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讲义 高等数学—考研
第一章　函数、极限、连续
　　函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。
第一节　数列极限与函数极限

　　【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：
　　；
　　洛必达（）法则。
　　【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。
　　【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

　　一、数列的极限
　　1.数列的极限
　　无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。设有数列 和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
　　2.极限存在准则
　　（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有， 则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.
　　（2）定理：单调有界数列必有极限.
　　3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
　　（2）。（3）。
　　【考点一】（1）单调有界数列必有极限.
　　（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.
　　（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.
　　【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
　　（2）判定数列的单调性主要有三种方法：
　　Ⅰ计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。
　　Ⅱ当时，计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。
　　Ⅲ令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。
　　【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.
　　【答疑编号911010101】
　　1.X0>0
　　∵X0>0 ,
　　假设 Xn>0 , n≥2 ∵ Xn>0 ,
　　∴假设成立

　　∵ Xn>0 ,
　　∴, n≥1
　　，n≥1 时
　　∵

　　∴Xn+1≤Xn 且
　　令，
　　因为，由极限的保号性知
　　令n→∞，
　　 　 　　　↓

　　∵　　∴a2=2　　
　　【例2·证明题】设f（x）是区间上单调减少且非负的连续函数，
　　，证明数列的极限存在。
　　【答疑编号911010102】
　　例2 ∵f（x）↓且 f（x）≥0

　　＝

　　∵ f（x）↓

　　又∵ f（x）≥0
　　≥0

　　　　　　　　　　　　　≤0
　　∴　an≥0 ， 且an+1≤an
　　 　 　　　　↓
　　存在
　　【考点二】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且，则.
　　【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。
　　【例3·计算题】计算极限：
　　【答疑编号911010103】
　　例3
　　∵
　　∴ SinX≥0 ,
　　∴
　　∴
　　根据积分的不等式定理若在[a ，b] f（x）≥g（x），则。
　　∴
　　∴
　　　↓ 　　　↓　　　　 ↓
令n→∞0 　　　0 　　　　 0

　　（取右端点）

　　（取左端点）
　　【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有，

　　【例4·计算题】求下列极限：
　　【答疑编号911010104】

　　【例5·选择题】等于（　）

　　【答疑编号911010105】

　　【考点四】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重要。

　　【例6·解答题】设在x=0某邻域内可导，且.求极限.
　　【答疑编号911010201】
　　6.∵ f（0）=1 ，f′（0）=2
　　 令
　　 1∞
　　再利用重要极限

　　【例7·选择题】设, 则极限等于（　）

　　【答疑编号911010202】

　　而

　　【例8·证明题】设，
　　证明：（1）对于任何自然数n，方程在区间中仅有一根。
　　（2）设
　　【答疑编号911010203】

　　要证:有根
　　令

　　（1）令
　　，

　　∴至少存在使F（xn）=0

　　∴F（x）在严格单减
　　则F（xn）=0 且 xn 唯一
　　8.（2）∵

　　在内
　　∴在上严格单减
　　∵
　　∴
　　∴

　　二、函数的极限
　　【考点五】也就是说，函数极限存在且等于A的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。　　
　　①

　　②
　　【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点五】判断双侧极限是否存在。
　　【例9·解答题】确定常数a的值，使极限存在。
　　【答疑编号911010204】
　　不存在

　　　 　　　　　　　X<0

　　X→0 ,

　　　 　　　　　　　x>0

　　令a=3-a

　　【考点六】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法：
　　（1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去；
　　（2）将极限值不为零的因子先求极限；
　　（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）
　　（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。
　　（5）常见的等价无穷小代换：
　　当X→0时，我们有：

　　未定式极限：
　　∞－∞ ， 0×∞
　　1∞ ，00 ，∞0
　　【例10·解答题】求极限.
　　【答疑编号911010205】

　　x→0,

　　～x[ln（2＋cosx）－ln3]

　　【例11·解答题】求极限
　　【答疑编号911010206】
　　解：

　　 x→0 ln（1+x）～x

　　【例12·解答题】设函数f（x）在x=0处可微，又设，函数
　　，
　　求极限
　　【答疑编号911010207】

　　①

　　②
　　③

　　【考点七】求型未定式极限的方法：
　　 （1）分子、分母同时除以最大的无穷大
　　 （2）使用洛必达（ ）法则
　　【例13·解答题】求极限 .
　　【答疑编号911010301】
　　13.

　　【考点八】化和型未定式为型和型的方法是：
　　 （1）通分法　　（2）提因子法　　（3）变量代换法
　　　　∞－∞，0×∞

　　【例14·解答题】求极限.
　　【答疑编号911010302】
　　14.
　　　　　　（∞，-∞）

　　　　x→0 ,（1+x）2-1～2x

　　【例14】求极限.

　　【例15·解答题】求极限：
　　　【答疑编号911010303】

　　【例16·解答题】求极限 .
　　【答疑编号911010304】

　　【例17·解答题】求极限.
　　【答疑编号911010305】
　　17.

　　【考点九】（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“换底法”或“用e抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即
　　（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的 型极限计算公式：。推导如下（为简便，略去自变量 ）：

　　【例18·解答题】（北京大学，2002年）求极限.
　　【答疑编号911010306】

　　【例19·解答题】计算.
　　【答疑编号911010307】

　　19.（1）当a＞1时，

　　19.当0＜a＜1时

　　【考点十】（1）已知 ＝，则有：

　　（2）已知 ，若 ，则 .
　　【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十】是主要的分析问题与解决问题的方法。
　　若
　　且
　　则
　　【例20·解答题】设 ，则.
　　【答疑编号911010401】

　　【例21·选择题】设为两实常数，且有，则的值分别为（　）
　　【答疑编号911010402】

　　（A），　　　　（B） ，
　　（C），　　　　（D），

　　【考点十一】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。
　　【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。
　　设是同一过程下的两个无穷小，即。
　　若
　　若 则称是比低阶的无穷小；
　　若
　　若则称与是等价无穷小。
　　若＝C≠0,＞0,则称是的阶无穷小。
　　【例22·解答题】已知当时，与是等价无穷小，与是等价无穷小，求常数和。
　　【答疑编号911010403】

　　 （k＞0）

　　【例23·选择题】当时，和都是关于的n阶无穷小量，而是关于的m阶无穷小，则（　）。
　　【答疑编号911010404】
　　 （A）必有m=n　　　　　　　（B）必有

　　 （C）必有　　　　　　（D）以上几种情况都有可能

　　若则时，是的n阶无穷小量；

　　若A+B=0则时，是比还高阶的无穷小；

　　【例24·证明题】设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且，。证明：存在唯一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小。
　　【答疑编号911010405】

　　证明方程组有唯一解

第二节 函数的连续性

　　【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。

　　一、函数的连续性与间断点
　　Ⅰ.函数连续性概念
　　连续：

　　定义1　设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续，并称为连续点。
　　定义2　若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且，则称函数在点处左（右）连续。
　　显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。
　　定义3　函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。使函数连续的区间，称为的连续区间。
　　Ⅱ.函数的间断点及其分类
　　定义　函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：
　　（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；
　　（2）不存在；
　　（3）与都存在，但，则称在点处不连续，或称为函数的间断点。
　　 间断点的分类：设为函数的间断点，间断点的分类是以点的左、右极限来划分的。
　　 第一类间断点：若与都存在，则称为第一类间断点：
　　 （1）若，则称为跳跃型间断点，并称为点的跳跃度；
　　 （2）若存在（即=），则称为可去间断点。此时，当在无定义时，可以补充定义，则在连续；当存在，但时，可以改变在的定义，定义极限值为该点函数值，则在连续。
　　 第二类间断点：若与中至少有一个不存在，则称为第二类间断点，其中若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称为摆动型间断点。
　　【例25·解答题】设函数 　　

　　问a为何值时，在x=0处连续；a为何值时，x=0是的可去间断点？
　　【答疑编号911010501】
　 　在处连续

　　【例26·解答题】设，其中试求的表达式，并求函数在间断点处的左、右极限。
　　【答疑编号911010502】 　　
　　由于

　　【例27·解答题】试确定和的值，使有无穷间断点，且有可去间断点.
　　【答疑编号911010503】

　　二、闭区间上连续函数的性质定理
　　定理1:（有界性定理） 闭区间[a,b]上的连续函数 必在[a,b]上有界。
　　定理2:（最大值最小值定理） 闭区间[a,b]上的函数，必在[a,b]上有最大值和最小值，即在[a,b]上，至少存在两点 ，使得对[a,b]上的一切x，恒有.此处与就是 在[a,b]上最小值与最大值。
　　定理3:（介值定理） 设函数在闭区间[a,b]连续，m与M分别为 在[a,b]上的最小值与最大值，则对于任一实数c（m≤c≤M），至少存在一点，使。
　　定理4:（零点定理或根的存在定理） 若在闭区间[a,b]上连续，且，则至少存在一点，使。
　　【例28·解答题】设函数在[a,b]上连续，且。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点，使。
　　【答疑编号911010504】
　　补充知识：
　　①在[a,b]上连续，且，则≥
　　②若，则 ＞

　　【例29·解答题】设为正常数，证明方程有且仅有三个实根，它们分别位于区间内。
　　【答疑编号911010505】
　　将方程左端进行通分,

　　∵是一个三次多项式,最多有3个零点
　　∴有且仅有3个零点
　　经验证零点均为方程的根
　　∴原方程有且仅有3个实根

----高等数学----
第一章　函数、极限、连续
一、单项选择题

1.区间[a,+∞)，表示不等式（    ）

2.若

3.函数  是（ ）。
（A）偶函数 （B）奇函数 （C）非奇非偶函数  （D）既是奇函数又是偶函数

4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（ ）。

5.函数

6.函数

7.若数列{xn}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（ ）
（A）必不存在
（B）至多只有有限多个
（C）必定有无穷多个
（D）可以有有限个，也可以有无限多个

8.若数列{ xn }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（ ），（其中 为某一取定的正数）
（A）数列{ xn }必有极限，但不一定等于a
（B数列{ xn }极限存在且一定等于a
（C）数列{ xn }的极限不一定存在
（D）数列{ xn }一定不存在极限

9.数列

（A）以0为极限 （B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限 （D）不存在极限

10.极限定义中ε与δ的关系是（ ）
（A）先给定ε后唯一确定δ
（B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一
（C）先确定δ后给定ε
（D）ε与δ无关

11.任意给定

12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（ ）
（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值
（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值
（C） f（x）在x0的函数值可以不存在
（D）如果f（x0）存在则必等于极限值

13.如果

14.无穷小量是（ ）
（A） 比0稍大一点的一个数
（B）一个很小很小的数
（C）以0为极限的一个变量
（D）0数

15.无穷大量与有界量的关系是（ ）
（A）无穷大量可能是有界量
（B）无穷大量一定不是有界量
（C）有界量可能是无穷大量
（D）不是有界量就一定是无穷大量

16.指出下列函数中当X→0+ 时，（ ）为无穷大量。

17.若

18.设

19.求

20.求

21.求

22.求

23.求

24.无穷多个无穷小量之和（ ）
（A）必是无穷小量
（B）必是无穷大量
（C）必是有界量
（D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量

25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（ ）。
（A）是高阶无穷小
（B）是同阶无穷小
（C）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无穷小
（D）与阶数较高的那个同阶

26.设

（A）0
（B）1　　
（C）1/3
（D）3

27.点X=1是函数 的（ ）。
（A）连续点
（B）第一类非可去间断点
（C）可去间断点
（D）第二类间断点

28.方程x4-x-1=0至少有一个根的区间是（ ）。
（A） （0,1/2）
（B） （1/2,1）
（C） （2,3）
（D） （1,2）

29.设

（A）可去间断点
（B）无穷间断点　
（C）连续点
（D）跳跃间断点

30.若

二、简答题

1.若

2.根据数列极限的定义证明：

3.根据函数极限的定义证明：

4.求当x→0时  的左、右极限，并说明它们在x→0时的极限是否存在。

5.设

6.求极限:

7.求极限：

8.求极限：

9.求极限：

10.求极限：

11.求极限：

12.求极限：

13.求极限：

14.求

15.求

16.求
三、填空题。
1.设则f(x)的定义域是________，f(0)=_______，f(1)=________
2.
的定义域是______，值域是__________.
3.若  ，则f(f(x)) =_________,f(f(f(x))) =________.
4.若，则f(x)=____________.
5.设
6.求
7.求
8.已知
9.求
10.求
11.如果a应等于______
12.设 则处处连续的充分必要条件是b=_________

13.若 若无间断点，则a=_________
14.函数
15.设
16.已知

答案部分

一、单项选择题
1.
【正确答案】 B
【答疑编号4079】

2.
【正确答案】 D
【答疑编号4080】

3.
【正确答案】 B
【答案解析】 
【答疑编号4081】

4.
【正确答案】 C
【答疑编号4082】

5.
【正确答案】 D
【答案解析】 
【答疑编号4083】

6.
【正确答案】 B
【答案解析】 
【答疑编号4084】

7.
【正确答案】 B
【答疑编号4085】

8.
【正确答案】 C
【答疑编号4086】

9.
【正确答案】 B
【答案解析】 首先写出一般项，即(n-1)/(n+1) ，当n趋于无穷时，极限是1，所以是以1为极限的。
【答疑编号4087】

10.
【正确答案】 B
【答案解析】 这就是对极限定义的考查。
【答疑编号4088】

11.
【正确答案】 A
【答案解析】 这就是对极限定义的考查。
【答疑编号4089】

12.
【正确答案】 C
【答疑编号4090】

13.
【正确答案】 C
【答疑编号4091】

14.
【正确答案】 C
【答疑编号4092】

15.
【正确答案】 B
【答疑编号4093】

16.
【正确答案】 D
【答案解析】 
【答疑编号4094】

17.
【正确答案】 C
【答案解析】 无穷小量乘以有界变量是无穷小量。
【答疑编号4095】

18.
【正确答案】 C
【答疑编号4096】

19.
【正确答案】 C
【答案解析】 
【答疑编号4097】

20.
【正确答案】 D
【答案解析】 
【答疑编号4098】

21.
【正确答案】 C
【答案解析】 
【答疑编号4099】

22.
【正确答案】 C
【答案解析】 
【答疑编号4100】

23.
【正确答案】 A
【答案解析】 这个重要极限：
【答疑编号4101】

24.
【正确答案】 D
【答疑编号4102】

25.
【正确答案】 A
【答疑编号4103】

26.
【正确答案】 C
【答案解析】 
【答疑编号4104】

27.
【正确答案】 C
【答案解析】 
【答疑编号4105】

28.
【正确答案】 D
【答案解析】 
【答疑编号4106】

29.
【正确答案】 A
【答案解析】 
【答疑编号4107】

30.
【正确答案】 D
【答案解析】 
【答疑编号4108】

二、简答题
1.
【正确答案 证明：

【答疑编号4109】

2.
【正确答案】 （1）证明：

（2）证明：

【答疑编号4110】

3.
【正确答案】 （1）证明：
由于

（2）证明：
由于

【答疑编号4111】

4.
【正确答案】 
【答疑编号4112】

5.
【正确答案】 
【答疑编号4113】

6.
【正确答案】 
【答疑编号4114】

7.
【正确答案】 
【答疑编号4115】

8.
【正确答案】 
【答疑编号4116】

9.
【正确答案】 
【答疑编号4117】

10.
【正确答案】 
【答疑编号4118】

11.
【正确答案】 
【答疑编号4119】

12.
【正确答案】 
【答疑编号4120】

13.
【正确答案】 
【答疑编号4121】

14.
【正确答案】 
【答疑编号4122】

15.
【正确答案】 
【答疑编号4123】

16.
【正确答案】 
【答疑编号4124】

三、填空题。
1.
【正确答案】 [-1，3)；2；0
【答疑编号4063】

2.
【正确答案】 （-∞，+∞）；[0，π]
【答案解析】 
值域是[0，π]
【答疑编号4064】

3.
【正确答案】 1、 
2X
【答案解析】 
【答疑编号4065】

4.
【正确答案】 X2+1
【答案解析】 
【答疑编号4066】

5.
【正确答案】 
【答案解析】 
【答疑编号4067】

6.
【正确答案】 1/2
【答案解析】 
【答疑编号4068】

7.
【正确答案】 4/3
【答案解析】 
【答疑编号4069】

8.
【正确答案】 b=6； a任意。
【答案解析】 
【答疑编号4070】

9.
【正确答案】 
【答案解析】 
【答疑编号4071】

10.
【正确答案】 
【答案解析】 
【答疑编号4072】

11.
【正确答案】 2
【答疑编号4073】

12.
【正确答案】 0
【答疑编号4074】

13.
【正确答案】 0 ；0
【答疑编号4075】

14.
【正确答案】 
2
【答疑编号4076】

15.
【正确答案】 4；10
【答疑编号4077】

16.
【正确答案】 2；-8
【答疑编号4078】

----高等数学----
第二章　导数与微分
　　导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法。
　　【考点分析】本章考点的核心是：导数与微分的定义，以及导数的几何意义和物理意义。常考点包括：求分段函数在分段点处的导数；已知某些极限求指定点处的导数；在可导条件下求某些极限；在可导条件下求某些参数；求曲线的切线与法线等。此外，也考到函数增量与函数微分之间的关系，作为填空题或选择题。
第一节　导数概念

　　一、导数的定义 　　
　　定义1：设函数在点的某邻域内有定义，当自变量x在处有增量（点，），相应地函数有增量，如果极限

　 　　存在，则称该极限值为函数在点的导数（也称变化率或微商）。此时，也称在点存在导数或在点可导。在点的导数记为 ,　即.
　　若令，则导数也可用下式表示
.
　　定义2：左、右导数

　　若令，可得

　　【注意】1.导数是一种特定形式的极限，使用中常呈现　这里h是泛指一个变量，只要在给定过程下即可。 　　2.导函数可用下式表示 　　
或
　　3.若在区间（a,b）内可导，并且都存在，则称在[a,b]上可导。
　　4.可导与连续的关系
　　若在点可导，则它必在点连续。注意，逆命题不真，即函数在点连续，但在点不一定可导。

　　【考点十二】（1）导数是特殊形式的极限，可把它看作是两种重要极限之外的第三种重要极限。
　　（2）常用导数的定义求一些抽象函数构成的分式函数的极限，其思路是：
　　先将分式函数的分子和分母化成下列标准形式，即

　　 然后再用导数的定义求出未知极限。
　　【例1·解答题】设在内有定义.
　　（1）若极限存在，则在点处是否可导？若在点处可导，请给出证明；若在点处不可导，请给出反例。
　　【答疑编号911020101】
　　（2）若在点处的导数存在，证明：。
　　【答疑编号911020102】
　　解：（1）若存在，则在点不一定可导

　　【例2·选择题】设可导的充要条件为（　）
　　（A）存在
　　（B）存在
　　（C）存在
　　（D）存在
　　【答疑编号911020103】

　　【例3·解答题】已知函数内可导，且满足
　　【答疑编号911020104】

　　【考点十三】
　　（1）在处可导
　　（2）求分段函数的导数时，先用求导法则及基本公式，求出各分段区间内函数的导数；然后对各分段点用可导定义或利用左右导数和上述可导的充要条件进行讨论。如果某分段点不连续，当然不可导。
　　【例4·选择题】设函数f（x）可导，，则是在处可导的（　）条件。
　　（A）充要 　　（B）充分非必要 　　（C）必要非充分　　 （D）非充分非必要
　　【答疑编号911020201】

　　答案A
　　【例5·选择题】设在x=0处连续，则（　）
　　（A）b为任意常数，而a=0 　　　　（B）b为任意常数，而a=e
　　（C）a为任意常数，而b=0 　　　　（D）a为任意常数，而b=e
　　【答疑编号911020202】

　　由题意可以知道
　　所以b=e

　　表示在x=0处连续
　　答案：D
　　【考点十四】设，其中处连续，则当且仅当处可导。

　　【证明】这是因为，

　　【例6·选择题】函数的不可导点的个数是（　）
　　（A）3 　　　（B）2　　　 （C）1 　　　（D）0
　　【答疑编号911020203】
　　x3+x2-2x
　　=x（x2+x-2）
　　=x（x+2）（x-1）

　　其中arctanx就相当于考点十四中的

　　∴不可导的个数有2个（-2、1）
　　答案：B
　　【考点十五】
　　（1）过曲线上的点的切线方程为　　
　　特别地，若，则在点的切线方程为；若，则在点的切线方程为。
　　（2）过曲线上的点的法线方程为　　
　　特别地，若，则在点的法线方程为；若，则在点的法线方程为。
　　（3）两条曲线相切包含两层含义：① 两条曲线有公共的交点，即切点；②两条曲线在公共切点处的导数相等，即切线的斜率相等。　　
　　【例7·解答题】已知fx）是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+，其中是当 时，比x高阶的无穷小，且f（x）在x=1处可导，求曲线y=f（x）在点（6,f（6））处的切线方程。
　　【答疑编号911020204】

　　【例8·选择题】设周期函数f（x）在内可导，周期为4，又极限，则曲线y=f（x）在点处的法线斜率为（　）。
　　（A） 　　（B）0 　　（C）1 　　（D）-2
　　【答疑编号911020205】

　　【例9·解答题】当参数a为何值时，抛物线与曲线相切？并求两条曲线在切点处的公共切线。
　　【答疑编号911020206】

　　切点（2，1），
　　公共切线：y-1=1×（x-2）
　　【例10·解答题】已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。
　　【答疑编号911020207】

第二节　函数的求导法则

　　【考点十六】（1）复合函数的求导法则是最重要的求导法则，计算复合函数的导数时，要按照复合次序由最外层起，采取层层剥笋的办法，向内一层一层对中间变量求导数，直到对自变量求导数为止。
　　（2）复合函数的求导法则：设处可导，处可导，则复合函数在x处可导，且

　　（3）注意：符号的意义不同，符号的意义也不同。
　　【例11·解答题】求下列函数的导数：
　　（1）
　　（2）
　　【答疑编号911020301】
　　解：

　　【例12·选择题】设，，
　　则等于（　）

　　【答疑编号911020302】

　　 答案：D
　　【考点十七】反函数的求导法则：
　　设y=f（x）

　　【例13·填空题】设y=f（x）为单调连续函数，为其反函数，且，，则.
　　【答疑编号911020303】
　　已知y=f（x）求解x=g（y）y=g（x）

　　【例14·解答题】设函数上可导，，且其反函数为g（x）。若 求
　　【答疑编号911020304】

　　【考点十八】
　　（1）求隐函数的导数的程序：设y=y（x）是由方程F（x,y）=0所确定的可导函数，
　　①将x看作自变量，y看作是x的函数，y的函数是x的复合函数.
　　②在方程的两边同时对x求导，按复合函数的求导法则，可得到一个含有的方程，从中解出.
　　（2）对数求导法的本质是：将函数先化成隐函数再用隐函数求导法求导.

　　①幂指函数，两端取对数得，
　　　则
　　②函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商的形式，则函数两端先取对数，然后在等式的两端再对x求导.
　　【例15·解答题】求隐函数导数.
　　【答疑编号911020305】
　　求导：

　　【例16·解答题】设函数确定，其中具有二阶导数，且
　　【答疑编号911020306】

　　【考点十九】由参数方程所确定的函数的导数
　　设y=y（x）是由参数方程确定的函数，
　　（1）若 都可导，且，则

　　【注意】不要把分子与分母写反了.　　
　　（2）若二阶可导，且，则

　　【注意】不要遗漏了分母中的.
　　【例17·解答题】设
　　【答疑编号911020401】

　　【例18·解答题】设，求在处的值.
　　【答疑编号911020402】

第三节　高阶导数

　　【考点二十】求高阶导数的方法：
　　（1）定义法：用高阶导数的定义来求分段函数在分段点处的高阶导数。函数y=f（x）导数的导数是函数f（x）的二阶导数，即，记作 。
　　函数y=f（x）的n阶导数为，也记作。
　　（2）公式法：莱布尼兹公式：设u（x）,v（x）具有n阶导数，则

　　（3）间接法：对于有理分式函数，可以先化成部分分式之和，再利用常见高阶导数公式对每个部分分式求高阶导数；
　　　　 对于三角函数有理式，可以通过和差化积等三角公式化为的形式，然后再求高阶导数。
　　（4）常见的高阶导数公式：

　　【例19·解答题】设，求.
　　【答疑编号911020403】

　　【例20·解答题】设，其中在x=a处具有n-1阶连续导数，试求.
　　【答疑编号911020404】
　　由于

第四节　微分

　　【考点二十一】
　　（1）微分的定义：
　　设函数在某区间内有定义，x及在该区间内，设函数的增量，若，
　　其中A（x）仅与x有关，与无关，是比高阶的无穷小，则称在x点可微，且微分.

　　【评注】利用微分的定义进行解题，是考研试题的重点也是难点。
　　（2）求微分的方法：设x为自变量，y为因变量.

　　①先求出导数，用写出微分。
　　②利用一阶微分形式不变性，两端同时求微分，解出dy
　　【例21·填空题】设函数y=f（x）在x=x0处可导，，则.
　　【答疑编号911020405】
　　∵y=f（x）在x=x0处可导
　　∴y=f（x）在x0可微

　　两边同时除以dy得：

　　【例22·填空题】设函数上有定义，对任意x,y,f（x）满足关系式： f（x+y）-f（x）=[f（x）-1]y+（y），其中。
　　【答疑编号911020406】
　　f（x+y）-f（x）=[f（x）-1]y+（y）
　　令y=△x
　　f（x+△x）-f（x）=[f（x