经济数学基础教案.doc

备 课 教 案
第 一 周 星期五
课 题
函数
所需课时
2
教学目的
理解函数的概念，掌握函数的几何特性，为研究微分做好准备。掌握基本初等函数的各种状态，为研究更深一步的函数作准备。
重 点
函数的概念，函数的几何特性，各种基本初等函数的性态。
难 点
反函数的理解，分段函数的理解，复合函数的理解。
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律
二、复习引入
同学们就以前学过的函数的知识谈谈自己对函数的理解。
三、讲授新课
一、 函数的概念：
1、 函数的定义：
1） Def：设x和y是两个变量，D是给定的非空数集若对于每一个数xÎD，按照某一确定的对应法则f，变量y总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x), xÎD。
Note：（1）x称为自变量, y称为因变量或函数；
（2）D称为定义域, 记作D f, 即D f=D；
（3）f称为函数的对应法则；
（4）集合{ y|y=f(x), xÎD}称为值域。
当自变量x在定义域内取定某确定值x0时，因变量y按照所给函数关系求出的对应值y0叫做当x= x0时的函数值，记作或f (x0)
例1：已知，求
解：

例2：求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）在分式中，分母不能为零，所以，解得，且
即定义域为。
（2）在偶次方根中，被开方式必须大于等于零，所以，解得即定义域为
（3）在对数式中，真数必须大于零，所以，解得，即定义域为
（4）反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有，解得，即定义域为[0，1]
（5）该函数为（3）（4）两例中函数的代数和，此时函数的定义域为（3）（4）两例中定义域的交集，即
小结：定义域的求解原则：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）同时含有上述四种情况的人以两种或两种以上时，要求各部分都成立的交集。
2）邻域：
设为两个实数，，则称满足不等式即以为中心的开区间为点的邻域。
点为该邻域的中心，为该邻域的半径。
四、练习：
求下列函数的定义域：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
五、归纳小结
本节主要复习了函数的定义及函数定义域值域的求法。这部分内容的掌握将为我们以后的继续学习打下良好的基础。
课后作业：
1、求函数的定义域；2、作函数的图像
反 思 录：

备 课 教 案
第 二 周 星期三
课 题
函数
所需课时
2
教学目的
（1）理解复合函数、分段函数的概念。
（2）掌握函数的特性。
重 点
函数特性的理解。
难 点
函数特性的理解。
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律
二、复习引入
1、什么叫做函数？
2、求下列函数的定义域及值域。
（1）
（2）

三、讲授新课
分段函数
对于自变量的不同取值范围，又不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。
例3：函数.
这是一个分段函数, 其定义域为D=[0, 1]È(0, +¥)= [0, +¥).
当0£x£1时, ; 当x>1时, y=1+x.
; ; f(3)=1+3=4.
Note：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。
3、显函数和隐函数
若函数中的因变量y用自变量x的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。
一般地，若两个变量x,y的函数关系用方程F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函数关系隐藏在方程里，这样的函数叫做隐函数。
例如：
有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。
二、函数的几种特性：
1、函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D, 数集XÌD. 如果存在数K1, 使对任一xÎX, 有f(x)£K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方.
如果存在数K2, 使对任一xÎX, 有f(x)³ K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方.
如果存在正数M, 使对任一xÎX, 有| f(x) |£M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间.
函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1ÎX, 使| f(x) | > M.
例如
(1)f(x)=sin x在(-¥, +¥)上是有界的: |sin x|£1.
(2)函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界.
这是因为, 对于任一M>1, 总有x1: , 使
,
所以函数无上界.
函数在(1, 2)内是有界的.
2、函数的单调性
设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I ÌD. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 f(x1)> f(x2),
则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
函数单调性举例:
函数y = x2在区间(-¥, 0]上是单调增加的, 在区间[0, +¥)上是单调减少的, 在（-¥, +¥）上不是单调的.
3、函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xÎD, 则-xÎD).
如果对于任一xÎD, 有f(-x) = f(x), 则称f(x)为偶函数.
如果对于任一xÎD, 有f(-x) = -f(x), 则称f(x)为奇函数.
偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称,
奇偶函数举例:
y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数.
例4： 判断函数的奇偶性.
解 函数的定义域为D=,又因为

所以函数是奇函数.
4、函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xÎD有(x±l)ÎD, 且
f(x+l) = f(x)
则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期.
周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.
例如,的周期,的周期,正弦型曲线函数的周期为.
四、练习
已知函数，求f(0.04)和f(9)。

五、归纳小结
本节主要总结了函数的几种特性，适当时候可以结合图像来分析理解。

课后作业：
求函数
反 思 录：

备 课 教 案
第 三 周 星期五
课 题
基本初等函数
所需课时
2
教学目的
（1）理解反函数，会求一个函数的反函数。
（2）掌握五类基本初等函数。
重 点
掌握五类基本初等函数。
难 点
理解反函数，会求一个函数的反函数。
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律
二、复习引入
1、计算： ；；；；；；
2、怎样画函数的图像？

三、讲授新课
一、初等函数
1、反函数
定义1.1 设函数.若对于任意一个,D中都有惟一的一个,使得成立,这时是以Z为定义域的的函数,称它为的反函数,记作.
在函数中, 是自变量,表示函数.但按照习惯,我们需对调函数中的字母,,把它改写成 .
今后凡不特别说明,函数的反函数都是这种改写过的形式.
函数与互为反函数,它们的定义域与值域互换.
在同一直角坐标系下, 与互为反函数的图形关于直线对称。
例如,函数与函数互为反函数,其图形如图1.1所示,关于直线对称.
函数与函数互为反函数,它们的图形在同一坐标系中是关于直线对称的.如图1.2所示.

1
-2 0 1 0 1

-2

　　　　　　　 图　1.1 　 图　1.2
定理１.１（反函数存在定理）　单调函数必有反函数,且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的.
求反函数可以按以下步骤进行:
(1) 从方程中解出惟一的,并写成;
(2) 将中的字母对调,得到函数,这就是所求的函数的反函数.
2 . 复合函数
定义1.2 假设有两个函数,与对应的值能使有定义,将代入,得到函数.这个新函数就叫做是由和经过复合而成的复合函数,称为中间变量.
例如,由可以复合成复合函数.
复合函数不仅可用两个函数复合而成,也可以有多个函数相继进行复合而成如由可以复合成复合函数.
需要指出,不是任何两个函数都能复合成复合函数.由定义易知,只有当的值域与的定义域的交集非空时,这两个函数才能复合成复合函数.例如函数和就不能复合成一个复合函数.因为 的值域为,而的定义域为，显然无意义.
3 . 基本初等函数
我们学过的五类函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.
为了便于应用,下面就其图像和性质作简要的复习.参看表1-1 .
表1-1 基本初等函数及图像性质
序号
函数
图像
性质
1
幂函数

　 (1,1)

0 　
在第一象限，时函数单增；时函数单减．都过点（1，1）
2
指数函数

　 1

0
时函数单增；时函数单减．
共性：过（0，1）点，以轴为渐近线
3
对数函数

0 　1

时函数单增；时函数单减．
共性：过（1，0）点，以轴为渐近线
4
三角函数
正弦函数

　 1
- 　 0
　 -1
奇函数,周期T=2,有界

余弦函数

　 1
- 0
　 -1
偶函数,周期T=2,有界
正切函数

　- 0　

奇函数,周期T=,无界

余切函数

- - 　0
奇函数,周期T=,无界
5
反三角函数
反正弦函数

　 -1 0 　1

　-
奇函数，单调增加，有界
反余弦函数

-1 0 1
,单调减少，有界
反正切函数

0

奇函数，单调增加，有界，为两条水平渐近线
反余切函数

0
单调减少，有界，为两条水平渐近线
四、练习
1、基本初等函数有哪几类？
2、是不是所有函数都有反函数
五、归纳小结
这一节课我们复习了五类基本初等函数，它们的性质可以结合图像来理解和记忆。

课后作业：
指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？
(1)
(2)
(3)

反 思 录：

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第 三 周 星期三
课 题
初等函数
所需课时
2
教学目的
理解初等函数的定义，并能把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数；也能把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。
重 点
把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。
难 点
把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律
二、复习引入
填空：
1、纠正作业。
2、画出五种基本初等函数的草图。
三、讲授新课
定义1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成的，并能用一个式子表示的函数，统称为初等函数.
【例1．4】 下列函数是由哪几个简单函数复合而成的.
（1） （2） （3）
解 （1）令，则.
于是 是由，复合而成的.
（2 令，，则.
所以 是由，，复合而成的.
（3） 令，，则.
所以 是由 ，，复合而成的.
本课程研究的函数，主要是初等函数.凡不是初等函数的函数，皆称为非初等函数.

【例1．5】将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。
（1） .

（2）

（3），，

四、练习
将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。
（1） .
（2）
（3），

五、归纳小结
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。
注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数，其步骤是自外层向内层逐层分解，切忌漏层。

课后作业：
2、判定下列函数的奇偶性？
(1) (2) (3)
3、作下列函数的图像？
(1) (2) (3)
反 思 录：

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第 三 周 星期五
课 题
常用的经济函数
所需课时
2
教学目的
1、理解几个常用的经济函数
2、会用函数的知识解决经济问题
重 点
理解经济函数的含义及应用
难 点
运用经济函数解决经济问题
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律

二、复习引入
函数是由 ， 这两个函数复合而成的。

三、讲授新课
经济函数主要包括：
1、需求函数q(p) (p为价格)
2、成本函数C(q)
3、收入函数R(q)
4、利润函数L(q)

§1 需求函数与价格函数
§1.1 线性需求函数
§1.2 二次曲线需求函数
§1.3 指数需求函数
注：一般地，需求量随价格上涨而减少。因此，通常需求函数是价格的单调减少函数。
价格函数反映商品需求和价格的关系。

§2 供给函数
一般地，商品供给量随商品价格的上涨而增加。因此，商品供给函数是商品价格的单调增加函数。

§3 总成本函数（单调增加函数）
注：生产成本包括固定成本和可变成本。

§4 收入函数利润函数
总收入和平均收入，其中是商品的价格函数，它们均是出售商品数量的函数。
总利润和平均利润，均是产量的函数
注：利润函数出现的三种情况：
（1） 有盈余生产
（2） 亏损生产
（3） 无盈亏生产，此时的产量称为无盈亏点（保本点）。

经济函数的应用

例1 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求：
(1) 生产x件该种产品的总成本和平均成本；
(2) 售出x件该种产品的总收入；
(3) 若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？

解：（1）生产x件该种产品的总成本为：

平均成本为
（2）售出x件该种产品的总收入为

（3）生产x件该种产品的利润为

四、练习
生产某种产品的固定成本为3万元，每生产一个该产品所需费用为10元，若该产品出售的单价为50元，试求：
1、生产x件该种产品的总成本和平均成本；
2、售出x件该种产品的总收入；
3、若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？

五、归纳小结
本次课的重要性在于引导学生，在经济分析中使用数学方法往往能够简化实际问题，能够更方便快捷的解决实际问题。

课后作业：
1、生产某种产品的固定成本为5万元，每生产一个该产品所需费用为10元，若该产品出售的单价为30元，试求：
(4) 生产x件该种产品的总成本和平均成本；
(5) 售出x件该种产品的总收入；
若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？
2、预习第二章“极限”

反 思 录：

备 课 教 案
第 四 周 星期三
课 题
极限的概念
所需课时
2
教学目的
1.理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念。
2.熟练掌握和时f(x)的极限存在的充要条件
3.理解无穷大、无穷小的概念，
4掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限

重 点
函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质.
难 点
1.函数极限的定义
2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律
二、复习引入
一、导入新课
1.写出下列函数的复合过程
（1） （2）
思考：若，当无限的靠近1时，值怎样变化？
二、讲授新课
（一）函数的极限
（1）定义 函数y=f(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x，或+或—），因变量y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f(x)以A为极限。
规定： x从x的左右两侧无限接近于x,记x x
x从x的左两侧无限接近于x,记x x
x从x的右两侧无限接近于x,记x x
x无限增大时，用记号x +
x无限减小时，用记号x —
无限增大时，用记号x
（2）点x的邻域
N(x，)=(x—，x+)，其中很小的正数，
X的去心邻域N(，)=.
1、 x x时函数的极限
举例说明：x 1时，函数无限接近于多少？
观察：当：x 1时，f(x)=x+1，无限接近2
当：x 1时，g(x)=，无限接近2
f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义
定义1 如果当x x时,函数无限趋近于一个确定的常数, 则称为函数当 x x时的极限,记作f(x)=A或 (当 x x时).此时也称存在。如果当x x时, 函数不趋近于任何一个确定的常数,则称不存在。
如 ： ，又如= 2
注意 ： f(x)=在 处无定义, 但当 时,函数f(x)=无限趋近于一个确定的常数2,所以=2。
结论：函数当 x x时的极限是否存在，与在点处是否有定义无关.
如上举例f(x)=在 处无定义, 但 = 2.
定义2 右极限 当x x，有
定义3 左极限 当x x，有
函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。
定理1 [极限存在的充分必要条件]
函数 当时的极限存在的充分必要条件是，当时的左右极限都存在并且相等.即
注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。
例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴ （当时） ⑵ （当时）
解：⑴ ∵ ，
∴ 函数在指定点的极限不存在。
⑵ ∵，
∴ 函数在指定点的极限=0
定理2 f(x)=Af(x)=f(x)=A
（二）数列的极限
定义4 对于数列{}，如果当n无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列{}收敛于A，记为=A或A（n）
定理3 [单调数列极限存在定理]
单调增加(上升)数列：
单调减少(下降)数列：
单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。
[单调有界原理]：单调有界数列必有极限。

（三）极限的性质
1、唯一性 若，，则
2、有界性 若，则存在的某一去心邻域 N(，)，在N(，)内函数有界.
3、保号性 若且，则存在某个去心邻域 N(，)，在N(，)内

4、夹逼准则

这个定理称为夹逼定理，它同样适用于的情况
在这个公式里x趋近于哪个数是非常重要的，x趋近于不同的数,极限是不同的。

（四）关于极限的几点说明
1． 一个变量前加上记号“lim”后是个确定值。
例：正n边形面积，= 圆面积
2． 关于“x”的理解：只要求在的充分小邻域有定义。与在点和远离点有无意义无关。
例：在求分段函数的极限时尤为重要。
3． 常数函数的极限等于其本身。即：C=C
（五）无穷小量与无穷大量

1、无穷小量概念
定义5 极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；
注：1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。
2、数零是唯一可作为无穷小的常数。
3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。

2、 一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。
当x→a（或∞）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当x→a（或∞）时，f(x)是无穷小量。
若数列{}的极限为0，则{}是无穷小量。
例如：，所以，当x→0时，sin x 是无穷小量。
同样，当x→0时 (>0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。
当x→+∞时， ，所以{}是无穷小量.

定理4 极限与无穷小之间的关系：

无穷小量的性质
定理5 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。
例如，当x→0时，x+sinx也是无穷小量
定理6 无穷小量与有界量之积是无穷小量。
例如，当x→0时，xsinx也是无穷小量。
推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。
例如，当x→0时，3sinx也是无穷小量。
推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）

2、无穷大量
当x→（或±∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x→（或±∞）时，f(x)是无穷大量。记作 f(x)=∞,或f(x)→∞。
定义6 若（或）,则称为当（或 ）时的无穷大量,简称无穷大。
如=，表示当 时, 为无穷大.

关于无穷大量几点说明:
1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念;
2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作 或 .
3.若数列{}当n→+∞时，它项的绝对值无限增大，则{}是无穷大量。
4.如果当x→（或±∞）时，函数f(x)是无穷大量，那么就是当x→（或±∞）时的无穷小量，反过来，如果当x→（或±∞）时，函数f(x)是非零无穷小量，那么就是当x→（或±∞）时的无穷大量。 即⑴无穷大量的倒数是无穷小量。⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界，但反之不真。
因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0，
证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。

四、练习
判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴ （当时） ⑵ （当时）

五、归纳小结

理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；熟练掌握和时f(x)的极限存在的充要条件，理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限.

课后作业：

反 思 录：

备 课 教 案
第 四 周 星期五
课 题
极限的运算（一）
所需课时
2
教学目的
掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限
重 点
函数极限的运算法则及其推论
难 点
函数极限的运算法则的灵活运用
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律
二、复习引入
一、导入新课
1、函数极限是怎样定义的？函数极限存在的充要条件是什么？
2、无穷小的性质有哪些？
二、讲授新课
（一）极限的运算法则
设在同一变化过程中（此处省略了自变量的变化趋势，下同）及都存在，则有下列运算法则：
法则1、[f(x)g(x)]= f(x) g(x)
法则2、[f(x) g(x)]= f(x) g(x)
法则3、=（g(x)0）
提示：法则的证明不作要求.
(1)直接代入求值
例1 求(3x-4x+1)
解：(3x-4x+1)=32-42+1=5
例2 求
解：== -
例3 求
解：===
小结：时，可直接代入（若代入后令分母为零。可先约分后再代入）
举例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、
5、 6、
（2）型
例4 求
解：==
小结：时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之
课堂练习1、计算
（3）-型，型，
例5 求下列函数极限
1、（-） 2、 3、
解：1、（-）=
===1
2、=
===
3、==0
小结：1题可看成直接代值的特殊情况
2题是“型”经常可通过分母、分子有理化解决
3题是无穷小与有界量的积为无穷小
四、练习
求下列极限
1、 2、 3、
五、归纳小结
掌握函数极限的运算法则及其推论，能运用运算法则求极限。特别情形时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之；型经常可通过分母、分子有理化解决；无穷小与有界量的积为无穷小.

课后作业：
求下列极限
(1) (2) (3)
反 思 录：

备 课 教 案
第 五 周 星期三
课 题
极限的运算（二）
所需课时
2
教学目的
1.掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限
2.理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义
3.掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量
4.会运用等价无穷小量求函数的极限
重 点
1.两个重要极限及其应用
2.高阶、低阶、同阶和等价无穷小的定义与判定及其应用
难 点
1.两个重要极限的应用
2.等价无穷小量的判定及其在极限运算中的应用
教学过程：
一、组织教学
点名、组织课堂纪律

二、复习引入
考察极限
观察：当x®0时函数的变化趋势
x(弧度)
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
...

0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
...
当x取正值趋近于0时，®1，即=1；
当x取负值趋近于0时，-x®0, -x>0, sin(-x)>0．于是
．
三、讲授新课
（二）两个重要极限
1 =1
特点：①它是“”型 ② （三角形代表同一变量）
思考：吗？
例1 求
解： ==2
注：1
==0
例2 求
解： ==1
例3 求
解： =[]=
（复习二倍角）
==2=1-2
= =
例4 求
解：原式==[]=[]=
注：1、乘积的极限写成极限的乘积时，必须每个乘积的极限存在。
2、非弦函数化有弦函数
课堂练习（一）求下列极限
1、 2、 3、
4、 5、 6、
考察极限（1+）
观察：当x®+¥时函数的变化趋势
x
1
2
10
1000
10000
100000
100000
...

2
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
...
当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x®+¥时，可以验证是趋近于一个确定的无理数e＝2.718281828...．
当x®-¥时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．
2 （1+） = e
特点：（１） (1+无穷小) ，即1型；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数，
推广：① ②
例5 （1+）
解：原式=[]=
例6 （1+）
解：原式=[（1+）（1+）]=（1+）（1+）=
例7 （1+）
解：原式=（1+）=
例8 （1）
解：原式=[1+（）]= [1+]=
例9 （）
解：原式=（）=(1)=(1+)
=(1+)(1+)= e
课堂练习（二）
习作题1（4）—（8）
（三）无穷小的比较
例：当x0时，=3x，=x， =
但=0 = =
为了比较无穷小趋于零的快慢，引入无穷小阶
定义：设某一极限过程中，与都是无穷小，且 = C
（1）若C=0则称是比高阶的无穷小，记成=0（） 也称是比低阶的无穷小。（2）若C0，则称与是同阶无穷小。
特别：若C=1，则称与是等价无穷小，记为～
等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用。
常用的几个等价无穷小代换：
当时，有～ x tanx～x arcsinx～x arctanx～x cosx～ ln(1+x) ～x ～x ～
例10 求
解：==
例11 求
解：==
例12 求
解：==
例13
解：===
注：1用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换）
2分子或分母中若有“+号连接的各部分不能分别作替换。
四、练习
求下列式子的极限：
（1+） （1+）
五、归纳小结
掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限，理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义，掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量，会运用等价无穷小量求函数的极限。特别地，用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。
课后作业：

求下列极限
(1) (2) (3) (4)

反 思 录：

备 课 教 案
第 五 周 星期五
课 题
函数的连续性
所需课时
2
教学目的
1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，
3.了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。
重 点
1.函数连续性的有关概念及其应用
2.间断点及其分类
难 点
1．点连续性及复合函数连续性的概念及其应用
2．函数的连续性的判定
教学过程：

一、组织教学
点名、组织课堂纪律

二、复习引入
微积分学中研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。连续函数反映了自然界中普遍存在的连续变化现象，如气温的变化，河水的流动等等。

三、讲授新课
（一）函数连续性的定义
1、点连续
定义1 设y=f(x)在点的某邻域上有定义，如果自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即
则称f(x)在点是连续的。
易知：0
即，于是有
定义2 设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，若，则称函数f(x)在点处连续，f(x)在点连续，必须满足三个条件：
（1） f(x)在点的一个邻域内有定义
（2） 存在
（3） 上述极限值等于函数值
只有一个条件不满足，则点就是函数f(x)的间断点。
2、函数在区间上连续的概念
在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间。若连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是左连续，在左端点连续是右连续。
定义3（间断点的分类）：设是的一个间断点，如果：
（1）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当
，则称为的跳跃间断点
（2）的左右极限都存在，称为第一类间断点，当存在，但不等于，则称为的可去间断点
（3）除（1）（2）以外的，称为的第二类间断点，当=，称为的无穷间断点。
例1 设，讨论f(x)在x=1处的连续性
解：f(1)=1 f(x)= =1
f(x)= (x+1)=2
即f(x)不存在
x=1是第一类间断点，且为跳跃间断点。
例2 设，讨论f(x)在x=0处的连续性。
解：f(0)=1 x=0是第一类间断点，且为可去间断点。
例3 在x=1是什么间断点。
解：函数在x=1处没有定义，且=
则x=1为f(x)的无穷间断点。
注：连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。
（二）初等函数的连续性
1、初等函数的连续性
1）基本初等函数在其定义域内是连续的，一切初等函数在定义域区间上是连续的。
2）分段函数，讨论分段点
2、利用函数的连续性求极限
若f(x)在点连续，则
即求连续函数的极限，可归结为计算函数值.

例4 求极限]
解：在处连续 =ln(sin)=ln1=0
注：基本初等函数均连续
3、复合函数求极限的方法
定理1 设有复合函数，若=a，而函数f(u)在u=点连续，则=
例5 求极限
解：=，复合函数是由lnu和u=组成，又=e，在u=e点lnu连续。
=
=-2 ， x=1为可去间断点。
=（不存在） x=2为无穷间断点。
（2），x=0
不存在，为第二类间断点
（3），x=1
=2
为第一类间断点，为跳跃间断点。
2、复合函数求极限（利用函数的连续性求极限）
1） 2） 3）
3、根存在
1）证明方程至少有一个根介于1和2之间。