连结，，则 ．
在△中， ＝=5．
由（1）知 △ ∽ △．
A
B
C
M
N
D
图 2
O
Q
∴ ，即．
过M点作⊥ 于Q，则．
在△及△中，∠B是公共角，
∴ x＝．
∴ 当x＝时，⊙O及直线相切．
A
B
C
M
N
P
图 3
O
（3）随点M的运动，当P点落在直线上时，连结，则O点为的中点．
∵ ∥，∴ ∠∠B，∠＝∠．
∴ ． ＝＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．
∴ 当＝2时，
A
B
C
M
N
P
图 4
O
E
F
② 当2＜＜4时，设，分别交于E，F．
∵ 四边形是矩形，
∴ ∥，＝＝x．
又∵ ∥，
∴ 四边形是平行四边形．
∴ ＝＝4－x．
又△ ∽ △．
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，．
综上所述，当时，值最大，最大值是2．
19、解：（1），，…………………………1分
等腰；…………………………2分
（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）
　①△、△及△或△两两相似，分别是：△∽△，△∽△，△∽△，△∽△，△∽△；(有5对)
②△∽△，△∽△；(有2对)
③△∽△，△∽△；(有2对)
所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
K

（3）由题意知，∥，
∴ ∠1＝∠，
又∵ ∠1＝∠2＝30°，
∴ ∠＝∠2＝30°,
∴ ＝.…………………………6分
过点P作⊥于点K，则.
∵ ＝t，＝8，
∴ ＝8－t，.
在△中，. ……………7分
∴ △的面积，
∴ S及t之间的函数关系式为：
，或. …………………………………8分
t的取值范围为：. …………………………………………………………9分
20、解：(1)△是等边三角形,当2时2×1=22×2=4,所以6-2=4,所以.又因为∠600,所以△是等边三角形.
(2)过Q作⊥,垂足为E,由2y,得2t·600,由,得6,
所以S△××(6)×－t2+3t；
(3)因为∥,所以∠∠600，∠∠600，又因为∠600,
所以△是等边三角形,所以6-2t.因为·600=×2,
所以66-2t,所以∥,所以四边形是平行四边形,
所以,又因为∠900,所以∠∠900.因为△～△,
所以∠∠600,所以600=,即,所以,
所以当时, △～△
21、解：（1） 及． 2分
（或及， 或及 ，或及）
（2）． 3分
证明：四边形是平行四边形，
∥， 4分
， 5分
　　 　， 6分　　
　 △△， 7分　　　
． 8分
22、证明： （1）因为是正方形，所以
所以∠∠， 1分
又⊥，所以∠∠， 2分
所以∠∠， 3分
所以∽． 4分
（2）解：由（1） ∽，4，4-，得
，得 5分
， 6分
所以当=2时， 有最大值， 7分
的最大值为1．
23、
解：（1）、的数量关系是
理由如下：∵∠∠，∴∠∠
又∵
（2）线段是线段与的比例中项
理由如下：∵△≌△ ∴∠∠
又∵∠∠
∴ ∴2·
24、(略)
25、解：(1) 四边形B21E是矩形。
因为△1D1平移到图(3)的，所以四边形B21E是一个平行四边形，又因为在平行四边形中，10，6，8，则有∠是直角。所以四边形B21E是矩形。
(2)因为三角形B1B2F及三角形1D1相似，则有2F0.61F0.8x
所以212F×1F0.6X × (8-0.8x)=4.80.48x2
即4.80.48x2=12-0.48(5)
当5时，12是最大的值。
(3)要使△ B1B2F及△ B1相似，则有 即
解之得：3.6
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