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1、随机预定需求下的客房分配：酒店收益管理博弈 年 月 国际商务研究. , 第 卷第 期 随机预定需求下的客房分配:酒店收益管理博弈 宋敬普 .上海对外贸易学院,上海; .麦克马斯特大学商学院,加拿大安大略省汉密尔顿市 摘 要:本文研究具有两个不同消费级别的两家酒店在完全信息条件下收益管理的单期 静态博弈。讨论了酒店分别在竞争与合作两种情况下,对于低价房间预留数目的设定策 略。在竞争情况下,证明了纳什均衡唯一解的存在性。在合作情况下,分析了两酒店的节 省成本及目标函数的凹性。在合作情况下,提出了使两酒店总收益大幅度提高的
2、条件。 最后,用一些算例假设客房预定需求变量服从截断正态分布 分析了在每种情况下的酒 店最优管理方案。 关键词:酒店收益管理;博弈论;纳什均衡;合作博弈 中图分类号: . 文献标识码: 文章编号: ? ? ? 应对客房控制问题,酒店普遍采取的策略 主要内容为:在可替代的低价房和高价房假设 是将市场进行细分,根据不同类型的房间 如: 下酒店之间的竞争与合作问题。 套房,商务房,标准房 收取不同的价格。各细 近年来,酒店收益管理问题已经引起了运 分市场的预定客房限制 如:储备房间数量 是 筹学/管理学方面研究人员的注意。 和 酒店面对的重要决定。制订了一个有关房间分配
3、 互联网技术的最新发展使潜在的客户可以 问题的随机动态规划模型。 通过互联网获取每一个酒店的房价信息。这意 制订了一个有关房间分配问题的随机 味着,如果一个客户被一家酒店拒绝,他可以很 动态规划模型。 和提供 容易地联系到另一家酒店并预订房间。因此, 了 个简单的、在预定期间使用的预定控制政 从竞争的角度考虑,酒店管理层应决定一个重 策。 和 比较了 个预订控 要的问题:由于其他竞争者在某天分配的低价 制政策的情形: 两个简单的入门方法, 房和高价房的决定会影响酒店一天的收入,酒的超额预定 方 店如何确定低价房和高价房的比例来实现收益 法和 基于研究的议价
4、 最大化 在那些连锁经营两个或更多酒店的情 方法。酒店业和其他行业关于收益管理的文献 况下,如果酒店决定合作,在什么条件下可以使 综述,可以参考和的 系统总收入得到大幅改进 所以,本文研究的 文章。 收稿日期:? ? 。 作者简介:宋敬普,男,上海对外贸易学院国际经贸学院讲师,研究方向:物流与供应链管理、收益管理、博弈 论; ,男,麦克马斯特大学商学院教授,研究 方向:物流与供应链管理、收益管理、博弈论。 一? 宋敬普 :随机预定需求下的客房分配:酒店收益管理博弈 上述所有研究都假设酒店是一个独立存在 客不转移到另一家航空公司。笔者放宽了这一 的实体,但在现实中,一家
5、酒店的房间分配决策 假设,允许被拒绝的客户转移到竞争对手的公 会影响到其他酒店房间的预定要求,尤其是当 司去预定房间。最近, .研究飞 酒店经营“可替代房”时。在这种情况下,酒店 机座位分配问题的非静态嵌套博弈。他们提出 在进行一种 竞争性博弈。据我们所知,到目 了确保纳什均衡存在的必要条件,并说明两家 前为止还没有相关文献用博弈论方法来处理房 航空公司在囚徒困境下的竞争情况。最后,他 间的“库存”控制问题。然而,已有相关研究使 们提出市场需求应被两成员 航空公司 共同 用博弈论来解决供应链的竞争问题,例如: 分割以获得最大的预期收益。 在报童问题中建立了可替代商
6、品库 笔者研究了两个竞争者及两个消费等级的 存问题模型。此模型研究零售商不是只受他自 房间库存控制问题。假设每家酒店在特定时间 身决定变量的影响,同时也受到竞争对手决定 内预定需求是随机且独立的。这里请注意,我 的影响。 和 建立了 们的模型不同于 . ,我们研究的 一 个模型,提出了需求可被分配到使用预先确 是公司水平和消费等级水平一样的竞争者酒 定分裂规则的竞争者。这些研究确认了唯一纳 店对预定需求时的决策。假设每家酒店有预 什均衡解的存在性。收益管理博弈和报童博弈 定需求、成本及所有与两家酒店房间相关的信 之间的本质区别在于总容量的相对固定及价格 息。为了使预期
7、 目标 总利润最大化,每家酒 的变化。前者在规定容量下,对相同产品 即 店都应尽量以更高的价格销售更低档次的房 飞机座位、旅馆房间 提供不同的价格,这是后 间。如果任何类型的客户被一家酒店拒绝,这 者很少考虑的。 些客户中的一小部分将会尝试预定其他酒店的 和提出了一个 房间。我们把这样类型的客户定义为转移客 旅行客机座位的库存控制问题,其中,两家航空 户。由于这些转移客户的存在,一家酒店的目 公司在同一航段争夺乘客。他们的模型却不总 标函数都将引入其竞争对手的决策变量。 是产生一个纯纳什均衡策略。他们认为该航空 由于两家酒店的预定限额会影响他们各自 公司的需求依赖于订票
8、限额,这使得问题变得 的目标,所以,酒店收益管理问题应该用博弈论 比任何报童博弈文献提出的问题更复杂。此 进行数学建模。本文把转移客户的拒绝成本也 外,他们的模型假定:被一家航空公司拒绝的乘 纳入其中,这在其他文献中很少被考虑。 一 、 俘 弈 簇 型 绝的低消费等级的客户不会转向高消费等级; 在提出两家酒店的目标函数之前,我们首 先总结一下本文所使用的基本假设。经营替代 同时,对每个消费等级的客户拒绝成本都是一 样的。我们用按字母顺序的表 来说明各符号 房间的两家酒店被假设为两个竞争者,定义为 的含义。 ,, ,两个消费等级 :低档及 :高档。 不同消费等级的预定请
9、求被假设为具有独立概 由于酒店的客房总数是固定的,所以两个 率分布的随机变量。如果一家酒店有多余的房 消费等级的预定限额是互为补充的。也就是 间,则这些多余的房间根据转移率,其部分或全 说,两个消费等级的预定限额总和为酒店的客 部房间可安排另一家酒店的转移客户人住。为 房总数。所以,我们选择其中一个等级的预定 了简化模型,我们进一步假设:既不存在预定了 限额作为变量,另一个等级的预定限额用客房 房间但不来住的客户 ? ,也不存在预定 总量和这一变量来表示。我们用低消费等级的 取消的客户 ;最后,我们假设被拒 预定限额作为决策变量,而高消费等级的预定 一一年第 期 国际商务研究
10、 表 文中数学符号的含义 符号 说明 对 档消费等级的客户设定的预定限额 决策变量 ; 对 。 的一阶导数 的客房总数 两个竞争者合作下的联合预期总利润: 。 合作条件下, , 的预期利润 △。的利润变化百分比 合作.纳什 : 两个竞争者联合利润变化百分比合作 纳什 的随机利润,并记Ⅱ 对 而言,每个 消费等级客户被拒绝的惩罚成本 的 消费等级客户每晚的住宿费 . 客户溢出的可能性 如:预定请求被拒绝的情形 拒绝的 消费等级预定请求的客户转移到其他酒店的比率对 的一阶导数的 消费等级客户的随机预订请求的数量。概率密度函数 . . 为。 . ,累计分布函数..
11、 为 。及..的补 一. 限额可表示为 ? 。由于转移客户的 在这种情况下, 有多余的房间,而 房 存在,每个竞争者的收益函数不仅取决于其本 间短缺,所以, 将会接受来自 的所有转移 客户,直到他的 即, 预定限额已满。式 身的客房预定限额,还取决于其对手的客房预 中的第二项和第三项分别代表来自 转移客 定限额。因此,博弈论被用于分析两个竞争者 户的利润和惩罚成本。 的最优客房预定需求。≥ , ≤ . 耵 一 目标函数 ? ?. 这里,从 到 没有转移客户, 的低 我们定义 为 的 消费等级客户的预 消费等级的预定通道已关闭。所以,
12、 的超额 期利润,其中, ,, 。现在,.我们开 预定请求为 一 ,对于每个被拒绝的客户, 始分析 低消费等级用户带来的预期利润。 酒店接受 的处罚。 对于任意给定的 。 和: ,发生在 和 之≥ , ≥ . 间的转移有 种不同的情况。所以, 利润函 竹 ? 】 ?一 ? 数订。 表达如下: :≤ , ≤ 由于两个酒店的低消费等级的预定通道都 . 已关闭,所有 的低消费等级客户及 向 ≤ , ≥ : 转移的客户都将被拒绝,拒绝成本分别为 儿 ? , ?和?。? 一, 来自 低消费等级客户的预期收益,可通 一一 。 ? .过以
13、上 个表达式得出。使用以上讨论相类似 一? 宋敬普 :随机预定需求下的客房分配:酒店收益管理博弈 的方法,我们也可以得出 高消费等级客户的 格凹函数。 预期收益。所以, 的预期总利润可表示为 证明 通过, 对 求偏导,化札 。类似地,我们可以得出 的目标 简后得到: 利润函数。简化后, ,, 的总预期利润/ , 可表示如下:上,, ∑一。 一 池 一 ,其中, ? / 。接下来,九 一 我们得到。对 的二阶偏导为 .上上? 一’ 【 一 一 厶 。其中, ? , ? ? 很容易得出,对任意的 ∈ ,,。/ 和? / ’且 ,,
14、 且 。同理,我们得出对任意的 ∈ , ≠ 。,/。所以, 是 自身决策变 由于模型的“非嵌套”性,我们划分预定限 量 儿,, 的严格凹函数。 额不免发生这样的情况:客房通过一个消费等 我们定义, 及 , 为溢出 级不能获得,但能通过另一消费等级获得。但 我们注意到,采用嵌套预定限制使得问题更难 率 即预定需求被拒绝的情形发生。参考 解决。这不仅是因为 。 和 的非对称性,即,我们很容易得出不超过 和不超过 一;同 的 消费等级客户在以下任一情况下,都将发 时,更多更加复杂的情况需要考虑。然而,笔者 生溢出: ?且≤ 推测我们的模型是对嵌套性模型的有效估计,,或
15、 ≥ 所以, 的 消费等级的 条件是那些“不愉快的事件” 如:,溢出率可表示为: 没有转移客户 和 发生的概率小到 ? 可以忽略不计。 且 ≤ ; 综合这两种情况,我们得出 二 最优反应函数。 前面我们已经得出了每个竞争者的目标函 其中,? / ,, , 数,现在我们讨论每个酒店针对其竞争对手的 , 且 ≠。因此, 的一阶偏导,即, , 最优决策 即最优反应 。假设 给出其低消 可用 表示为: 费等级的预定限额为¨那么 会据此决定 一,, 。 他的最优反应 ., 来使其收益最大化。无 论是在竞争还是合作的情形下,这些结果都是 引理, ,, ,在坐标
16、系 非常有用的。接下来,我们进一步讨论,, 中,是一条严格递减曲线。 , 的性质。 引理的目标函数是 也 : , 的严 证明用 儿表示 的显函数是不可能的。 一一年第 期 国际商务研究 且 .可通过解得出。 然而,我们可以通过 。 等式两端对 求 导,得出隐性关系,我们记为 。我们使用链 证明从式 我们得到,..。所 规则可立即得出 以,,, 一 ? ,它表示对任意的 . 在 容量下,都 一 二/ 。 不是 的增函数。然而,对任意的 可能是 由于 一 严格递减的凹函数 。这种情况下,最 。 优反应. .. 总是为零 见图 中的方案 。及?
17、所以, 。 在坐标 。另一方面,若专,图 中的方案和。由于在坐标轴 。 ,: 中,的 轴 , 中,是一条严格递减曲线。同理,我 严格递减性,对任意 ∈ ,∈ ,其最优值可 们假设 为 对 的导数,隐性表达式 通过解获得。换句话说,对任意的 儿∈ 如下: ,专 ,可把 曲线作为 的最优反应曲 一 线。对于 ∈ 考. , , 总是小于零。因此, 三/ 。 根据对称性,我们得出 属于这一范围内的任意 的最优反应也总是 小于零。 一 十 根据式 ,我们知道 , 可表示为两消费等级客户溢出率和 的函数。由,且 于在 给定的情况下, 的最优反应可通过
18、 所以, 在坐标系 , 中也是一 得出,这说明,溢出率在决定任意竞争者的最优 条严格递减的曲线。此引理就此得证。 反应时,起到非常重要的作用。我们注意到用溢 我们现在解决的问题是:其中 . 出率来表示任一竞争者的预定限额将更加容易。 ∈ , ,,, 且≠ 是否总可以通过 因为这仅仅需要计算两个概率表达式, 正和 解 得出。根据引理 ,在给定 的条件 而不是 个概率密度函数,。 ,。 ,,和 。 下,知道 的目标函数是其自身变量的严格凹 评注 参照图 ,我们可以看出,在坐标系 函数。然而,对于给定的 函数可能是 的严格递增函数,也可能是严格递减函数。所
19、 ..,中 不是递增的。所以,在某一竞争 以,使最大化的 的最优值,在任一情况下 者增加其预定限额的情况下,另一竞争者减少 一 定存在。仅仅当不是 的单调函数时, 儿 其预定限额将是最优的,反之亦然。图 表明 的最优值区间为 , 。这时, 的最优反应最优反应的上限, ,总是小于 ;。在此图 可通过解方程得出。以下定理给出了最 中, :为 诅一轴与 最优反应曲线相交的截 优反应函数的完整形式: 距 因此,酒店管理层总是设定一个小于其客 定理的最优反应’,, 房容量的预定限额是非常合理的。因为高消费 且≠ 为 等级的客户被接受的话,总是会得到更多的利润,而
20、如果这些客户被拒绝的话,会带来更多的 成本损失。所以,在高消费等级客户有预定请 这里 求的时候,酒店都应尽量满足他们。 轴与 的截距, 若 与 算例 在这个例子中,我们的目的是为了 轴相交; 考 : 说明酒店 曲线的形状。这里我们假设 ,若 与相交; 和: 分别为酒店 和酒店 的客房总 , 若对于任意 ∈ , ,, 量。房费,处罚成本 ,及 ,一?宋敬普 :随机预定需求下的客房分配:酒店收益管理博弈 。 ∈。, . .为 图 种情形下的最优反馈曲线 且, 的 消费等级客户的转移率由表 根据定理 ,我们可以得出每种方案下 给出。 的最优反馈曲线。按
21、照情形 的图 ,如果,那么, 的最优反应总是,这 表 和 的房价、拒绝成本和转移率 说明 ;即:酒店 的每个房间都是 低价高价 留给高消费等级的客户。根据情形 中的图. 表 左截断正态分布函数的均值和方差. .. . 盯仙 『 ... ... 的密度函数为 . . . . . . . . : , ≥ .. . . . 【 . .. . . 其中.... . 表种情形下的预定需求的均值和方差 去 卜 】,, ,, 且 ≥ 盯 盯是均值为 方差为 的正态分布。表 情形 . 给出了 和 的一些组合,并给出截断随机变 情形 . 量的均值和
22、方差。此表中的 盯的所有组合 情形 . 将用于以后的算例。 ,我们得知当 。,中等水平,那么 为了解释定理 给出的 个不同的 函 的 应在 ~ 之间。最后,如果 。,很 数,我们分别假设 种方案,其中,只变动 , 小的数值,情形 的图 表明,无论 怎么 其他所有参数都不变。表 给出了两个竞争者 选择 ,对于 而言,应保留一些房间 在 的每个消费等级客户的预定需求参数 ~ 之间 给低消费客户。 。...? ?.???宋敬普 :随机预定需求下的客房分配:酒店收益管理博弈 定理 博弈问题存在唯一的纳什均衡,表 标系 ,: 中只相交一次。也就说明,在此 达式如
23、下: 博弈情况下存在唯一的纳什均衡解。 从图 可知,每个竞争者有 种不同的最 若 ≤ , , 优反应曲线。因此,我们把两个竞争者的 种 若考且 ≥考 不同反应曲线分别结合,可得出 种不同的情 , ,, 形。不难看出,两个竞争者的最优反应曲线或 若且【 , , 交于 轴,或交于第一象限内。这两条曲线相 交得到的一对 和 值,就是纳什均衡解,并 其中, , 矗 可通过解方程 , 矗 由考和 共同决定。这里注意,从图 可知, 和 , ;获得。参考图 ,我们发 当假设 为最小值时,专 也是 的最小值 。 现且 : 。 例如,当邕且 : 考,曲线 和 :
24、 存在唯一的交点 , 。同样,式 中的其他所有情况,可以得出相同的结果。 算例 在这里,我们同样使用表 相同的 价格、成本及客户转移率。这个例子的目的是 为了说明不同情形下的纳什均衡。每个竞争者 的 函数可能是定理 中 种情形的任意一 种。在坐标轴: 中,两竞争者的 曲 线相交有 种情况。在本例中,我们仅提出了种,并说明了纳什均衡一定是定理 给出的 种情形。 我们使用表 给出的 种不同 的集合, 图 第三情形下的纳什均衡: 并计算纳什均衡解。每种情况下,纳什均衡解 考三且 考。 及相应的预期收益概括在表 中,并分别画在 图 中。第一种情况下 图 ,由于
25、两条 证明从引理 及引理 可知,曲线 , 及 : 在坐标系 , 中是单调递减的,曲线交于 , . , ,所以只接 受高价房客。同理,在第二种情况下 图 且 严格小于 。同样,可知 .垂直 ,两条 交于 ,, . 。在 线对 的导数是无穷大的参照图 ,及 这种情况下,因为 。 小数值 ,和水平线 对 儿的导数为 参照图大数值 , 不会保留任何低价房,而是把 。所以, 最优反应对 的导数严格小 他们全部留给高价房客。最后,在第三种情况 于 最优反应函数对 此的导数。此外,对任 下 图 ,两条 曲线交于 ,意的 沮,, 且≠ 在 , 范围内,
26、 . . .,可通过解 和 的的最优反应函数是唯一且连续的 参照引理 联立方程得出。。因此,两个竞争者的最优反应曲线,在坐 表种情形下的纳什均衡解和收益, , , ., , ,第一种情况 , , . , . , . 第二种情况 ,,, . . , . 第三种情况 , , . . . . , . 一? 年第 期 国际商务研究 呜 图种情形下的纳什均衡算例 三、舍 碑 方 李 现在,我们讨论两竞争者之间的合作情况。 ≤ , ≥ :对于 ,节约成 当他们合作时,如果预定需求被对方满足时,此 本为: 竞争者也不会发生拒绝成本。因此,当其中一
27、 ,? 一? 由于当 的客房预定限额已满时,从 个竞争者的预定限额或客房容量已满时,将其 满足不了的预定需求转移给对方,可节省其本 到 没有转移房客。而对于 而言,通过 满足的转移房客,不会有处罚成本发生。所以, 身的拒绝成本。此外,我们还假设,当这两个竞 争者的客房预定限额或客房容量已满时, 和节约的成本为:? , ? 之间没有转移房客,从而节省了转移客户发 ≥ , ≤ : 和 节约的成 生的拒绝成本。因为,当把两个竞争者看成一 本分别为: 体时,一个客户仅仅会被拒绝一次,所以避免了? , ? 转移客户造成的二次拒绝的发生。 和 我们设
28、为 和 合作时的联合预期 ,?一 ? , 总收益。两竞争者合作时的联合预期总收益不 ≥ 。, ≥:在这种情况下,两 会小于纳什博弈中他们各自的预期收益之和。 竞争者的预定限额都满,他们之间不存在转移 原因是两个竞争者只有在最糟的情况下才会使 房客的发生。因此, 和 节约的处罚成本 用纳什均衡策略。此外,通过前面的分析,当两 分另为 ? 和 ? 。 个竞争者合作时,确实会节约一些发生在竞争 根据 种情况下的节约成本,并结合第 情况下的成本。通过这些节约的成本,对两个 章中的 种情形,我们得出低价房客的预期利 竞争者而言,可能找出更佳的预定限制组合,使
29、润。同理,我们也可以得出高价房客的预期利 得联合预期总收益大于竞争情况下的预期收益 润。化简后, , 的预期利润可表 之和。 示为: . 首先,我们考虑由低价转移房客带来的拒 绝成本的节约。有以下 种不同的情况: 一?宋敬普 :随机预定需求下的客房分配:酒店收益管理博弈 一 . 一 一一 十一 一 。一 , : 去置 及 : 一/: ∑ 【 一 一 : 鬣 一 一一. 【 一一 一 一 , 凼 出 进 、 其中,,, 且≠ 。若 : , 一 】 ; 及 。 ,那么 其中, ? ,一 / 且,, ,≠。两
30、家酒店的联合预期收 筹 ’并且 益之和为: ,’,, 一’ 、 十 一 合作情况下的最优解,可通过解以下非线【 性规划问题求出: 这表明,,: 是半负定的。因此, ,, 是 扎和 的凹函数。≤ , ≤ 评注 引理 中的条件为: 。,。 , . 且 , ,但我们发现,这些假设性条 有一点要指出:要是以上问题的解唯一存 件是合理的。首先,两个竞争者经营“替代”产 在, 是 。 和。的严格凹函数。 品,所以,这两个竞争者经营的替代性产品的价 引理 若,且 其 格差异可以忽略不计,即。。其次,当把 中,, ,那么 是 , 和 :的凹函数。 证明为
31、了证明 的凹性,我们用 两个竞争者看为一体时,对于同样的产品所承 矩阵来讨论 的特性 担的拒绝成本是一样的,这里表示为:: 。 最后,当一家酒店不能满足房客的预定需求时, 应该尽力说服此房客人住其合作酒店来节约拒 叫 绝房客所带来的损失。即便我们放宽假设,允 不难得出, 许同一消费级别的客房的房价和拒绝成本之间 存在很小的差异,且假设转移费用也不同,大量 篆 一的实验同样表明 总是 和 的凹函数。参 照式,我们得出,等式右端前两项的绝对 一一 年第 期 国际商务研究 知,在式中, 一 的值小到可以忽略不 计。把这些项从上述表达式删除时,不难得出: 算例 我
32、们仍使用例 相同的参数值及 种情形下表 中相同的 值,来讨论两竞争者 : : 且 的最优预定限额及合作情况下的联合利润。 种情况下的结果已列入表 中。其中, , 是合作情况下 的预期利润。? 把这些结果与纳什策略下的结果相比 参 『 照表 ,可以得出,在合作情况下,每个竞争 我们可以利用这种凹性特征根据一阶导数 者的预期利润都有所增加。我们发现,在第三 条件得出最优解,其为: 种情况下,每个竞争者预期利润的提高超过了 %。这说明,当两个竞争者都给予低价 薏 房客比较高的预定限额时,合作是非常有必 一 七就 要的。 表种情形下的合作方案 ,矗 ,
33、三 第一种情况 . , . , . . 第二种情况 , . . , . . 第三种情况 . , . . , .、仡语厦展望 在本文中,我们研究了两家酒店及每家酒 本文的讨论可以往几个方向扩展,一个自 店的两个不同消费级别的收益管理制度。我们 然延伸应考虑 个或更多的成员的情形。在这 通过博弈论得出两家酒店在竞争与合作情况下 种情况下,一种可能性是,分析竞争或合作博 的最优理性策略 即预定廉价房的分配限制 , 弈,其中至少有两个或两个以上的成员合作,他 并给出了相应的目标函数及分析了其结构的性 们通过牺牲其他成员的利益来增加他们的预期 质。我们分别在竞争条
34、件下分析了博弈的均衡 利润。另一种可能性是,假设他们都采取竞争 及合作条件下收益提高的程度。 策略,且这种情况下,像前面所述的一样,所有 我们的研究对收益管理问题提出了一些重 成员都采用纳什均衡策略。然而,低价房预定 要的观点。第一,我们的博弈模型表明,如果一 的双向转移使该模型的替代结构大大复杂,这 个成员增加一单位低价房的预定限额,则另一 使我们怀疑,这将更难证明纳什均衡解的存在 个成员应该始终增加多于一单位低价房的预定 性或唯一性。第三种可能是,将考虑不完全信 限额来最大化预期的利润,反之亦然。其次,在 息博弈,例如,被拒绝低价客户的转移概率是未 竞争的情况下,我们证明了纳什均衡解的存在 知的。因此,在两个成员之间信息共享的情况 性和唯一性,并分别介绍了在不同情况下均衡 下,这将非常有意义。最后,我们也可能考虑, 解的结构性。最后,我们证明了,如果两个成员 放宽预订客户没有取消预定的假设,及超售的 缺乏合作,利润损失会相当大。 情况。这在实际中是一种很普遍的现象,近年 一?
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